一輪大題專練2—導(dǎo)數(shù)（恒成立問題2）1．已知函數(shù)，．（Ⅰ）當(dāng)時，求證：；（Ⅱ）若不等式在，上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（Ⅰ）證明：令，，（1）當(dāng)時，，因?yàn)?/span>，所以在，上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以；（2）當(dāng)時，則，所以．綜上所述，當(dāng)時，．（Ⅱ）解：令，，則，由題意得在，上恒成立，因?yàn)?/span>，所以，所以，下證當(dāng)時，在，上恒成立，因?yàn)?/span>，令，只需證明在，上恒成立，（1）當(dāng)時，，，因?yàn)?/span>在，上單調(diào)遞減，所以，所以在，上單調(diào)遞減，所以，所以在，上單調(diào)遞減，所以；（2）當(dāng)時，．綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是，．2．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：為自然對數(shù)的底數(shù)）恒成立．解：（1）的定義域?yàn)?/span>，，分當(dāng)時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；分當(dāng)時，令，得到．所以，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)，時，，則在，上單調(diào)遞減，綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減分（2）證明：記函數(shù)，則，分易知在上單調(diào)遞增，又由（1），（2）知，在上有唯一的實(shí)數(shù)根，分且，則，即，分當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)，時，，則在，上單調(diào)遞增，所以，結(jié)合，知，分所以，分則，即，所以為自然對數(shù)的底數(shù)）恒成立分3．已知函數(shù)，，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，．（1）若對任意的，，總存在，，使得，求的取值范圍；（2）若函數(shù)的圖象始終在函數(shù)的圖象上方，求的取值范圍．解：（1）對任意的，，總存在，，使得，，．，，．，在，上單調(diào)遞增，（1）．，，．，①時，，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，（1），解得．②時，，不成立，舍去．③時，，函數(shù)在，上單調(diào)遞減，，而，舍去．綜上可得：的取值范圍是，．（2）函數(shù)的圖象始終在函數(shù)的圖象上方，即，，也即，．令，．，時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，（1），不滿足題意，舍去．時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，存在唯一使得，即，．，解得．的取值范圍是，．4．已知函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若關(guān)于的不等式對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)，，所以，當(dāng)時，，在，上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，在，上單調(diào)遞增，當(dāng)時，令，解得，當(dāng)時，，故單調(diào)遞增，當(dāng)時，，故單調(diào)遞減．綜上所述，當(dāng)時，在，上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）不等式對任意恒成立，即對任意恒成立，令，又，故不等式等價于對任意恒成立，，所以，即，解得，當(dāng)時，，恒成立，故，故當(dāng)時，對任意恒成立，所以的取值范圍為，．5．已知函數(shù)．（1）若直線是曲線的切線，求實(shí)數(shù)的值；（2）若對任意，不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值集合．解：（1），，設(shè)切點(diǎn)為，，則，代入直線得：，即，，令，有（1），，在單調(diào)遞增，方程有唯一解，；（2），，恒成立，設(shè)，則，令，，△，有2個不相等實(shí)根，，則，不妨設(shè)，當(dāng)，，當(dāng)，，，在單調(diào)遞減，在，單調(diào)遞增，，由得到，，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，（1），，，則，故，實(shí)數(shù)的取值集合是．6．設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若為的導(dǎo)函數(shù)）在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（Ⅰ）當(dāng)時，，，所以，令，所以，當(dāng)時，，故為增函數(shù)；當(dāng)時，，故為減函數(shù)，所以（1），即，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間．（Ⅱ）因?yàn)?/span>，所以且，所以在上恒成立在上恒成立在上恒成立，令，，則且（1），當(dāng)時，恒成立，故在上為增函數(shù)，所以（1），即時不滿足題意；當(dāng)時，由，得，若，則，故在，上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以存在，使得（1），即時不滿足題意；若，，則，故在上為減函數(shù)，所以（1），所以恒成立，故符合題意．綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是，．7．已知為自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)．（1）設(shè)是的極值點(diǎn)，求的值和函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)，時，恒成立，求的取值范圍．解：（1）因?yàn)?/span>，由（1），得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）令，，，當(dāng)，時，恒成立等價于恒成立，由于，，，所以當(dāng)時，，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，所以，在區(qū)間，上恒成立，符合題意，當(dāng)時，在，單調(diào)遞增，，①當(dāng)時，即時，，函數(shù)在，單調(diào)遞增，所以在，恒成立，符合題意，②當(dāng)即時，，，若，即時，在恒小于0，則在單調(diào)遞減，，不符合題意，若，即時，存在使得，所以當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，所以，不符合題意，綜上所述，的取值范圍是，．8．已知函數(shù)．（1）若曲線在點(diǎn)處的切線為，求，；（2）當(dāng)時，若關(guān)于的不等式在，上恒成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得（1），即．則，點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)在直線上故，．（2）當(dāng)時，關(guān)于的不等式在，上恒成立，，設(shè)，則，由的導(dǎo)數(shù)為，可得時，，函數(shù)遞增，時，函數(shù)遞減，則，即，當(dāng)時，，則在，遞增，可得，則．

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