一輪大題專練1—導(dǎo)數(shù)（恒成立問題1）1．已知函數(shù)，，．（1）當(dāng)時，，求的取值范圍；（2）證明：當(dāng)時，．解：（1）當(dāng)時，，即，即，設(shè)，則，當(dāng)時，，在單調(diào)遞減，當(dāng)時，，在單調(diào)遞增，（1），則．實數(shù)的取值范圍為，；（2）證明：，，易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，令，則，易知在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，又兩個等號不同時成立，故當(dāng)時，． 2．已知函數(shù)（其中，為的導(dǎo)數(shù)．（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）若不等式恒成立，求的取值范圍．解：（1），則，又，函數(shù)在處的切線方程為；（2）令，則，，在，上單增，①當(dāng)時，，為增函數(shù)，則恒成立，符合題意；②當(dāng)時，由在，上單增，且，，故存在唯一，使得，則當(dāng)時，，單減，，此時與矛盾，不合題意．綜上所述，實數(shù)的取值范圍為，． 3．已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時，試判斷函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）當(dāng)時，若對任意的，，恒成立，求的取值范圍．解：（Ⅰ）時，，的定義域是，，令，解得：，令，解得：，故在遞減，在遞增；（Ⅱ）恒成立，即，，，，故當(dāng)時，對任意，，恒成立，令，則，令，則，，，，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，顯然（1），故當(dāng)時，，當(dāng)時，，故函數(shù)在，遞減，在遞增，故（1），故，故的取值范圍是． 4．已知函數(shù)，，．（1）若，證明：；（2）若，求的取值范圍．解：（1）證明：若，則，即證，只需證，設(shè)，則，，顯然在，上恒成立，在，上單增，，在，上單增，，，即得證；（2）令，依題意，對任意，，恒成立，則，解得，又在，上恒成立，顯然成立，在上恒成立，即，解得，故；下面證明：當(dāng)時，在，上恒成立，令，則，，（a），（a）在，上單減，則，由（1）知，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，故在，上恒成立，綜上，實數(shù)的取值范圍為，． 5．已知函數(shù)，．（Ⅰ）當(dāng)時，求證：在上單調(diào)遞增；（Ⅱ）當(dāng)時，，求的取值范圍．解：（Ⅰ）證明：當(dāng)時，，，則，又在上單調(diào)遞增，且，且（1），，，使得，當(dāng)時，，當(dāng)，時，，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，，，，，，在上單調(diào)遞增；（Ⅱ）當(dāng)時，，問題等價于（記為在，上恒成立，令，，（1），要使式在，上恒成立，則必須（1），，下面證明當(dāng)時，在，上恒成立．，，，又，，當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，（1），即式在，上恒成立，故的取值范圍為，． 6．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）的定義域是，，當(dāng)時，在上恒成立，故在上單調(diào)遞增；分當(dāng)時，令，得，在，上有，在，上有，在，上是減函數(shù)，在，上是增函數(shù)分（2）當(dāng)時，，即令，則，若，由（1）知，當(dāng)時，在上是增函數(shù)，故有，即，得，故有．（由（1）可判斷，此不等式為常見不等式，熟記更利于解題）（當(dāng)且僅當(dāng)，即，且時取等號）．函數(shù)在，單調(diào)遞增，，式成立．分②若，令．則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．在區(qū)間，上單調(diào)遞增，，，，使得，則當(dāng)時，，即，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，，即，式不恒成立．綜上所述，實數(shù)的范圍是，分

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