【考綱要求】
1.理解古典概型及其概率計(jì)算公式．
2.會(huì)計(jì)算一些隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率
【命題趨勢(shì)】
古典概型主要考查實(shí)際背景的等可能事件，通常與互斥事件、對(duì)立事件等知識(shí)相結(jié)合進(jìn)行考查.
【核心素養(yǎng)】
本講內(nèi)容突出對(duì)數(shù)學(xué)建模，數(shù)學(xué)運(yùn)算的考查.
【素養(yǎng)清單?基礎(chǔ)知識(shí)】
(1)古典概型的特征：
①有限性：在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限的，即只有有限個(gè)不同的基本事件；,②等可能性：每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性是相等的.
一個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型，在于這個(gè)試驗(yàn)是否具有古典概型的兩個(gè)特征——有限性和等可能性.
(2)古典概型的概率計(jì)算的基本步驟：
①判斷本次試驗(yàn)的結(jié)果是否是等可能的，設(shè)出所求的事件為A；
②分別計(jì)算基本事件的總數(shù)n和所求的事件A所包含的基本事件個(gè)數(shù)m；
③利用古典概型的概率公式P(A)＝eq \f(m,n)，求出事件A的概率.
(3)頻率的計(jì)算公式與古典概型的概率計(jì)算公式的異同
【真題體驗(yàn)】
1.【2019年高考全國(guó)Ⅱ卷理數(shù)】我國(guó)高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進(jìn)．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.97，有20個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.98，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.99，則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為______________．
2.【2019年高考全國(guó)Ⅲ卷理數(shù)】《西游記》《三國(guó)演義》《水滸傳》和《紅樓夢(mèng)》是中國(guó)古典文學(xué)瑰寶，并稱為中國(guó)古典小說四大名著．某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了100位學(xué)生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有90位，閱讀過《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為
A．0.5 B．0.6
C．0.7 D．0.8
3．從甲、乙、丙三人中任選兩名代表，甲被選中的概率為( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(2,3) D．1
4．從1,2,3,4,5,6六個(gè)數(shù)中任取2個(gè)數(shù)，則取出的兩個(gè)數(shù)不是連續(xù)自然數(shù)的概率是( )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(2,5)
C.eq \f(1,3) D.eq \f(2,3)
5．從分別寫有1,2,3,4,5的五張卡片中依次取兩張，假設(shè)每張卡片被取到的概率相等，且每張卡片上只有一個(gè)數(shù)字，則取到的兩張卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率為( )
A.eq \f(4,5) B.eq \f(16,25)
C.eq \f(13,25) D.eq \f(2,5)
6．(2018·江蘇卷)某興趣小組有2名男生和3名女生，現(xiàn)從中任選2名學(xué)生去參加活動(dòng)，則恰好選中2名女生的概率為__________．
【考法拓展?題型解碼】
考法一 簡(jiǎn)單的古典概型問題
答題模板
求古典概型概率的基本步驟
(1)算出所有基本事件的個(gè)數(shù)n.
(2)算出事件A包含的所有基本事件的個(gè)數(shù)m.
(3)代入公式P(A)＝eq \f(m,n)，求出P(A)．
【例1】 (1)(2019·安徽安慶一中一模)甲、乙二人玩數(shù)字游戲，先由甲任想一數(shù)字，記為a，再由乙猜甲剛才想的數(shù)字，把乙猜出的數(shù)字記為b，且a，b∈{1,2,3}，若|a－b|≤1，則稱甲、乙“心有靈犀”．現(xiàn)任意找兩個(gè)人玩這個(gè)游戲，則他們“心有靈犀”的概率為( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(5,9)
C.eq \f(2,3) D.eq \f(7,9)
(2)從分別標(biāo)有1,2，…，9的9張卡片中不放回地隨機(jī)抽取2次，每次抽取1張，則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是( )
A.eq \f(5,18) B.eq \f(4,9)
C.eq \f(5,9) D.eq \f(7,9)
考法二 復(fù)雜的古典概型問題
歸納總結(jié)
求較復(fù)雜事件的概率問題的方法
(1)將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事件的和事件，再利用互斥事件的概率加法公式求解．
(2)先求其對(duì)立事件的概率，再利用對(duì)立事件的概率公式求解．
【例2】 為振興旅游業(yè)，四川省面向國(guó)內(nèi)發(fā)行總量為2 000萬張的熊貓優(yōu)惠卡，向省外人士發(fā)行的是熊貓金卡(簡(jiǎn)稱金卡)，向省內(nèi)人士發(fā)行的是熊貓銀卡(簡(jiǎn)稱銀卡)．某旅游公司組織了一個(gè)有36名游客的旅游團(tuán)到四川名勝景區(qū)旅游，其中eq \f(3,4)是省外游客，其余是省內(nèi)游客．在省外游客中有eq \f(1,3)持金卡，在省內(nèi)游客中有eq \f(2,3)持銀卡．
(1)在該團(tuán)中隨機(jī)采訪2名游客，求恰有1人持銀卡的概率；
(2)在該團(tuán)中隨機(jī)采訪2名游客，求其中持金卡與持銀卡人數(shù)相等的概率．
考法三 知識(shí)交匯中的古典概型問題
歸納總結(jié)
求解古典概型交匯問題的思路
求解古典概型的交匯問題，關(guān)鍵是把相關(guān)的知識(shí)轉(zhuǎn)化為事件，然后利用古典概型的有關(guān)知識(shí)解決，其解題流程為：
【例3】 已知向量a＝(x，－1)，b＝(3，y)，其中x隨機(jī)選自集合{－1,1,3}，y隨機(jī)選自集合{1,3,9}．
(1)求a∥b的概率；
(2)求a⊥b的概率．
【例4】 (2017·山東卷)在心理學(xué)研究中，常采用對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理暗示對(duì)人的影響，具體方法如下：將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對(duì)比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評(píng)價(jià)兩種心理暗示的作用．現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示．
(1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；
(2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E(X)．
【易錯(cuò)警示】
易錯(cuò)點(diǎn) 將基本事件的“等可能”與“非等可能”弄錯(cuò)
【典例】 同時(shí)投擲三枚質(zhì)地均勻的硬幣一次，三枚硬幣同時(shí)正面向上的概率為__________．
【錯(cuò)解】：基本事件共有4個(gè)：(正正正)(正正反)(正反反)(反反反)，所以三枚硬幣同時(shí)正面向上的概率為eq \f(1,4).
【錯(cuò)因分析】：誤認(rèn)為題目中所有的基本事件的出現(xiàn)都是等可能的，而有些時(shí)候基本事件的出現(xiàn)不是等可能的，從而造成錯(cuò)解．
【答案】：eq \f(1,8)
【正解】：由題意作出樹狀圖如下：
一共有8種情況，三枚硬幣同時(shí)正面向上只有1種情況，所以，P(三枚硬幣同時(shí)正面向上)＝eq \f(1,8).
【跟蹤訓(xùn)練】 (2016·江蘇卷)將一顆質(zhì)地均勻的骰子(一種各個(gè)面上分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6個(gè)點(diǎn)的正方體玩具)先后投擲2次，則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和小于10的概率是__________．
【遞進(jìn)題組】
1．投擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，向上的點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值為3的概率是( )
A.eq \f(1,9) B.eq \f(1,6)
C.eq \f(1,18) D.eq \f(1,12)
2．已知函數(shù)f(x)＝eq \f(1,3)x3＋ax2＋b2x＋1，若a是從1,2,3三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從0,1,2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，則該函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)的概率為( )
A.eq \f(7,9) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(5,9) D.eq \f(2,3)
3．盒子中裝有標(biāo)有數(shù)字且大小相同的小球，其中m個(gè)小球標(biāo)有數(shù)字1,3個(gè)小球標(biāo)有數(shù)字3,2個(gè)小球標(biāo)有數(shù)字5.若從盒子中任取2個(gè)球，可得這兩個(gè)球所標(biāo)數(shù)字之和為6的概率是eq \f(13,45).若從盒子中任取3個(gè)球，則三個(gè)球所標(biāo)數(shù)字之和小于10的概率為( )
A.eq \f(49,60) B.eq \f(53,60)
C.eq \f(23,60) D.eq \f(13,15)
4．某校50名學(xué)生參加智力答題活動(dòng)，每人回答3個(gè)問題，答對(duì)題目個(gè)數(shù)及對(duì)應(yīng)人數(shù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表：
根據(jù)上表信息解答以下問題：
(1)從這50名學(xué)生中任選兩人，求兩人答對(duì)題目個(gè)數(shù)之和為4或5的概率；
(2)從這50名學(xué)生中任選兩人，用X表示這兩名學(xué)生答對(duì)題目之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)．
【考卷送檢】
一、選擇題
1．(2019·宜春一中月考)下列問題中是古典概型的是( )

A．種下一粒楊樹種子，求其能長(zhǎng)成大樹的概率
B．?dāng)S一顆質(zhì)地不均勻的骰子，求出現(xiàn)1點(diǎn)的概率
C．在區(qū)間[1,4]上任取一數(shù)，求這個(gè)數(shù)大于1.5的概率
D．同時(shí)擲兩顆骰子，求向上的總數(shù)之和是5的概率
2．隨機(jī)擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，它們向上的點(diǎn)數(shù)之和不超過4的概率記為p1，點(diǎn)數(shù)之和大于8的概率記為p2，點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)的概率記為p3，則( )
A．p1

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