專題9.7 條件概率、n次獨立重復試驗與二項分布-2022年高考數學一輪復習核心素養(yǎng)大揭秘學案

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?第九篇 計數原理、概率與隨機變量及其分布列
專題9.07條件概率、n次獨立重復試驗與二項分布
【考綱要求】
1.理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念，了解分布列對于刻畫隨機現象的重要性．
2．理解超幾何分布及其導出過程，并能進行簡單的應用
【命題趨勢】
利用排列、組合知識求解離散型隨機變量的分布列，運用概率知識解決實際問題
【核心素養(yǎng)】
本講內容突出對數學抽象，數學運算，數學建模的考查.
【素養(yǎng)清單?基礎知識】
1．條件概率
(1)定義：設A，B為兩個事件，且P(A)>0，稱P(B|A)＝為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率．
(2)性質：①0≤P(B|A)≤1；②如果B和C是兩個互斥事件，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
2．事件的相互獨立性
(1)定義：設A，B為兩個事件，如果P(AB)＝P(A)·P(B)，則稱事件A與事件B相互獨立．
(2)性質：①若事件A與B相互獨立，則P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝P(A)·P(B)．
②如果事件A與B相互獨立，那么　A與　，　與B　，　與　也都相互獨立．
3．獨立重復試驗與二項分布
(1)獨立重復試驗
在__相同__條件下重復做的n次試驗稱為n次獨立重復試驗. Ai (i＝1,2，…，n)表示第i次試驗結果，則P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)·…·P(An)．　
(2)二項分布
在n次獨立重復試驗中，用X表示事件A發(fā)生的次數，設每次試驗中事件A發(fā)生的概率是p，此時稱隨機變量X服從二項分布，記作X～B(n，p)，并稱p為成功概率．在n次獨立重復試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1,2，…，n)．

【真題體驗】
1.【2019年高考天津卷理數】設甲、乙兩位同學上學期間，每天7：30之前到校的概率均為．假定甲、乙兩位同學到校情況互不影響，且任一同學每天到校情況相互獨立．
（1）用表示甲同學上學期間的三天中7：30之前到校的天數，求隨機變量的分布列和數學期望；
（2）設為事件“上學期間的三天中，甲同學在7：30之前到校的天數比乙同學在7：30之前到校的天數恰好多2”，求事件發(fā)生的概率．
【答案】（1）分布列見解析，；（2）．
【分析】本小題主要考查離散型隨機變量的分布列與數學期望，互斥事件和相互獨立事件的概率計算公式等基礎知識．考查運用概率知識解決簡單實際問題的能力．滿分13分．
【解析】（1）因為甲同學上學期間的三天中到校情況相互獨立，且每天7：30之前到校的概率均為，故，從而．
所以，隨機變量的分布列為

0
1
2
3





隨機變量的數學期望．
（2）設乙同學上學期間的三天中7：30之前到校的天數為，
則，且．
由題意知事件與互斥，
且事件與，事件與均相互獨立，
從而由（1）知


．
2．一張儲蓄卡的密碼共有6個數字，每位數字都可從0～9中任選一個，某人忘記了密碼的最后一位數字但記得是偶數，則不超過2次就按對的概率為__________．
【答案】
【解析】由題意知，此人在按最后一位數字時，有“0,2,4,6,8”5種可能，所以此人按前兩次的所有基本事件有n＝A＝20(個)，不超過2次就按對的基本事件為m＝CA＝8(個)，
故P＝＝＝.
3．由0,1組成的三位編號中，若用A表示“第二位數字為0的事件”，用B表示“第一位數字為0的事件”，則P(A|B)＝__________.
【答案】
【解析】 因為第一位數字可為0或1，所以第一位數字為0的概率P(B)＝，第一位數字為0且第二位數字也是0，即事件A，B同時發(fā)生的概率P(AB)＝×＝，所以P(A|B)＝＝＝.
4．甲、乙兩名籃球運動員分別進行一次投籃，若兩人投中的概率都是0.6，則至少有一人投中的概率為__________．
【答案】 0.84
【解析】由題意可得，甲、乙未投中的概率均為1－0.6＝0.4，故甲、乙兩人分別進行一次投籃均未投中的概率＝0.4×0.4＝0.16，故所求概率P＝1－＝0.84.
5．國慶節(jié)放假，甲去北京旅游的概率為，乙去北京旅游的概率為.假定二人的行動相互之間沒有影響，那么這段時間內至少有1人去北京旅游的概率為__________．
【答案】
【解析】 記在國慶期間“甲去北京旅游”為事件A，“乙去北京旅游”為事件B，兩人均不去的概率為P( )＝P()·P()＝[1－P(A)][1－P(B)]＝＝，甲、乙二人至少有一人去北京旅游的對立事件為甲、乙二人都不去北京旅游，故所求概率為1－P( )＝1－＝.

【考法拓展?題型解碼】
考法一　　條件概率
解題技巧　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　
條件概率的兩種求解方法
(1)定義法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝求P(B|A)．
(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數n(A)，再求事件AB所包含的基本事件數n(AB)，得P(B|A)＝.
【例1】 (1)(2019·黃石一模)從1,2,3,4,5中任取2個不同的數，事件A＝“取到的2個數之和為偶數”，事件B＝“取到的2個數均為偶數”，則P(B|A)等于(　　)
A．0.125 B．0.25
C．0.4 D．0.5
(2)如圖，EFGH是以O為圓心，半徑為1的圓的內接正方形，將一顆豆子隨機地扔到該圓內，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(陰影部分)內”，則P(B|A)＝__________.

【答案】(1)B　(2)
【解析】 P(A)＝＝，P(AB)＝＝，
P(B|A)＝＝.
(2)由題意可得，事件A發(fā)生的概率P(A)＝＝＝，事件AB表示“豆子落在△EOH內”，則P(AB)＝＝＝.故P(B|A)＝＝＝.
考法二　　事件的獨立性
歸納總結　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　
求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的方法：
(1)利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解．
(2)正面計算較繁或難以入手時，可從其對立事件入手計算．
【例2】 為了分流地鐵高峰的壓力，某市發(fā)改委通過聽證會，決定實施低峰優(yōu)惠票價制度，不超過22 km的地鐵票價如下表.
乘坐里程x/km
0N)，抽出的次品件數為X3；
④有一批產品共有N件，其中M件為次品，采用不放回抽取方法抽n件，出現次品的件數為X4(N－M>n>0)．
【答案】見解析
【解析】①X1的分布列為
X1
0
1
2
…
n
P
C0n
C1n－1
C2n－2
…
Cn
X1服從二項分布，即X1～B.
②X2的分布列為
X2
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
P











③X3的分布列為
X3
0
1
2
…
n
P
n
C·n－1
C2·n－2
…
n
X3服從二項分布，即X3～B.
④X4的分布列為
X4
0
1
…
k
…
n
P


…

…

X4服從超幾何分布．
【遞進題組】
1．袋中有5個小球(3白2黑)，現從袋中每次取一個球，不放回地取兩次，則在第一次取到白球的條件下，第二次取到白球的概率是(　　)
A. B.
C. D.
【答案】C　
【解析】 在第一次取到白球的條件下，在第二次取球時，袋中有2個白球和2個黑球共4個球，故取到白球的概率P＝＝.
2．(2019·廣東六校聯(lián)考)已知甲有5張紅卡、2張藍卡和3張綠卡，乙有4張紅卡、3張藍卡和3張綠卡．他們分別從自己的10張卡片中任取一張進行打卡游戲比賽．設事件A1，A2，A3表示甲取出的一張卡分別是紅卡、藍卡和綠卡；事件B表示乙取出的一張卡是紅卡，則下列結論中正確的是__________(寫出所有正確結論的編號)．
①P(B)＝；②P(A1|B)＝；③事件B與事件A1相互獨立；④A1，A2，A3是彼此相互獨立的事件；⑤A1，A2，A3是兩兩互斥的事件．
【答案】 ③⑤
【解析】因為P(B)＝＝，所以①錯誤；因為事件B與事件A1相互獨立，所以P(A1|B)＝P(A1)＝＝，所以②錯誤，③正確；A1，A2，A3是兩兩互斥的事件，所以④錯誤，⑤正確．
3．某學校舉行聯(lián)歡會，所有參演的節(jié)目都由甲、乙、丙三名專業(yè)老師投票決定是否獲獎．甲、乙、丙三名老師都有“獲獎”“待定”“淘汰”三類票各一張．每個節(jié)目投票時，甲、乙、丙三名老師必須且只能投一張票，每人投三類票中的任何一類票的概率都為，且三人投票相互沒有影響，若投票結果中至少有兩張“獲獎”票，則決定該節(jié)目最終獲一等獎；否則，該節(jié)目不能獲一等獎．
(1)求某節(jié)目的投票結果是最終獲一等獎的概率；
(2)求某節(jié)目投票結果中所含“獲獎”和“待定”票票數之和X的分布列．
【答案】見解析
【解析】(1)設“某節(jié)目的投票結果是最終獲一等獎”這一事件為A，則事件A包括：該節(jié)目可以得到兩張“獲獎”票，或者得到三張“獲獎”票．因為甲、乙、丙三名老師必須且只能投一張票，每人投三類票中的任何一類票的概率都為，且三人投票相互沒有影響，所以P(A)＝C21＋C3＝.
(2)所含“獲獎”和“待定”票票數之和X的值為0,1,2,3.
P(X＝0)＝3＝；P(X＝1)＝C12＝；
P(X＝2)＝C21＝；P(X＝3)＝3＝.
因此X的分布列為
X
0
1
2
3
P




4.甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語．在一輪活動中，如果兩人都猜對，則“星隊”得3分；如果只有一人猜對，則“星隊”得1分；如果兩人都沒猜對，則“星隊”得0分．已知甲每輪猜對的概率是，乙每輪猜對的概率是；每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響，各輪結果亦互不影響．假設“星隊”參加兩輪活動，求：
(1)“星隊”至少猜對3個成語的概率；
(2)“星隊”兩輪得分之和X的分布列．
【答案】見解析
【解析】(1)記事件A：“甲第一輪猜對”，記事件B：“乙第一輪猜對”，記事件C：“甲第二輪猜對”，記事件D：“乙第二輪猜對”，記事件E：“‘星隊’至少猜對3個成語”．
由題意，有E＝ABCD＋BCD＋ACD＋ABD＋ABC，由事件的獨立性與互斥性，得
P(E)＝P(ABCD)＋P(BCD)＋P(ACD)＋P(ABD)＋P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)P(D)＋P()P(B)P(C)P(D)＋P(A)P()P(C)P(D)＋P(A)P(B)P()P(D)＋P(A)P(B)P(C)P()＝×××＋2×＝.所以“星隊”至少猜對3個成語的概率為.
(2)由題意，隨機變量X可能的取值為0,1,2,3,4,6.由事件的獨立性與互斥性，得P(X＝0)＝×××＝，
P(X＝1)＝2×＝＝，　
P(X＝2)＝×××＋×××＋×××＋×××＝，
P(X＝3)＝×××＋×××＝＝，
P(X＝4)＝2×＝＝，　
P(X＝6)＝×××＝＝.
可得隨機變量X的分布列為
X
0
1
2
3
4
6
P






所以數學期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋6×＝.

【考卷送檢】
一、選擇題
1．甲、乙兩個小組各10名學生的英語口語測試成績如下(單位：分)．
甲組：76,90,84,86,81,87,86,82,85,83
乙組：82,84,85,89,79,80,91,89,79,74
現從這20名學生中隨機抽取一人，將“抽出的學生為甲組學生”記為事件A；“抽出學生的英語口語測試成績不低于85分”記為事件B，則P(AB)，P(A|B)的值分別是(　　)
A.， B.，
C.， D.，
【答案】A　
【解析】 因為P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝，
所以P(A|B)＝＝.
2．已知某射擊運動員，每次擊中目標的概率都是0.8，則該射擊運動員射擊4次至少擊中3次的概率為(　　)
A．0.85 B．0.819 2
C．0.8 D．0.75
【答案】B　
【解析】P＝C0.83×0.2＋C0.84＝0.819 2.
3．如圖所示，用K，A1，A2三類不同的元件連接成一個系統(tǒng)．當K正常工作且A1，A2至少有一個正常工作時，系統(tǒng)正常工作，已知K，A1，A2正常工作的概率依次是0.9,0.8,0.8，則系統(tǒng)正常工作的概率為(　　)

A．0.960 B．0.864
C．0.720 D．0.576
【答案】B　
【解析】A1，A2都不正常工作的概率為0.2×0.2＝0.04，所以A1，A2至少有一個正常工作的概率為1－0.04＝0.96，所以系統(tǒng)正常工作的概率為0.9×0.96＝0.864.
4．已知盒中裝有3只螺口燈泡與7只卡口燈泡，這些燈泡的外形與功率都相同且燈口向下放著，現需要一只卡口燈泡，電工師傅每次從中任取一只并不放回，則在他第1次抽到的是螺口燈泡的條件下，第2次抽到的是卡口燈泡的概率為(　　)
A. B.
C. D.
【答案】D　
【解析】 設事件A為“第1次抽到的螺口燈泡”，事件B為“第2次抽到的是卡口燈泡”，則P(A)＝，P(AB)＝×＝，則所求概率為P(B|A)＝＝＝.
5．袋子A和B中裝有若干個均勻的紅球和白球，從A中摸出一個紅球的概率是，從B中摸出一個紅球的概率為p.若A，B兩個袋子中的球數之比為1∶2，將A，B中的球裝在一起后，從中摸出一個紅球的概率是，則p的值為(　　)
A. B.
C. D.
【答案】B　
【解析】設A中有x個球，B中有y個球，則因為A，B兩個袋子中的球數之比為1∶2，將A，B中的球裝在一起后，從中摸出一個紅球的概率是，所以＝且＝，解得p＝.　
6．將一枚硬幣連擲5次，如果出現k次正面向上的概率等于出現k＋1次正面向上的概率，那么k的值為(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】C　
【解析】C5＝C5，所以k＋(k＋1)＝5，k＝2.
二、填空題
7．如圖所示的電路有a，b，c三個開關，每個開關開或關的概率都是，且是相互獨立的，則燈泡甲亮的概率為________．

【答案】
【解析】 因為a，c閉合，b斷開，燈泡甲亮，所以概率為.
8．一盒中放有大小相同的10個小球，其中8個黑球，2個紅球，現甲、乙二人先后各自從盒子中無放回地任意抽取2個小球，已知甲取到了2個黑球，則乙也取到2個黑球的概率是________．
【答案】
【解析】 記事件“甲取到2個黑球”為A，“乙取到2個黑球”為B，則有P(B|A)＝＝＝，即所求事件的概率是.
9．(2019·山西重點中學聯(lián)考)在全國大學生智能汽車總決賽中，某高校學生開發(fā)的智能汽車在一個標注了平面直角坐標系的平面上從坐標原點出發(fā)，每次只能移動一個單位，沿x軸正方向移動的概率是，沿y軸正方向移動的概率為，則該智能汽車移動6次恰好移動到點(3,3)的概率為________．
【答案】
【解析】 若該智能汽車移動6次恰好到點(3,3)，則智能汽車在移動過程中沿x軸正方向移動3次、沿y軸正方向移動3次，因此智能汽車移動6次后恰好位于點(3,3)的概率為P＝C33＝20×＝，故填.
三、解答題
10．有一種旋轉舞臺燈，外形是正六棱柱，在其每一個側面上安裝5只顏色各異的彩燈，假若每只燈正常發(fā)光的概率為0.5.若一個面上至少有3只燈發(fā)光，則不需要維修，否則需要維修這個面．
(1)求恰好有兩個面需要維修的概率；
(2)求至少三個面需要維修的概率．
【答案】見解析
【解析】 (1)因為一個面不需要維修的概率為P5(3)＋P5(4)＋P5(5)＝C5＋C5＋C5＝，所以一個面需要維修的概率為，所以6個面中恰好有兩個面需要維修的概率為P6(2)＝C6＝.
(2)設需要維修的面為X個，則X～B(6，)，又P6(0)＝＝，P6(1)＝C6＝，P6(2)＝C6＝，故至少有3個面需要維修的概率是1－P6(0)－P6(1)－P6(2)＝1－－－＝.即至少3個面需要維修的概率是.
11．某中學為豐富教職工生活，國慶節(jié)舉辦教職工趣味投籃比賽，有A，B兩個定點投籃位置，在A點投中一球得2分，在B點投中一球得3分．規(guī)則是：每人投籃三次按先A后B再A的順序各投籃一次，教師甲在A和B點投中的概率分別是和，且在A，B兩點投中與否相互獨立．
(1)若教師甲投籃三次，求教師甲投籃得分X的分布列；
(2)若教師乙與教師甲在A，B點投中的概率相同，兩人按規(guī)則各投三次，求甲勝乙的概率．
【答案】見解析
【解析】 (1)設“教師甲在A點投中”的事件為A，“教師甲在B點投中”的事件為B.依題可知X的可能取值為0,2,3,4,5,7.
P(X＝0)＝P(··)＝2×＝，
P(X＝2)＝P(A··＋··A)＝C×××＝，
P(X＝3)＝P(·B·)＝××＝，
P(X＝4)＝P(A··A)＝××＝，
P(X＝5)＝P(A·B·＋·B·A)＝C×××＝，
P(X＝7)＝P(A·B·A)＝××＝.
則教師甲投籃得分X的分布列為
X
0
2
3
4
5
7
P






(2)教師甲勝乙包括：甲得2分、3分、4分、5分、7分五種情形．這五種情形之間彼此互斥，因此所求事件的概率為
P＝×＋×＋×＋×＋×＝.
12．在一種電腦屏幕保護畫面中，符號“○”和“×”隨機地反復出現，每秒鐘變化一次，每次變化只出現“○”和“×”之一，其中出現“○”的概率為p，出現“×”的概率為q.若第k次出現“○”，則記ak＝1；出現“×”，則記ak＝－1，令Sn＝a1＋a2＋…＋an.
(1)當p＝q＝時，記ξ＝|S3|，求ξ 的分布列；
(2)當p＝，q＝時，求S8＝2且Si≥0(i＝1,2,3,4)的概率．
【答案】見解析
【解析】(1)因為ξ＝|S3|的取值為1,3，又p＝q＝，
所以P(ξ＝1)＝C×2×2＝，
P(ξ＝3)＝3＋3＝.
所以ξ的分布列為
ξ
1
3
P


(2)當S8＝2時，即前八秒出現“○”5次，“×”3次，又已知Si≥0(i＝1,2,3,4)，若第一、三秒出現“○”，則其余六秒可任意出現“○”3次；
若第一、二秒出現“○”，第三秒出現“×”，則后五秒可任意出現“○”3次．
故所求的概率P＝2C33＋2C·32＝＝.
13．甲、乙兩位小學生各有2008年奧運吉祥物“福娃”5個(其中“貝貝”“晶晶”“歡歡”“迎迎”和“妮妮”各一個)，現以投擲一個骰子的方式進行游戲，規(guī)則如下：當出現向上的點數是奇數時，甲贏得一個福娃；否則乙贏得甲一個福娃，規(guī)定擲骰子的次數達9次時，或在此前某人已贏得所有福娃時游戲終止．記游戲終止時投擲骰子的次數為ξ.
(1)求擲骰子的次數為7的概率；
(2)求ξ的分布列及數學期望E(ξ)．
【答案】見解析
【解析】(1)當ξ＝7時，“甲贏”即“第七次甲贏，前6次贏5次，且前5次中必輸1次”，依題意，每次甲贏或乙贏的概率均為，所以P(ξ＝7)＝2×C××4××＝.
(2)設游戲終止時骰子向上的點數是奇數出現的次數為m，向上的點數是偶數出現的次數為n，則由或得：
當m＝5，n＝0或m＝0，n＝5時，ξ＝5；
當m＝6，n＝1或m＝1，n＝6時，ξ＝7；
當m＝7，n＝2或m＝2，n＝7時，ξ＝9；
當m＝5，n＝4或m＝4，n＝5時，ξ＝9；
當m＝6，n＝3或m＝3，n＝6時，ξ＝9；
所以ξ的可能取值是5,7,9.
每次投擲甲贏得乙一個福娃與乙贏得甲一個福娃的可能性相同，其概率都是.
P(ξ＝5)＝2×5＝，P(ξ＝7)＝，P(ξ＝9)＝1－P(ξ＝5)－P(ξ＝7)＝，
所以ξ的分布列是
ξ
5
7
9
P



E(ξ)＝5×＋7×＋9×＝.