?第九篇 計(jì)數(shù)原理、概率與隨機(jī)變量及其分布列
專(zhuān)題9.03 二項(xiàng)式定理
【考綱要求】
1.能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理．
2.會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)式展開(kāi)式有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題
【命題趨勢(shì)】
對(duì)二項(xiàng)式定理的考查，主要是利用通項(xiàng)求展開(kāi)式的特定項(xiàng)及參數(shù)值．利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)式的性質(zhì)求有關(guān)系數(shù)等問(wèn)題
【核心素養(yǎng)】
本講內(nèi)容主要考查公式的應(yīng)用，體現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)抽象，邏輯推理的核心素養(yǎng).
【素養(yǎng)清單?基礎(chǔ)知識(shí)】
1.二項(xiàng)式定理
(1)二項(xiàng)式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)；
(2)通項(xiàng)公式：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1項(xiàng)；
(3)二項(xiàng)式系數(shù)：二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)為C，C，…，C.
2.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)


(1)項(xiàng)數(shù)為n＋1.
(2)各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為n.
(3)字母a按降冪排列，從第一項(xiàng)開(kāi)始，次數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由零逐項(xiàng)增1直到n.
二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別
二項(xiàng)式系數(shù)是指C，C，…，C，它只與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，而與a，b的值無(wú)關(guān)；而項(xiàng)的系數(shù)是指該項(xiàng)中除變量外的常數(shù)部分，它不僅與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，而且也與a，b的值有關(guān).如(a＋bx)n的二項(xiàng)展開(kāi)式中，第k＋1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是C，而該項(xiàng)的系數(shù)是Can－kbk.當(dāng)然，在某些二項(xiàng)展開(kāi)式中，各項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)是相等的.
【真題體驗(yàn)】
1.【2019年高考全國(guó)Ⅲ卷理數(shù)】（1+2x2 ）（1+x）4的展開(kāi)式中x3的系數(shù)為
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】A
【解析】由題意得x3的系數(shù)為，故選A．
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理，利用展開(kāi)式通項(xiàng)公式求展開(kāi)式指定項(xiàng)的系數(shù)．
2.【2019年高考浙江卷理數(shù)】在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)是__________；系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是__________．
【答案】
【解析】由題意，的通項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)，可得常數(shù)項(xiàng)為；若展開(kāi)式的系數(shù)為有理數(shù)，則，有共5個(gè)項(xiàng)．故答案為：，．
【名師點(diǎn)睛】此類(lèi)問(wèn)題解法比較明確，首要的是要準(zhǔn)確記憶通項(xiàng)公式，特別是“冪指數(shù)”不能記混，其次，計(jì)算要細(xì)心，確保結(jié)果正確．
3．【2017年高考全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)】展開(kāi)式中的系數(shù)為
A．15 B．20 C．30 D．35
【答案】C
【解析】因?yàn)?，而展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，故所求展開(kāi)式中的系數(shù)為，選C．
【名師點(diǎn)睛】對(duì)于兩個(gè)二項(xiàng)式乘積的問(wèn)題，用第一個(gè)二項(xiàng)式中的每項(xiàng)乘以第二個(gè)二項(xiàng)式的每項(xiàng)，分析含的項(xiàng)共有幾項(xiàng)，進(jìn)行相加即可．這類(lèi)問(wèn)題的易錯(cuò)點(diǎn)主要是未能分析清楚構(gòu)成這一項(xiàng)的具體情況，尤其是兩個(gè)二項(xiàng)展開(kāi)式中的不同．
4．【2017年高考全國(guó)Ⅲ卷理數(shù)】的展開(kāi)式中的系數(shù)為
A． B． C．40 D．80
【答案】C
【解析】，由展開(kāi)式的通項(xiàng)公式可得：當(dāng)時(shí)，展開(kāi)式中的系數(shù)為；當(dāng)時(shí)，展開(kāi)式中的系數(shù)為，則的系數(shù)為．故選C．
【名師點(diǎn)睛】（1）二項(xiàng)式定理的核心是通項(xiàng)公式，求解此類(lèi)問(wèn)題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件(特定項(xiàng))和通項(xiàng)公式，建立方程來(lái)確定指數(shù)(求解時(shí)要注意二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負(fù)整數(shù)，且n≥r，如常數(shù)項(xiàng)指數(shù)為零、有理項(xiàng)指數(shù)為整數(shù)等)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項(xiàng)．（2）求兩個(gè)多項(xiàng)式的積的特定項(xiàng)，可先化簡(jiǎn)或利用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理討論求解．
5.【2019年高考江蘇卷理數(shù)】設(shè)．已知．
（1）求n的值；
（2）設(shè)，其中，求的值．[來(lái)源:學(xué)?？?。網(wǎng)Z。X。X。K]
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因?yàn)椋?br /> 所以，
．
因?yàn)椋?br /> 所以，
解得．
（2）由（1）知，．


．
解法一：
因?yàn)椋裕?br /> 從而．
解法二：

．
因?yàn)?，所以?br /> 因此．
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理、組合數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查分析問(wèn)題能力與運(yùn)算求解能力．
【考法拓展?題型解碼】
考法一　　二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)或系數(shù)問(wèn)題
歸納總結(jié)　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)求展開(kāi)式中的特定項(xiàng)，可依據(jù)條件寫(xiě)出第k＋1項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出k值即可．
(2)已知展開(kāi)式中的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù)．可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)公式寫(xiě)出第k＋1項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出k值，最后求出其參數(shù)．
【例1】 (1)(2019·廣東惠州模擬)在二項(xiàng)式5的展開(kāi)式中，含x4的項(xiàng)的系數(shù)是(　　)
A．10 B．－10
C．－5 D．20
(2)8的展開(kāi)式中的有理項(xiàng)共有__________項(xiàng)．
【答案】(1)A　(2)3
【解析】 (1)Tr＋1＝C·(x2)5－r·(－x－1)r＝C(－1)r·x10－3r，令10－3r＝4，得r＝2，所以含x4項(xiàng)的系數(shù)為C(－1)2＝10，故選A.
(2)展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r＋1＝C·()8－rr＝ (r＝0,1,2，…，8)，為使Tr＋1為有理項(xiàng)，r必須是4的倍數(shù)，所以r＝0,4,8，故共有3個(gè)有理項(xiàng)．
考法二　　多項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)或系數(shù)問(wèn)題
歸納總結(jié)　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)對(duì)于幾個(gè)多項(xiàng)式和的展開(kāi)式中的特定項(xiàng)(系數(shù))問(wèn)題，只需依據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，從每一項(xiàng)中分別得到特定的項(xiàng)，再求和即可．
(2)對(duì)于幾個(gè)多項(xiàng)式積的展開(kāi)式中的特定項(xiàng)問(wèn)題，一般都可以根據(jù)因式連乘的規(guī)律，結(jié)合組合思想求解，但要注意適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用分類(lèi)方法，以免重復(fù)或遺漏．
(3)對(duì)于三項(xiàng)式問(wèn)題一般先變形化為二項(xiàng)式再解決．
【例2】 (1)4＋8的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為(　　)
A．32 B．34
C．36 D．38
(2)(2017·全國(guó)卷Ⅲ)(x＋y)(2x－y)5的展開(kāi)式中x3y3的系數(shù)為(　　)
A．－80 B．－40
C．40 D．80
(3)(2017·全國(guó)卷Ⅰ)(1＋x)6展開(kāi)式中x2的系數(shù)為(　　)
A．15 B．20
C．30 D．35
【答案】 (1)D　(2)C　(3)C
【解析】(1)4的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)m＋1＝C(x3)4－m·m＝C(－2)mx12－4m，令12－4m＝0，解得m＝3，8的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)n＋1＝Cx8－nn＝Cx8－2n，令8－2n＝0，解得n＝4，所以所求常數(shù)項(xiàng)為C(－2)3＋C＝38.
(2)當(dāng)?shù)谝粋€(gè)括號(hào)內(nèi)取x時(shí)，第二個(gè)括號(hào)內(nèi)要取含x2y3的項(xiàng)，即C(2x)2(－y)3；當(dāng)?shù)谝粋€(gè)括號(hào)內(nèi)取y時(shí)，第二個(gè)括號(hào)內(nèi)要取含x3y2的項(xiàng)，即C(2x)3(－y)2，所以x3y3的系數(shù)為C×23－C×22＝10×(8－4)＝40.
(3)(1＋x)6展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r＋1＝Cxr，所以(1＋x)6的展開(kāi)式中x2的系數(shù)為1×C＋1×C＝30，故選C.
考法三　　二項(xiàng)式系數(shù)的和與性質(zhì)
歸納總結(jié)　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　
賦值法的應(yīng)用
(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x＝1即可．
(2)對(duì)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令x＝y(tǒng)＝1即可．
(3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為f(1)．
奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a0＋a2＋a4＋…＝，
偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＋…＝.
【例3】 (1)(2019·新余一中二模)在二項(xiàng)式n的展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)之和為A，各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和為B，且A＋B＝72，則展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)的值為(　　)
A．6 B．9
C．12 D．18
(2)若(1－2x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，則a1＋a2＋a3＋a4＝__________.
【答案】(1)B　(2)0
【解析】(1)在二項(xiàng)式n的展開(kāi)式中，令x＝1得各項(xiàng)系數(shù)之和為4n，所以A＝4n，二項(xiàng)展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和為2n，所以B＝2n，所以4n＋2n＝72，解得n＝3，所以n＝3的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r＋1＝C()3－rr＝，令＝0得r＝1，故展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為T(mén)2＝3C＝9.故選B.
(2)令x＝1可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1；令x＝0，可得a0＝1，所以a1＋a2＋a3＋a4＝0.
考法四　　二項(xiàng)式定理的應(yīng)用
歸納總結(jié)　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)整除問(wèn)題的解題思路：
利用二項(xiàng)式定理找出某兩個(gè)數(shù)(或式)之間的倍數(shù)關(guān)系，是解決有關(guān)整除問(wèn)題和余數(shù)問(wèn)題的基本思路，關(guān)鍵是要合理地構(gòu)造二項(xiàng)式，并將它展開(kāi)進(jìn)行分析判斷．
(2)求近似值的基本方法：
利用二項(xiàng)式定理進(jìn)行近似計(jì)算：當(dāng)n不很大，|x|比較小時(shí)，(1＋x)n≈1＋nx.
【例4】 (1)設(shè)a∈Z，且0≤a

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