【考綱要求】
1. 理解復數(shù)的基本概念．
2．理解復數(shù)相等的充要條件．
3．了解復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．
4．會進行復數(shù)代數(shù)形式的四則運算．
5．了解復數(shù)代數(shù)形式的加、減運算的幾何意義
【命題趨勢】
復數(shù)的概念(如實部、虛部、純虛數(shù)、共軛復數(shù)、復數(shù)的模)及復數(shù)的四則運算(特別是除法運算)是高考考查的主要內容，復數(shù)的幾何意義常與解析幾何知識交匯命題.
【核心素養(yǎng)】
本講內容主要考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。
【素養(yǎng)清單?基礎知識】
1．復數(shù)的有關概念
(1)復數(shù)的概念：
形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫復數(shù)，其中a，b分別是它的實部和虛部．若b＝0，則a＋bi為實數(shù)；若b≠0，則a＋bi為虛數(shù)；若a＝0且b≠0，則a＋bi為純虛數(shù)．
(2)復數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(3)共軛復數(shù)：a＋bi與c＋di共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(4)復數(shù)的模：
向量eq \(OZ,\s\up7(―→))的模r叫做復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模，記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2).
2．復數(shù)的幾何意義
(1)復數(shù)z＝a＋bi 復平面內的點Z(a，b)(a，b∈R)．
(2)復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量eq \(OZ,\s\up7(―→)).
3．復數(shù)的運算
(1)復數(shù)的加、減、乘、除運算法則
設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋bi,c＋di)＝eq \f(?a＋bi??c－di?,?c＋di??c－di?)＝eq \f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq \f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．
(2)復數(shù)加法的運算定律
設z1，z2，z3∈C，則復數(shù)加法滿足以下運算律：
①交換律：z1＋z2＝z2＋z1；
②結合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
【素養(yǎng)清單?常用結論】
(1)(1±i)2＝±2i，eq \f(1＋i,1－i)＝i，eq \f(1－i,1＋i)＝－i.
(2)－b＋ai＝i(a＋bi)．
(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)；i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．
(4)z·eq \x\t(z)＝|z|2＝|eq \x\t(z)|2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(z1,z2)))＝eq \f(|z1|,|z2|)，|zn|＝|z|n.
【真題體驗】
1.【2019年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】設復數(shù)z滿足，z在復平面內對應的點為(x，y)，則（ ）
A．B．
C．D．
【分析】本題考點為復數(shù)的運算，為基礎題目，難度偏易．此題可采用幾何法，根據(jù)點（x，y）和點(0，1)之間的距離為1，可選正確答案為C．
【答案】C
【解析】由題可得則．故選C．
2.【2019年高考北京卷理數(shù)】已知復數(shù)，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由題，則，故選D．
3. 【2019年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】設z=–3+2i，則在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【解析】由得則對應的點（-3，-2）位于第三象限．故選C．
4. 【2019年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】若，則z=（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】．故選D．
【名師點睛】本題考查復數(shù)的除法的運算，滲透了數(shù)學運算素養(yǎng)．采取運算法則法，利用方程思想解題．
5. 【2019年高考天津卷理數(shù)】是虛數(shù)單位，則的值為______________．
【分析】先化簡復數(shù)，再利用復數(shù)模的定義求所給復數(shù)的模．
【答案】
【解析】．
6. 【2019年高考浙江卷】復數(shù)（為虛數(shù)單位），則=______________．
【分析】本題先計算，而后求其模．或直接利用模的性質計算． 容易題，注重基礎知識、運算求解能力的考查．
【答案】
【解析】由題可得
7. 【2019年高考江蘇卷】已知復數(shù)的實部為0，其中為虛數(shù)單位，則實數(shù)a的值是______________．
【分析】本題根據(jù)復數(shù)的乘法運算法則先求得，然后根據(jù)復數(shù)的概念，令實部為0即得a的值．
【答案】
【解析】，
令，解得．
【名師點睛】本題主要考查復數(shù)的運算法則，虛部的定義等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力．
【考法拓展?題型解碼】
考法一 復數(shù)的有關概念
歸納總結：緊扣定義解決復數(shù)概念、共軛復數(shù)問題
(1)求一個復數(shù)的實部與虛部，只需將已知的復數(shù)化為代數(shù)形式z＝a＋bi(a，b∈R)，則該復數(shù)的實部為a，虛部為b.
(2)求一個復數(shù)的共軛復數(shù)，只需將此復數(shù)整理成標準的代數(shù)形式，實部不變，虛部變?yōu)橄喾磾?shù)，即得原復數(shù)的共軛復數(shù)．
【例1】 (1)(2018·浙江卷)復數(shù)eq \f(2,1－i)(i為虛數(shù)單位)的共軛復數(shù)是( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
【答案】B
【解析】因為eq \f(2,1－i)＝eq \f(2?1＋i?,?1－i??1＋i?)＝1＋i，所以其共軛復數(shù)為1－i.故選B．
(2)(2017·全國卷Ⅲ)設復數(shù)z滿足(1＋i)z＝2i，則|z|＝( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(2),2)
C．eq \r(2) D．2
【答案】C
【解析】z＝eq \f(2i,1＋i)＝eq \f(2i?1－i?,?1＋i??1－i?)＝i(1－i)＝1＋i，所以|z|＝eq \r(2).故選C．
(3)(2017·全國卷Ⅰ)下列各式的運算結果為純虛數(shù)的是( )
A．i(1＋i)2 B．i2(1－i)
C．(1＋i)2 D．i(1＋i)
【答案】C
【解析】(1＋i)2＝2i,2i是純虛數(shù)．故選C．
(4)(2017·天津卷)已知a∈R，i為虛數(shù)單位，若eq \f(a－i,2＋i)為實數(shù)，則a的值為__________．
【答案】-2
【解析】因為eq \f(a－i,2＋i)＝eq \f(?a－i??2－i?,5)＝eq \f(1,5)[2a－1－(2＋a)i]為實數(shù)，所以－(2＋a)＝0，所以a＝－2.
考法二 復數(shù)的幾何意義
歸納總結
(1)復數(shù)z、復平面上的點Z及向量eq \(OZ,\s\up7(→))相互聯(lián)系，即z＝a＋bi(a，b∈R)?Z(a，b)?eq \(OZ,\s\up7(→))＝(a，b)．
(2)由于復數(shù)、點、向量之間建立了一一對應的關系，因此可把復數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時可運用數(shù)形結合的方法，使問題的解決更加直觀．
【例2】 (1)(2018·北京卷)在復平面內，復數(shù)eq \f(1,1－i)的共軛復數(shù)對應的點位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】eq \f(1,1－i)＝eq \f(1＋i,?1－i??1＋i?)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)i，其共軛復數(shù)為eq \f(1,2)－eq \f(1,2)i，對應的點eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(1,2)))在第四象限
(2)(2017·北京卷)若復數(shù)(1－i)(a＋i)在復平面內對應的點在第二象限，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)
【答案】B
【解析】復數(shù)(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，其在復平面內對應的點(a＋1,1－a)在第二象限，故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋10，))解得am2－(m2－3m)i成立的實數(shù)m＝__________.
【答案】3
【解析】 因為(m2－4m＋3)i＋10>m2－(m2－3m)i，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－4m＋3＝0，,m2－3m＝0，,10>m2，))解得m＝3.
【遞進題組】
1．若復數(shù)z滿足(1＋2i)z＝(1－i)，則|z|＝( )
A．eq \f(2,5) B．eq \f(3,5)
C．eq \f(\r(10),5) D．eq \r(10)
【答案】C
【解析】 z＝eq \f(1－i,1＋2i)＝eq \f(－1－3i,5)?|z|＝eq \f(\r(10),5).
2．已知復數(shù)z＝1＋i(i是虛數(shù)單位)，則eq \f(2,z)－z2的共軛復數(shù)是( )
A．－1＋3i B．1＋3i
C．1－3i D．－1－3i
【答案】B
【解析】 eq \f(2,z)－z2＝eq \f(2,1＋i)－(1＋i)2＝eq \f(2?1－i?,?1＋i??1－i?)－2i＝1－i－2i＝1－3i，其共軛復數(shù)是1＋3i.故選B．
3．已知復數(shù)z滿足(2＋i)z＝1＋i，則z在復平面內對應的點在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】 z＝eq \f(1＋i,2＋i)＝eq \f(?1＋i??2－i?,?2＋i??2－i?)＝eq \f(3,5)＋eq \f(1,5)i，故復數(shù)z在復平面內對應的點位于第一象限．故選A．
4．設i是虛數(shù)單位，如果復數(shù)eq \f(a＋i,2－i)的實部與虛部相等，那么實數(shù)a的值為( )
A．eq \f(1,3) B．－eq \f(1,3)
C．3 D．－3
【答案】C
【解析】 eq \f(a＋i,2－i)＝eq \f(2a－1＋?a＋2?i,5)，由題意知2a－1＝a＋2，解得a＝3.
5．設(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是實數(shù)，則|x＋yi|＝( )
A．1 B．eq \r(2)
C．eq \r(3) D．2
【答案】B
【解析】 因為x，y∈R，(1＋i)x＝1＋yi，所以x＋xi＝1＋yi，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1，))|x＋yi|＝|1＋i|＝eq \r(2).故選B．
【考卷送檢】
一、選擇題
1．(2018·全國卷Ⅱ)i(2＋3i)＝( )
A．3－2i B．3＋2i
C．－3－2i D．－3＋2i
【答案】D
【解析】 依題意得i(2＋3i)＝2i＋3i2＝－3＋2i.故選D．
2．若復數(shù)z滿足方程z＋2＝zi(其中i為虛數(shù)單位)，則復數(shù)z的共軛復數(shù)eq \x\t(z)等于( )
A．－1－i B．－1＋i
C．1＋i D．1－i
【答案】B
【解析】 因為z＋2＝zi，所以z(1－i)＝－2，所以z＝eq \f(－2,1－i)＝eq \f(－2?1＋i?,2)＝－1－i，所以eq \x\t(z)＝－1＋i.故選B．
3．i是虛數(shù)單位，若eq \f(2＋i,1＋i)＝a＋bi(a，b∈R)，則lg(a＋b)的值是( )
A．－2 B．－1
C．0 D．eq \f(1,2)
【答案】C
【解析】 因為eq \f(?2＋i??1－i?,?1＋i??1－i?)＝eq \f(3－i,2)＝eq \f(3,2)－eq \f(1,2)i＝a＋bi，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(3,2)，,b＝－\f(1,2)，))所以lg(a＋b)＝lg 1＝0.故選C．
4．已知復數(shù)z＝(a2－1)＋(a－1)i(a∈R)是純虛數(shù)，則a＝( )
A．0 B．1
C．－1 D．±1
【答案】C
【解析】 易得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－1＝0，,a－1≠0，))解得a＝－1.
5．滿足eq \f(z＋i,z)＝i(i為虛數(shù)單位)的復數(shù)z＝( )
A．eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)i B．eq \f(1,2)－eq \f(1,2)i
C．－eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)i D．－eq \f(1,2)－eq \f(1,2)i
【答案】B
【解析】 易得z＋i＝zi，所以(1－i)z＝－i，解得z＝eq \f(－i,1－i)＝eq \f(1,2)－eq \f(1,2)i.故選B．
6．已知復數(shù)z＝1＋ai(a∈R)(i是虛數(shù)單位)，eq \f(\x\t(z),z)＝－eq \f(3,5)＋eq \f(4,5)i，則a＝( )
A．2 B．－2
C．±2 D．－eq \f(1,2)
【答案】B
【解析】 由題意可得eq \f(1－ai,1＋ai)＝－eq \f(3,5)＋eq \f(4,5)i，即eq \f(?1－ai?2,1＋a2)＝eq \f(1－a2－2ai,1＋a2)＝－eq \f(3,5)＋eq \f(4,5)i，所以eq \f(1－a2,1＋a2)＝－eq \f(3,5)，eq \f(－2a,1＋a2)＝eq \f(4,5)，所以a＝－2.故選B．
二、填空題
7．若復數(shù)z＝1＋2i，其中i是虛數(shù)單位，則eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(z＋\f(1,\x\t(z))))·eq \x\t(z)＝________.
【答案】 6
【解析】 因為z＝1＋2i，所以eq \x\t(z)＝1－2i.所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(z＋\f(1,\x\t(z))))·eq \x\t(z)＝z·eq \x\t(z)＋1＝5＋1＝6.
8．(2017·浙江卷)已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虛數(shù)單位)，則a2＋b2＝________，ab＝________.
【答案】 5 2
【解析】 因為(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝3＋4i，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－b2＝3，,2ab＝4，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－2，,b＝－1，))所以a2＋b2＝5，ab＝2.
9．若復數(shù)z滿足(1＋2i)z＝|3＋4i|(i為虛數(shù)單位)，則復數(shù)z＝________.
【答案】 1－2i
【解析】 因為(1＋2i)z＝|3＋4i|＝5，
所以z＝eq \f(5,1＋2i)＝eq \f(5?1－2i?,?1＋2i??1－2i?)＝1－2i.
三、解答題
10．計算：(1)eq \f(?－1＋i??2＋i?,i3)；
(2)eq \f(?1＋2i?2＋3?1－i?,2＋i)；
(3)eq \f(1－i,?1＋i?2)＋eq \f(1＋i,?1－i?2)；
(4)eq \f(1－\r(3)i,?\r(3)＋i?2).
【答案】見解析
【解析】 (1)eq \f(?－1＋i??2＋i?,i3)＝eq \f(－3＋i,－i)＝eq \f(?－3＋i?i,－i·i)＝－1－3i.
(2)eq \f(?1＋2i?2＋3?1－i?,2＋i)＝eq \f(－3＋4i＋3－3i,2＋i)＝eq \f(i,2＋i)
＝eq \f(i?2－i?,5)＝eq \f(1,5)＋eq \f(2,5)i.
(3)eq \f(1－i,?1＋i?2)＋eq \f(1＋i,?1－i?2)＝eq \f(1－i,2i)＋eq \f(1＋i,－2i)＝eq \f(1＋i,－2)＋eq \f(－1＋i,2)＝－1.
(4)eq \f(1－\r(3)i,?\r(3)＋i?2)＝eq \f(?\r(3)＋i??－i?,?\r(3)＋i?2)＝eq \f(－i,\r(3)＋i)＝eq \f(－i?\r(3)－i?,?\r(3)＋i??\r(3)－i?)
＝eq \f(－1－\r(3)i,4)＝－eq \f(1,4)－eq \f(\r(3),4)i.
11．如圖所示，平行四邊形OABC，頂點O，A，C分別表示復數(shù)0，3＋2i，－2＋4i，試求：
(1)eq \(AO,\s\up7(→))，eq \(BC,\s\up7(→))所表示的復數(shù)；
(2)對角線eq \(CA,\s\up7(→))所表示的復數(shù)；
(3)B點對應的復數(shù)．
【答案】見解析
【解析】 (1)eq \(AO,\s\up7(→))＝－eq \(OA,\s\up7(→))，所以eq \(AO,\s\up7(→))所表示的復數(shù)為－3－2i.因為eq \(BC,\s\up7(→))＝eq \(AO,\s\up7(→))，所以eq \(BC,\s\up7(→))所表示的復數(shù)為－3－2i.
(2)eq \(CA,\s\up7(→))＝eq \(OA,\s\up7(→))－eq \(OC,\s\up7(→))，所以eq \(CA,\s\up7(→))所表示的復數(shù)為(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)eq \(OB,\s\up7(→))＝eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OC,\s\up7(→))，所以eq \(OB,\s\up7(→))所表示的復數(shù)為(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，即B點對應的復數(shù)為1＋6i.
12．若虛數(shù)z同時滿足下列兩個條件：
①z＋eq \f(5,z)是實數(shù)；
②z＋3的實部與虛部互為相反數(shù)．
這樣的虛數(shù)是否存在？若存在，求出z；若不存在，請說明理由．
【答案】見解析
【解析】 這樣的虛數(shù)存在，z＝－1－2i或z＝－2－i.設z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，z＋eq \f(5,z)＝a＋bi＋eq \f(5,a＋bi)＝a＋bi＋eq \f(5?a－bi?,a2＋b2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(5a,a2＋b2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b－\f(5b,a2＋b2)))i.因為z＋eq \f(5,z)是實數(shù)，所以b－eq \f(5b,a2＋b2)＝0.又因為b≠0，所以a2＋b2＝5.①
又z＋3＝(a＋3)＋bi的實部與虛部互為相反數(shù)，所以a＋3＋b＝0.②
由①②得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＋3＝0，,a2＋b2＝5，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝－2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－2，,b＝－1，))故存在虛數(shù)z＝－1－2i
或z＝－2－i.
13．(2019·巴蜀中學檢測)歐拉公式eix＝cs x＋isin x(i為虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學家歐拉發(fā)明的，將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關系，在復變函數(shù)論里占有非常重要的地位，被譽為“數(shù)學中的天橋”，根據(jù)歐拉公式可知，e2i表示的復數(shù)在復平面中位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】 由新定義可知e2i＝cs 2＋isin 2，而2弧度為第二象限的角，所以cs 2＜0，sin 2＞0，對應點(cs 2，sin 2)在第二象限．
一個復數(shù)為純虛數(shù)，不僅要求實部為0，還需要求虛部不為0.
復數(shù)z＝a＋bi?a，b∈R?的對應點的坐標為?a，b?，而不是?a，bi?.

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專題2.8 函數(shù)與方程-2022年高考數(shù)學一輪復習核心素養(yǎng)大揭秘學案

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