【考綱要求】
1. 了解平面向量的基本定理及其意義．
2．掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示．
3．會用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算．
4．理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.
【命題趨勢】
對平面向量基本定理及坐標(biāo)表示的考查主要是加、減、數(shù)乘及向量共線定理的坐標(biāo)表示及應(yīng)用。
【核心素養(yǎng)】
本講內(nèi)容主要考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng)。
【素養(yǎng)清單?基礎(chǔ)知識】
1．平面向量基本定理
(1)定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
(2)基底：不共線的向量e1e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．
?1?基底e1，e2必須是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，零向量不能作為基底；
?2?基底給定，同一向量的分解形式唯一；
?3?如果對于一組基底e1，e2，有a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，則可以得到eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ1＝μ1，,λ2＝μ2.))
2．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
(1)向量的加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模：
設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，
a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)).
eq \a\vs4\al(若a＝b，則x1＝x2且y1＝y(tǒng)2.)
(2)向量坐標(biāo)的求法：
①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)．
②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq \(AB,\s\up7(―→))＝(x2－x1，y2－y1)，
|eq \(AB,\s\up7(―→))|＝eq \r(?x2－x1?2＋?y2－y1?2).
3．平面向量共線的坐標(biāo)表示
設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b?x1y2－x2y1＝0.
當(dāng)且僅當(dāng)x2y2≠0時，a∥b與eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)等價．即兩個不平行于坐標(biāo)軸的共線向量的對應(yīng)坐標(biāo)成比例．
【素養(yǎng)清單?常用結(jié)論】
若eq \(OA,\s\up7(→))，eq \(OB,\s\up7(→))是平面內(nèi)不共線的向量，則存在實(shí)數(shù)λ1，λ2使得eq \(OC,\s\up7(→))＝λ1eq \(OA,\s\up7(→))＋λ2eq \(OB,\s\up7(→))，則當(dāng)λ1＋λ2＝1時，A，B，C三點(diǎn)共線，特別地，當(dāng)λ1＝λ2＝eq \f(1,2)時，C是A與B的中點(diǎn)
【真題體驗(yàn)】
1.【2018年高考全國III卷理數(shù)】已知向量，，．若，則___________．
【答案】
【解析】由題可得，，，，即，故答案為.
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及兩向量共線的坐標(biāo)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.解題時，由兩向量共線的坐標(biāo)關(guān)系計算即可.
2.【2017年高考江蘇卷】如圖，在同一個平面內(nèi)，向量，，的模分別為1，1，，與的夾角為，且=7，與的夾角為45°．若，則___________．

【答案】3
【解析】由可得，，根據(jù)向量的分解，
易得，即，即，即得，
所以．
【名師點(diǎn)睛】（1）向量的坐標(biāo)運(yùn)算將向量與代數(shù)有機(jī)結(jié)合起來，這就為向量和函數(shù)、方程、不等式的結(jié)合提供了前提，運(yùn)用向量的有關(guān)知識可以解決某些函數(shù)、方程、不等式問題．
（2）以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等相結(jié)合的一類綜合問題．通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可將原問題轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域的問題，是此類問題的一般方法．
（3）向量的兩個作用：①載體作用，關(guān)鍵是利用向量的意義、作用脫去“向量外衣”，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的數(shù)學(xué)問題；②工具作用，利用向量可解決一些垂直、平行、夾角與距離問題．
2．若向量eq \(AB,\s\up7(→))＝(1,2)，eq \(BC,\s\up7(→))＝(3,4)，則eq \(AC,\s\up7(→))＝( )
A．(4,6) B．(－4，－6)
C．(－2，－2) D．(2,2)
【答案】A
【解析】 因?yàn)閑q \(AC,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BC,\s\up7(→))，所以eq \(AC,\s\up7(→))＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6)．
3．已知兩點(diǎn)A(4,1)，B(7，－3)，則與eq \(AB,\s\up7(→))同向的單位向量是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，－\f(4,5))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，\f(4,5)))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)，\f(3,5))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，－\f(3,5)))
【答案】A
【解析】 因?yàn)锳(4,1)，B(7，－3)，所以eq \(AB,\s\up7(→))＝(3，－4)，所以與eq \(AB,\s\up7(→))同向的單位向量為eq \f(\(AB,\s\up7(→)),|\(AB,\s\up7(→))|)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，－\f(4,5))).
4．(2017·山東卷)已知向量a＝(2,6)，b＝(－1，λ)．若a∥b，則λ＝__________.
【答案】 －3
【解析】 因?yàn)閍∥b，所以－1×6＝2λ，所以λ＝－3.
5．梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，點(diǎn)M，N分別是CD，AB的中點(diǎn)，設(shè)eq \(AB,\s\up7(→))＝a，eq \(AD,\s\up7(→))＝b.若eq \(MN,\s\up7(→))＝ma＋nb，則eq \f(n,m)＝__________.
【答案】 －4
【解析】 因?yàn)閑q \(MN,\s\up7(→))＝eq \(MD,\s\up7(→))＋eq \(DA,\s\up7(→))＋eq \(AN,\s\up7(→))＝－eq \f(1,4)a－b＋eq \f(1,2)a＝eq \f(1,4)a－b，
所以m＝eq \f(1,4)，n＝－1，所以eq \f(n,m)＝－4.
【考法拓展?題型解碼】
考法一 平面向量基本定理的應(yīng)用
歸納總結(jié)
(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算．
(2)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決．
【例1】 (1)在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn)．若eq \(AC,\s\up7(→))＝λeq \(AE,\s\up7(→))＋μeq \(AF,\s\up7(→))，其中λ，μ∈R，則λ＋μ＝__________.
【答案】eq \f(4,3)
【解析】選擇eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(AD,\s\up7(→))作為平面向量的一組基底，則eq \(AC,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AD,\s\up7(→))，eq \(AE,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AD,\s\up7(→))，eq \(AF,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up7(→))，
又eq \(AC,\s\up7(→))＝λeq \(AE,\s\up7(→))＋μeq \(AF,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)λ＋μ))eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ＋\f(1,2)μ))eq \(AD,\s\up7(→))，
于是得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)λ＋μ＝1，,λ＋\f(1,2)μ＝1，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(2,3)，,μ＝\f(2,3)，))故λ＋μ＝eq \f(4,3).
(2)如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點(diǎn)M，N，若eq \(AB,\s\up7(→))＝meq \(AM,\s\up7(→))，eq \(AC,\s\up7(→))＝neq \(AN,\s\up7(→))，則mn的最大值為__________．
【答案】1
【解析】因?yàn)辄c(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，所以eq \(AO,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→)))．又因?yàn)閑q \(AB,\s\up7(→))＝meq \(AM,\s\up7(→))，eq \(AC,\s\up7(→))＝neq \(AN,\s\up7(→))，所以eq \(AO,\s\up7(→))＝eq \f(m,2)eq \(AM,\s\up7(→))＋eq \f(n,2)eq \(AN,\s\up7(→)).又因?yàn)镸，O，N三點(diǎn)共線，所以eq \f(m,2)＋eq \f(n,2)＝1，即m＋n＝2，所以mn≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,2)＋\f(n,2)))2＝1，
當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝1時，等號成立，故mn的最大值為1.
考法二 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
歸納總結(jié)：平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧
(1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來進(jìn)行求解，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)．要注意點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)之間的關(guān)系，一個向量的坐標(biāo)等于向量終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)．
(2)解題過程中，常利用向量相等則其坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程(組)來進(jìn)行求解．
【例2】 (1)已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，則c＝( )
A．(－23，－12) B．(23,12)
C．(7,0) D．(－7,0)
【答案】A
【解析】3a－2b＋c＝(23＋x,12＋y)＝0，故x＝－23，y＝－12.故選A．
(2)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)．若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，則m－n的值為__________．
【答案】－3
【解析】由向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，得ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m＋n＝9，,m－2n＝－8，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝2，,n＝5，))故m－n＝－3.
(3)平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C(－1，c)(c＞0)，且|eq \(OC,\s\up7(→))|＝2，若eq \(OC,\s\up7(→))＝λeq \(OA,\s\up7(→))＋μeq \(OB,\s\up7(→))，則實(shí)數(shù)λ＋μ的值為__________．
【答案】eq \r(3)－1
【解析】因?yàn)閨eq \(OC,\s\up7(→))|＝2，所以|eq \(OC,\s\up7(→))|2＝1＋c2＝4，因?yàn)閏>0，所以c＝eq \r(3).因?yàn)閑q \(OC,\s\up7(→))＝λeq \(OA,\s\up7(→))＋μeq \(OB,\s\up7(→))，所以(－1，eq \r(3))＝λ(1,0)＋μ(0,1)，所以λ＝－1，μ＝eq \r(3)，所以λ＋μ＝eq \r(3)－1.
考法三 平面向量共線的坐標(biāo)表示
歸納總結(jié)
(1)利用兩向量共線求參數(shù)．如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時，則利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1”解題比較方便．
(2)利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo)．一般地，在求與一 個已知向量a共線的向量時，可設(shè)所求向量為λa(λ∈R)，然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．
【例3】 (1)已知向量m＝(1,7)與向量n＝(k，k＋18)平行，則k的值為( )
A．－6 B．3
C．4 D．6
【答案】B
【解析】因?yàn)閙∥n，所以7k＝k＋18，解得k＝3.故選B．
(2)已知點(diǎn)A(0,1)，B(3,2)，C(2，k)，且A，B，C三點(diǎn)共線，則向量eq \(AC,\s\up7(→))＝( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(2,3))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(5,3)))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，2)) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，2))
【答案】A
【解析】Aeq \(B,\s\up7(→))＝(3,1)，Aeq \(C,\s\up7(→))＝(2，k－1)，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以可設(shè)Aeq \(B,\s\up7(→))＝λAeq \(C,\s\up7(→))，即(3,1)＝λ(2，k－1)，所以2λ＝3，即λ＝eq \f(3,2)，所以Aeq \(C,\s\up7(→))＝eq \f(1,λ)Aeq \(B,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(2,3))).
(3)(2018·全國卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，則λ＝__________.
【答案】eq \f(1,2)
【解析】因?yàn)?a＋b＝(4,2)，c＝(1，λ)，且(2a＋b)∥c，所以4λ＝2，所以λ＝eq \f(1,2).
【易錯警示】
易錯點(diǎn) 不會利用坐標(biāo)法解答向量問題
【典例】 (2019·長沙模擬)給定兩個長度為1的平面向量eq \(OA,\s\up7(→))和eq \(OB,\s\up7(→))，它們的夾角為eq \f(2π,3).如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的Aeq \x\t(B)上運(yùn)動．若eq \(OC,\s\up7(→))＝xeq \(OA,\s\up7(→))＋yeq \(OB,\s\up7(→))，其中x，y∈R，問x＋y是否存在最大值？若不存在，說明理由．若存在，則求出最大值．
【錯解】當(dāng)C點(diǎn)在A或B時，有x＝0，y＝1或x＝1，y＝0，所以x＋y＝1，此時A，B，C三點(diǎn)共線，不可能最大；當(dāng)C點(diǎn)為A，B中點(diǎn)時，x，y均大于1，即x＋y＞2，故x＋y沒有最大值．
【錯因分析】：由于C為動點(diǎn)，不知C點(diǎn)在何處時，x＋y最大，沒有建立一個能解決問題的數(shù)學(xué)模型，也就無從下手，得出錯誤答案．
【正解】：以O(shè)點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)，Oeq \(A,\s\up7(→))所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A(1,0)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).
設(shè)∠AOC＝αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))))，
則C(cs α，sin α)，
由eq \(OC,\s\up7(→))＝xeq \(OA,\s\up7(→))＋yeq \(OB,\s\up7(→))，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs α＝x－\f(1,2)y，,sin α＝\f(\r(3),2)y，))
所以x＝cs α＋eq \f(\r(3),3)sin α，y＝eq \f(2\r(3),3)sin α，
所以x＋y＝cs α＋eq \r(3)sin α＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))，
又α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))，所以當(dāng)α＝eq \f(π,3)時，x＋y取得最大值2.
答題模板：利用坐標(biāo)法求解向量問題的步驟
第一步：在圖形上建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；
第二步：根據(jù)題設(shè)條件，求出對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)和相關(guān)向量的坐標(biāo)；
第三步：根據(jù)共線的條件將坐標(biāo)代入條件化簡，并求出參數(shù)的值或最值．
【跟蹤訓(xùn)練】 (2017·江蘇卷)如圖，在同一個平面內(nèi)，向量Oeq \(A,\s\up7(→))，Oeq \(B,\s\up7(→))，Oeq \(C,\s\up7(→))的模分別為1,1，eq \r(2)，Oeq \(A,\s\up7(→))與Oeq \(C,\s\up7(→))的夾角為α，且tan α＝7，Oeq \(B,\s\up7(→))與Oeq \(C,\s\up7(→))的夾角為45°.若Oeq \(C,\s\up7(→))＝m Oeq \(A,\s\up7(→))＋n Oeq \(B,\s\up7(→))(m，n∈R)，則m＋n＝__________.
【答案】3
【解析】 以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(1,0)，由tan α＝7，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，得sin α＝eq \f(7,5\r(2))，cs α＝eq \f(1,5\r(2))，設(shè)C(xC，yC)，B(xB，yB)，則xC＝|eq \(OC,\s\up7(→))|cs α＝eq \r(2)×eq \f(1,5\r(2))＝eq \f(1,5)，yC＝|eq \(OC,\s\up7(→))|sin α＝eq \r(2)×eq \f(7,5\r(2))＝eq \f(7,5)，即Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)，\f(7,5))).又cs(α＋45°)＝eq \f(1,5\r(2))×eq \f(1,\r(2))－eq \f(7,5\r(2))×eq \f(1,\r(2))＝－eq \f(3,5)，sin(α＋45°)＝eq \f(4,5)，
則xB＝|eq \(OB,\s\up7(→))|cs(α＋45°)＝－eq \f(3,5)，yB＝|eq \(OB,\s\up7(→))|sin(α＋45°)＝eq \f(4,5)，
即Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，\f(4,5)))，由eq \(OC,\s\up7(→))＝meq \(OA,\s\up7(→))＋neq \(OB,\s\up7(→))，可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,5)＝m－\f(3,5)n，,\f(7,5)＝\f(4,5)n，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(5,4)，,n＝\f(7,4)，))所以m＋n＝eq \f(5,4)＋eq \f(7,4)＝3.
【遞進(jìn)題組】
1．設(shè)平面向量a＝(1,2)，b＝(2，－1)，則向量eq \f(1,2)a－eq \f(3,2)b＝( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)，－\f(5,2))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)，\f(5,2)))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，－\f(5,2))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，\f(5,2)))
【答案】B
【解析】 由題意得eq \f(1,2)a－eq \f(3,2)b＝eq \f(1,2)(1,2)－eq \f(3,2)(2，－1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(3,2)×2，1＋\f(3,2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)，\f(5,2))).
2．已知向量eq \(OA,\s\up7(→))＝(k,12)，eq \(OB,\s\up7(→))＝(4,5)，eq \(OC,\s\up7(→))＝(－k,10)，且A，B，C三點(diǎn)共線，則k的值是( )
A．－eq \f(2,3) B．eq \f(4,3)
C．eq \f(1,2) D．eq \f(1,3)
【答案】A
【解析】 eq \(AB,\s\up7(→))＝eq \(OB,\s\up7(→))－eq \(OA,\s\up7(→))＝(4－k，－7)，eq \(AC,\s\up7(→))＝eq \(OC,\s\up7(→))－eq \(OA,\s\up7(→))＝(－2k，－2)．因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(AC,\s\up7(→))共線，所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－eq \f(2,3).
3．在下列向量中，可以把向量a＝(3,2)表示出來的是( )
A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)
B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)
【答案】B
【解析】 因?yàn)閍＝(3,2)，若e1＝(0,0)，e2＝(1,2)，不存在實(shí)數(shù)λ，μ，使得a＝λe1＋μe2，排除A項(xiàng)；若e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)，設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，μ，使得a＝λe1＋μe2，則(3,2)＝λ(－1,2)＋μ(5，－2)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3＝－λ＋5μ，,2＝2λ－2μ，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝2，,μ＝1，))則a＝2e1＋e2，符合題意；易知C，D項(xiàng)為共線向量，排除C，D項(xiàng)．故選B．
4．已知平面向量a，b滿足|a|＝1，b＝(1,1)，且a∥b，則向量a的坐標(biāo)是__________．
【答案】 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))
【解析】 設(shè)a＝(x，y)，因?yàn)槠矫嫦蛄縜，b滿足|a|＝1，b＝(1,1)，且a∥b，所以eq \r(x2＋y2)＝1，且x－y＝0，解得x＝y(tǒng)＝±eq \f(\r(2),2).所以a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2))).
5．已知點(diǎn)A(2,3)，B(4,5)，C(7,10)，若eq \(AP,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋λeq \(AC,\s\up7(→))(λ∈R)，且點(diǎn)P在直線x－2y＝0上，則λ的值為__________．
【答案】 －eq \f(2,3)
【解析】 設(shè)P(x，y)，由eq \(AP,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋λeq \(AC,\s\up7(→))得(x－2，y－3)＝(2,2)＋λ(5,7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，所以x＝5λ＋4，y＝7λ＋5.又點(diǎn)P在直線x－2y＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－eq \f(2,3).
【考卷送檢】
一、選擇題
1．若向量eq \(AB,\s\up7(→))＝(2,4)，eq \(AC,\s\up7(→))＝(1,3)，則eq \(BC,\s\up7(→))＝( )
A．(1,1) B．(－1，－1)
C．(3,7) D．(－3，－7)
【答案】B
【解析】 因?yàn)閑q \(AB,\s\up7(→))＝(2,4)，eq \(AC,\s\up7(→))＝(1,3)，所以eq \(BC,\s\up7(→))＝eq \(AC,\s\up7(→))－eq \(AB,\s\up7(→))＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)．故選B．
2．已知向量m＝(a，－2)，n＝(1,1－a)，且m∥n，則實(shí)數(shù)a＝( )
A．－1 B．2或－1
C．2 D．－2
【答案】B
【解析】 因?yàn)閙∥n，所以a(1－a)＝－2，即a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2.故選B．
3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)O(0,0)，A(0,1)，B(1，－2)，C(m,0)．若eq \(OB,\s\up7(→))∥eq \(AC,\s\up7(→))，則實(shí)數(shù)m的值為( )
A．－2 B．－eq \f(1,2)
C．eq \f(1,2) D．2
【答案】C
【解析】 因?yàn)閑q \(OB,\s\up7(→))＝(1，－2)，eq \(AC,\s\up7(→))＝(m，－1)．又因?yàn)閑q \(OB,\s\up7(→))∥eq \(AC,\s\up7(→))，所以eq \f(m,1)＝eq \f(－1,－2)，m＝eq \f(1,2).故選C．
4．已知點(diǎn)O是△ABC的外接圓圓心，且AB＝3，AC＝4.若存在非零實(shí)數(shù)x，y，使得eq \(AO,\s\up7(→))＝xeq \(AB,\s\up7(→))＋yeq \(AC,\s\up7(→))，且x＋2y＝1，則cs∠BAC的值為( )
A．eq \f(2,3) B．eq \f(\r(3),3)
C．eq \f(\r(2),3) D．eq \f(1,3)
【答案】A
【解析】 設(shè)M為AC的中點(diǎn)，則eq \(AO,\s\up7(→))＝xeq \(AB,\s\up7(→))＋yeq \(AC,\s\up7(→))＝xeq \(AB,\s\up7(→))＋2yeq \(AM,\s\up7(→)).因?yàn)閤＋2y＝1，所以O(shè)，B，M三點(diǎn)共線．又因?yàn)镺是△ABC的外接圓圓心，所以BM⊥AC，從而cs∠BAC＝eq \f(2,3).故選A．
5．如圖，在△OAB中，P為線段AB上的一點(diǎn)，Oeq \(P,\s\up7(→))＝xeq \(OA,\s\up7(→))＋yeq \(OB,\s\up7(→))，且Beq \(P,\s\up7(→))＝2Peq \(A,\s\up7(→))，則( )
A．x＝eq \f(2,3)，y＝eq \f(1,3) B．x＝eq \f(1,3)，y＝eq \f(2,3)
C．x＝eq \f(1,4)，y＝eq \f(3,4) D．x＝eq \f(3,4)，y＝eq \f(1,4)
【答案】A
【解析】 由題意知Oeq \(P,\s\up7(→))＝Oeq \(B,\s\up7(→))＋Beq \(P,\s\up7(→))，又Beq \(P,\s\up7(→))＝2Peq \(A,\s\up7(→))＝eq \f(2,3)eq \(BA,\s\up7(→))，
所以O(shè)eq \(P,\s\up7(→))＝Oeq \(B,\s\up7(→))＋eq \f(2,3)Beq \(A,\s\up7(→))＝Oeq \(B,\s\up7(→))＋eq \f(2,3)(Oeq \(A,\s\up7(→))－Oeq \(B,\s\up7(→)))＝eq \f(2,3)Oeq \(A,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)Oeq \(B,\s\up7(→))，
所以x＝eq \f(2,3)，y＝eq \f(1,3).
6．(2019·忻州二中期中)如圖所示，已知點(diǎn)G是△ABC的重心，過點(diǎn)G作直線與AB，AC兩邊分別交于M，N兩點(diǎn)，且eq \(AM,\s\up7(→))＝xeq \(AB,\s\up7(→))，eq \(AN,\s\up7(→))＝y(tǒng)eq \(AC,\s\up7(→))，則eq \f(xy,x＋y)的值為( )
A．3 B．eq \f(1,3)
C．2 D．eq \f(1,2)
【答案】B
【解析】 (特值法)利用三角形的性質(zhì)，過重心作平行于底邊BC的直線，得x＝y(tǒng)＝eq \f(2,3)，則eq \f(xy,x＋y)＝eq \f(1,3).
二、填空題
7．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)，若(a－c)∥b，則k＝________.
【答案】 5
【解析】 因?yàn)閍＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)，所以a－c＝(3－k，－6)．
因?yàn)?a－c)∥b，所以1×(－6)＝3×(3－k)，解得k＝5.
8．已知向量a＝(λ＋1,1)，b＝(λ＋2,2)，若(a＋b)∥(a－b)，則λ＝________.
【答案】 0
【解析】 因?yàn)閍＋b＝(2λ＋3,3)，a－b＝(－1，－1)，且(a＋b)∥(a－b)，
所以eq \f(2λ＋3,－1)＝eq \f(3,－1)，所以λ＝0.
9．已知向量eq \(OA,\s\up7(→))＝(3,4)，eq \(OB,\s\up7(→))＝(6，－3)，eq \(OC,\s\up7(→))＝(5－m，－3－m)，若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m應(yīng)滿足的條件是________．
【答案】 m≠－eq \f(7,10)
【解析】 因?yàn)閑q \(AB,\s\up7(→))＝eq \(OB,\s\up7(→))－eq \(OA,\s\up7(→))＝(3，－7)，eq \(AC,\s\up7(→))＝eq \(OC,\s\up7(→))－eq \(OA,\s\up7(→))＝(2－m，－7－m)，點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，所以點(diǎn)A，B，C不共線，即eq \(AB,\s\up7(→))與eq \(AC,\s\up7(→))不共線，所以3×(－7－m)－(－7)×(2－m)≠0，解得m≠－eq \f(7,10)，故實(shí)數(shù)m應(yīng)滿足m≠－eq \f(7,10).
三、解答題
10．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．求：
(1)|a＋3b|；
(2)當(dāng)k為何實(shí)數(shù)時，ka－b與a＋3b平行，平行時它們是同向還是反向？
【答案】 見解析
【解析】 (1)因?yàn)閍＝(1,0)，b＝(2,1)，所以a＋3b＝(7,3)．故|a＋3b|＝eq \r(72＋32)＝eq \r(58).
(2)ka－b＝(k－2，－1)，a＋3b＝(7,3)．因?yàn)閗a－b與a＋3b平行，所以3(k－2)＋7＝0，即k＝－eq \f(1,3).此時ka－b＝(k－2，－1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,3)，－1))，a＋3b＝(7,3)，則a＋3b＝－3(ka－b)，即此時向量a＋3b與ka－b方向相反．
11．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．設(shè)eq \(AB,\s\up7(→))＝a，eq \(BC,\s\up7(→))＝b，eq \(CA,\s\up7(→))＝c，且eq \(CM,\s\up7(→))＝3c，eq \(CN,\s\up7(→))＝－2b，
(1)求3a＋b－3c；
(2)求滿足a＝mb＋nc的實(shí)數(shù)m，n；
(3)求M，N的坐標(biāo)及向量eq \(MN,\s\up7(→))的坐標(biāo)．
【答案】 見解析
【解析】 由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)因?yàn)閍＝mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－6m＋n＝5，,－3m＋8n＝－5，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－1，,n＝－1.))
(3)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，因?yàn)閑q \(CM,\s\up7(→))＝eq \(OM,\s\up7(→))－eq \(OC,\s\up7(→))＝3c，所以eq \(OM,\s\up7(→))＝3c＋eq \(OC,\s\up7(→))＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，所以M(0,20)．又因?yàn)閑q \(CN,\s\up7(→))＝eq \(ON,\s\up7(→))－eq \(OC,\s\up7(→))＝－2b，所以eq \(ON,\s\up7(→))＝－2b＋eq \(OC,\s\up7(→))＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，所以N(9,2)．所以eq \(MN,\s\up7(→))＝(9，－18)．
12．平面內(nèi)給定三個向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．
(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求實(shí)數(shù)k的值；
(2)若d滿足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝eq \r(5)，求d的坐標(biāo)．
【答案】 見解析
【解析】 (1)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，由題意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，解得k＝－eq \f(16,13).
(2)設(shè)d＝(x，y)，則d－c＝(x－4，y－1)，又a＋b＝(2,4)，|d－c|＝eq \r(5)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4?x－4?－2?y－1?＝0，,?x－4?2＋?y－1?2＝5，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝－1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝5，,y＝3.))所以d的坐標(biāo)為(3，－1)或(5,3)．
13．在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，動點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上．若eq \(AP,\s\up7(→))＝λeq \(AB,\s\up7(→))＋μeq \(AD,\s\up7(→))，則λ＋μ的最大值為( )
A．3 B．2eq \r(2)
C．eq \r(5) D．2
【答案】A
【解析】 建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則C點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1)．設(shè)BD與圓C切于點(diǎn)E，連接CE，則CE⊥BD．因?yàn)镃D＝1，BC＝2，所以BD＝eq \r(12＋22)＝eq \r(5)，EC＝eq \f(BC·CD,BD)＝eq \f(2,\r(5))＝eq \f(2\r(5),5)，所以P點(diǎn)的軌跡方程為(x－2)2＋(y－1)2＝eq \f(4,5).
設(shè)P(x0，y0)，則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝2＋\f(2\r(5),5)cs θ，,y0＝1＋\f(2\r(5),5)sin θ))(θ為參數(shù))，而eq \(AP,\s\up7(→))＝(x0，y0)，eq \(AB,\s\up7(→))＝(0,1)，eq \(AD,\s\up7(→))＝(2,0)．因?yàn)閑q \(AP,\s\up7(→))＝λeq \(AB,\s\up7(→))＋μeq \(AD,\s\up7(→))＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)，所以μ＝eq \f(1,2)x0＝1＋eq \f(\r(5),5)cs θ，λ＝y(tǒng)0＝1＋eq \f(2\r(5),5)sin θ.兩式相加，得λ＋μ＝1＋eq \f(2\r(5),5)sin θ＋1＋eq \f(\r(5),5)cs θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中sin φ＝\f(\r(5),5)，cs φ＝\f(2\r(5),5)))，當(dāng)且僅當(dāng)θ＝eq \f(π,2)＋2kπ－φ，k∈Z時，λ＋μ取得最大值3.故選A．

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