【考綱要求】
能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題.
【命題趨勢】
解三角形是三角函數(shù)的知識在三角形中的應(yīng)用，高考中可單獨考查，也可以與三角函數(shù)、不等式、向量等綜合考查.
【核心素養(yǎng)】
本講內(nèi)容主要考查數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).
【素養(yǎng)清單?基礎(chǔ)知識】
測量中的有關(guān)幾個術(shù)語
▲相對于某一正方向的水平角
(1)北偏東α，即由指北方向順時針旋轉(zhuǎn)α到達目標方向；
(2)北偏西α，即由指北方向逆時針旋轉(zhuǎn)α到達目標方向；
(3)南偏西等其他方向角類似．
【真題體驗】
1．若點A在點C的北偏東30°，點B在點C的南偏東60°，且AC＝BC，則點A在點B的( )
A．北偏東15° B．北偏西15°
C．北偏東10° D．北偏西10°
2．如圖，設(shè)A，B兩點在河的兩岸，一測量者在A的同側(cè)，選定一點C，測出AC的距離為50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，則A，B兩點的距離為( )
A．50eq \r(2) m B．50eq \r(3) m
C．25eq \r(2) m D．eq \f(25\r(2),2) m
3．在相距2千米的A，B兩點處測量目標點C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，則A，C兩點之間的距離為__________千米．
4．如圖，兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站的南偏西40°方向上，燈塔B在觀察站的南偏東60°方向上，則燈塔A相對于燈塔B的方向角是__________．
【考法拓展?題型解碼】
考法一 測量距離問題
答題模板：求解距離問題的一般步驟
(1)選取適當基線，畫出示意圖，將實際問題轉(zhuǎn)化為三角形問題．
(2)明確要求的距離所在的三角形有哪些已知元素．
(3)確定使用正弦定理或余弦定理解三角形．
【例1】 (1)要測量對岸A，B兩點之間的距離，選取相距eq \r(3) km的C，D兩點，并測得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，則A，B之間的距離為__________km.
(2)如圖所示，要測量一水塘兩側(cè)A，B兩點間的距離，其方法先選定適當?shù)奈恢肅，用經(jīng)緯儀測出角α，再分別測出AC，BC的長b，a，則可求出A，B兩點間的距離．即AB＝eq \r(a2＋b2－2abcs α).若測得CA＝400 m，CB＝600 m，∠ACB＝60°，則A，B兩點的距離為__________m.
考法二 測量高度問題
歸納總結(jié)
(1)在處理有關(guān)高度問題時，理解仰角、俯角(它是在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)．
(2)在遇到空間與平面(地面)同時研究的問題時，要畫出空間圖和平面圖兩個圖形來處理．
(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題．
【例2】 如圖，為了測量河對岸電視塔CD的高度，小王在點A處測得塔頂D的仰角為30°，塔底C與A的連線同河岸成15°角，小王向前走了1 200 m到達M處，測得塔底C與M的連線同河岸成60°角，則電視塔CD的高度為__________m.
考法三 測量角度問題
誤區(qū)防范：測量角度問題的注意點
(1)首先應(yīng)明確方位角或方向角的含義．
(2)分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意畫出正確的示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步．
(3)將實際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題后，注意正、余弦定理的“聯(lián)袂”使用．
【例3】 在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習中，紅方一艘偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45°方向，相距12 海里的水面上，有藍方一艘小艇正以每小時10 海里的速度沿南偏東75°方向前進，紅方偵察艇以每小時14 海里的速度沿北偏東45°＋α方向攔截藍方的小艇．若要在最短的時間內(nèi)攔截住，求紅方偵察艇所需的時間和角α的正弦值．
【易錯警示】
易錯點 在實際問題中對角的認識不充分
【典例】 (2019·鄭州調(diào)研)如圖，在山底測得山頂仰角∠CAB＝45°，沿傾斜角為30°的斜坡走1 000 m至S點，又測得山頂仰角∠DSB＝75°，則山高BC為__________m.
【錯解】：由題中條件可知∠SAB＝45°－30°＝15°，
∠ABS＝90°－75°＝15°，所以∠ASB＝150°.
由正弦定理得eq \f(AB,sin150°)＝eq \f(AS,sin 15°)，所以AB＝500(eq \r(6)＋eq \r(2))，
又△ACB為等腰直角三角形，BC＝eq \f(\r(2),2)AB＝500(eq \r(3)＋1)．
【錯因分析】：本題解答過程中由于∠ABS的計算出錯，導(dǎo)致計算錯誤．
【正解答案】：1 000
【正解】：由題圖知∠BAS＝45°－30°＝15°，∠ABS＝45°－15°＝30°，所以∠ASB＝135°.
在△ABS中，由正弦定理得eq \f(1 000,sin 30°)＝eq \f(AB,sin 135°)，
所以AB＝1 000eq \r(2)，所以BC＝eq \f(AB,\r(2))＝1 000.
誤區(qū)防范：解答三角應(yīng)用問題要注意的兩點
(1)不要搞錯各種角的含義，不要把這些角和三角形內(nèi)角之間的關(guān)系弄混．
(2)在實際問題中，可能會遇到空間與平面(地面)同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易出現(xiàn)錯誤．
【跟蹤訓(xùn)練】 (2019·吉安聯(lián)考)某位居民站在離地20 m高的陽臺上觀測到對面小高層房頂?shù)难鼋菫?0°，小高層地面的俯角為45°，那么這棟小高層的高度為( )
A．20eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(\r(3),3)))m B．20(1＋eq \r(3))m
C．10(eq \r(2)＋eq \r(6))m D．20(eq \r(2)＋eq \r(6))m
【遞進題組】
1．2018年國慶節(jié)期間，某數(shù)學(xué)教師進行了一次“說走就走”的登山活動，從山腳A處出發(fā)，沿一個坡角為45°的斜坡直行，走了100eq \r(2) m后，到達山頂B處，C是與B在同一鉛垂線上的山底，從B處測得另一山頂M點的仰角為60°，與山頂M在同一鉛垂線上的山底N點的俯角為30°，兩山BC，MN的底部與A在同一水平面，則山高MN＝( )
A．200 m B．250 m
C．300 m D．400 m
2．(2019·蘭州一中月考)如圖，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險，在原地等待營救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向即沿直線CB前往B處救援，則cs θ＝( )
A．eq \f(\r(21),7) B．eq \f(\r(21),14)
C．eq \f(3\r(21),14) D．eq \f(\r(21),28)
3．如圖，兩座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分別為20 m，50 m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角∠CAD＝( )
A．30° B．45°
C．60° D．75°
4．如圖，為了測量河對岸A，B兩點之間的距離，觀察者找到一個點C，從點C可以觀察到點A，B；找到一個點D，從點D可以觀察到點A，C；找到一個點E，從點E可以觀察到點B，C；并測量得到：CD＝2，CE＝2eq \r(3)，∠D＝45°，∠ACD＝105°，∠ACB＝48.19°，∠BCE＝75°，∠E＝60°，則A，B兩點之間的距離為__________eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs 48.19°≈\f(2,3))).
【考卷送檢】
一、選擇題
1．一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東40°方向直線航行，30分鐘后到達B處．在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點間的距離是( )
A．10eq \r(2) 海里 B．10eq \r(3) 海里
C．20eq \r(3) 海里 D．20eq \r(2) 海里
2．一個大型噴水池的中央有一個強大的噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點A測得水柱頂端的仰角為45°，沿點A向北偏東30°前進100 m到達點B，在B點測得水柱頂端的仰角為30°，則水柱的高度是( )
A．50 m B．100 m
C．120 m D．150 m
3．長為3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在離堤足C處1.4 m的地面上，另一端B在離堤足C處的2.8 m的石堤上，石堤的傾斜角為α，則坡度值tan α＝( )
A．eq \f(\r(231),5) B．eq \f(5,16)
C．eq \f(\r(231),16) D．eq \f(11,5)
4．(2019·蘭州一中期中)如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75°，30°，此時氣球的高是60 m，則河流的寬度BC＝( )
A．240(eq \r(3)－1) m B．180(eq \r(2)－1) m
C．120(eq \r(3)－1) m D．30(eq \r(3)＋1) m
5．要測量底部不能到達的東方明珠電視塔的高度，在黃浦江西岸選擇甲、乙兩觀測點，在甲、乙兩點分別測得塔頂?shù)难鼋欠謩e為45°，30°，在水平面上測得電視塔與甲地連線及甲、乙兩地連線所成的角為120°，甲、乙兩地相距500 m，則電視塔的高度是( )
A．100eq \r(2) m B．400 m
C．200eq \r(3) m D．500 m
6．2017年9月16日05時，第19號臺風“杜蘇芮”的中心位于甲地，它以每小時30千米的速度向西偏北θ的方向移動，距臺風中心t千米以內(nèi)的地區(qū)都將受到影響，若16日08時到17日08時，距甲地正西方向900千米的乙地恰好受臺風影響，則t和θ的值分別為(附：eq \r(73.71)≈8.585)( )
A．858.5,60° B．858.5,30°
C．717,60° D．717,30°
二、填空題
7．一艘船上午9：30在A處測得燈塔S在它的北偏東30°處，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：00到達B處，此時又測得燈塔S在它的北偏東75°處，且與它相距8eq \r(2) n mile，此船的航速是________n mile/h.
8．江岸邊有一炮臺OA高30 m，江中有兩條船M，N，船與炮臺底部O在同一水平面上，由炮臺頂部測得俯角分別為45°和60°，而且兩條船與炮臺底部連線成30°角，則兩條船相距________m.
9．(2019·西安一中期中)如圖，在水平地面上有兩座直立的相距60 m的鐵塔AA1和BB1.已知從塔AA1的底部看塔BB1頂部的仰角是從塔BB1的底部看塔AA1頂部的仰角的2倍，從兩塔底部連線中點C分別看兩塔頂部的仰角互為余角．則從塔BB1的底部看塔AA1頂部的仰角的正切值為________；塔BB1的高為________m.
三、解答題
10．如圖，航空測量組的飛機航線和山頂在同一鉛直平面內(nèi)，已知飛機的高度為海拔10 000 m，速度為50 m/s.某一時刻飛機看山頂?shù)母┙菫?5°，經(jīng)過420 s后又看山頂?shù)母┙菫?5°，則山頂?shù)暮０胃叨葹槎嗌倜祝?取eq \r(2)≈1.4，eq \r(3)≈1.7)
11．(2019·邢臺一模)如圖，在海島A上有一座海拔1千米的山，山頂設(shè)有一個觀察站P，上午11時，測得一輪船在島北偏東30°，俯角為30°的B處，到11時10分又測得該船在島北偏西60°，俯角為60°的C處．
(1)求船的航行速度是每小時多少千米？
(2)又經(jīng)過一段時間后，船到達海島的正西方向的D處，問此時船距島A多遠？
12．如圖，一輛汽車從A市出發(fā)沿海岸一條筆直公路以每小時100 km的速度向東勻速行駛，汽車開動時，在A市南偏東方向距A市500 km且與海岸距離為300 km的海上B處有一快艇與汽車同時出發(fā)，要把一份稿件交給汽車的司機．
(1)快艇至少以多大的速度行駛才能把稿件送到司機手中？
(2)在(1)的條件下，求快艇以最小速度行駛時的行駛方向與AB所成的角．
13．(2019·武昌調(diào)研)如圖，據(jù)氣象部門預(yù)報，在距離某碼頭南偏東45°方向600 km A處的熱帶風暴中心正以20 km/h的速度向正北方向移動，距風暴中心450 km以內(nèi)的地區(qū)都將受到影響，則該碼頭將受到熱帶風暴影響的時間為( )
A．14 h B．15 h
C．16 h D．17 h
術(shù)語名稱
術(shù)語意義
圖形表示
仰角與俯角
在目標視線與水平視線所成的角中，目標視線在水平視線上方的叫做仰角，目標視線在水平視線下方的叫做俯角
方位角
從某點的指北方向線起按順時針方向到目標方向線之間的夾角叫做方位角．方位角θ的范圍是0°≤θ

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