專題6.4 基本不等式-2022年高考數(shù)學一輪復習核心素養(yǎng)大揭秘學案-學案下載-教習網(wǎng)

【考綱要求】
1. 了解基本不等式的證明過程．
2．會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題.
【命題趨勢】
對基本不等式的考查，主要是利用不等式求最值，且常與函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等知識結(jié)合在一起進行考查.
【核心素養(yǎng)】
本講內(nèi)容主要考查邏輯推理、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)
【素養(yǎng)清單?基礎知識】
1．基本不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)
(1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0.
(2)等號成立的條件：當且僅當a＝b時，等號成立．
2．幾個重要不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(a，b同號)．
(3)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．
(4)eq \f(a2＋b2,2)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．
以上不等式等號成立的條件均為a＝b.
3．算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)
設a＞0，b＞0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為 eq \f(a＋b,2) ，幾何平均數(shù)為 eq \r(ab) ，基本不等式可敘述為兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．
4．利用基本不等式求最值問題
已知x＞0，y＞0，則
(1)如果積xy是定值p，那么當且僅當x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值，是 2eq \r(p) (簡記：積定和最小)；
(2)如果和x＋y是定值p，那么當且僅當x＝y(tǒng)時，xy有最大值，是 eq \f(p2,4) (簡記：和定積最大)．
【真題體驗】
1.【2019年高考浙江卷】若，則“”是 “”的（）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
2.【2019年高考天津卷理數(shù)】設，則的最小值為__________．
3.【2018年高考天津卷理數(shù)】已知，且，則的最小值為 .
4. 【2018年高考江蘇卷】在中，角所對的邊分別為，，的平分線交于點D，且，則的最小值為___________．
5. 【2017年高考天津卷理數(shù)】若，，則的最小值為___________．
【考法解碼?題型拓展】
考法一利用基本不等式求最值
歸納總結(jié):
(1)利用基本不等式解題一定要注意應用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所謂“一正”是指正數(shù)，“二定”是指應用基本不等式求最值時，和或積為定值，“三相等”是指滿足等號成立的條件．
(2)在利用基本不等式求最值時，要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式，然后再利用基本不等式．
(3)條件最值的求解通常有兩種方法：一是將條件靈活變形，利用常數(shù)代換的方法構(gòu)造和或積為常數(shù)的式子，然后利用基本不等式求解最值；二是對條件使用基本不等式，建立所求目標函數(shù)的不等式求解．
【例1】 (1)已知0＜x＜1，則x(3－3x)取得最大值時x的值為( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(3,4) D.eq \f(2,3)
(2)已知x＜eq \f(5,4)，則f(x)＝4x－2＋eq \f(1,4x－5)的最大值為__________．
(3)(2017·天津卷)若a，b∈R，ab>0，則eq \f(a4＋4b4＋1,ab)的最小值為__________．
【例2】 (1)已知x＞0，y＞0且x＋y＝1，則eq \f(8,x)＋eq \f(2,y)的最小值為__________．
(2)已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，則x＋3y的最小值為________．
(3)已知x為正實數(shù)，且x2＋eq \f(y2,2)＝1，則xeq \r(1＋y2)的最大值為________．
考法二利用基本不等式解決實際應用問題
歸納總結(jié)
(1)此類型的題目往往較長，解題時需認真閱讀，從中提煉出有用信息，建立數(shù)學模型，轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題求解．
(2)當運用基本不等式求最值時，若等號成立的自變量不在定義域內(nèi)時，就不能使用基本不等式求解，此時可根據(jù)變量的范圍用對應函數(shù)的單調(diào)性求解．
【例3】 (2017·江蘇卷)某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元．要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x的值是__________．
考法三基本不等式的綜合應用
歸納總結(jié)
(1)與函數(shù)、數(shù)列等知識交匯的最值問題：此類問題常以函數(shù)、數(shù)列等知識為載體，以基本不等式為研究工具，求解最值或取值范圍．
(2)求參數(shù)值或取值范圍：對于此類題目，要觀察題目特點，利用基本不等式確定相關關系式成立的條件，從而得參數(shù)的值或取值范圍．
【例4】 (1)已知直線ax＋by＋c－1＝0(b，c＞0)經(jīng)過圓x2＋y2－2y－5＝0的圓心，則eq \f(4,b)＋eq \f(1,c)的最小值是( )
A．9 B．8
C．4 D．2
(2)設等差數(shù)列{an}的公差是d，其前n項和是Sn，若a1＝d＝1，則eq \f(Sn＋8,an)的最小值是__________．
(3)已知函數(shù)f(x)＝4x＋eq \f(a,x)(x＞0，a＞0)在x＝3時取得最小值，則a＝__________.
【易錯警示】
易錯點忽視等號成立條件的一致性
【典例】已知正數(shù)x，y∈R且xy≠0，則eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,y2)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x2)＋4y2))的最小值為__________．
【錯解】：因為x2＋eq \f(1,y2)≥eq \f(2|x|,|y|)，eq \f(1,x2)＋4y2≥eq \f(2×2|y|,|x|)，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,y2)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x2)＋4y2))≥eq \f(2|x|,|y|)·eq \f(2×2|y|,|x|)＝8.故所求的最小值為8.
【錯因分析】：本題在求解過程中分別兩次使用基本不等式，但等號成立的條件卻不相同，即等號不可能成立，因此最小值不可能是8，因而出錯．
【正解答案】：9
【正解】：原式＝1＋4＋4x2y2＋eq \f(1,x2y2)≥1＋4＋2eq \r(4x2y2·\f(1,x2y2))＝9，當且僅當x2y2＝eq \f(1,2)時，等號成立，所以最小值為9.
誤區(qū)防范：應用基本不等式解題時應注意的三點
(1)利用基本不等式求最值的三個條件為“一正、二定、三相等”，忽視哪一個都可能致誤．
(2)連續(xù)使用基本不等式求最值要求每次等號成立的條件一致．
(3)對使用基本不等式時等號取不到的情況，應考慮使用函數(shù)y＝x＋eq \f(m,x)(m＞0)的單調(diào)性．
【跟蹤訓練】已知a＞0，b＞0，且a＋b＝2，則eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,b)＋1))的最小值為__________．
【遞進題組】
1．若函數(shù)f(x)＝x＋eq \f(1,x－2)(x＞2)在x＝a處取最小值，則a＝( )
A．1＋eq \r(2) B．1＋eq \r(3)
C．3 D．4
2．已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，當x∈R時，f(x)恒為正值，則k的取值范圍是( )
A．(－∞，－1)
B．(－∞，2eq \r(2)－1)
C．(－1,2eq \r(2)－1)
D．(－2eq \r(2)－1,2eq \r(2)－1)
3．某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用為800元，若每批生產(chǎn)x件，則平均倉儲時間為eq \f(x,8)天，且每件產(chǎn)品每天的倉儲費用為1元．為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用與倉儲費用之和最小，每批應生產(chǎn)產(chǎn)品( )
A．60件 B．80件
C．100件 D．120件
4．若2x＋4y＝4，則x＋2y的最大值是__________．
5．若直線l：eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1(a＞0，b＞0)經(jīng)過點(1,2)，則直線l在x軸和y軸上的截距之和的最小值是__________．
【考卷送檢】
一、選擇題
1．已知f(x)＝x＋eq \f(1,x)－2(x0)圖象上的點，則x＋y的最小值為________．
8．(2019·湖北八校聯(lián)考)設正實數(shù)x，y，z滿足x2－3xy＋4y2－z＝0.則當eq \f(z,xy)取得最小值時，x＋2y－z的最大值為________．
9．為了豎一塊廣告牌，要制造三角形支架，如圖，要求∠ACB＝60°，BC的長度大于1米，且AC比AB長0.5米，為了穩(wěn)固廣告牌，要求AC越短越好，則AC最短為________．
三、解答題
10．設a，b，c均為正數(shù)，且a＋b＋c＝1，求eq \f(a2,b)＋eq \f(b2,c)＋eq \f(c2,a)的最小值．
11．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求：
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值．
12．某地需要修建一條大型輸油管道通過240 km寬的沙漠地帶，該段輸油管道兩端的輸油站已建好，余下工程是在該段兩端已建好的輸油站之間鋪設輸油管道和等距離修建增壓站(又稱泵站)．經(jīng)預算，修建一個增壓站的費用為400萬元，鋪設距離為x km的相鄰兩增壓站之間的輸油管道的費用為(x2＋x)萬元．設余下工程的總費用為y萬元．
(1)試將y表示成x的函數(shù)；
(2)需要修建多少個增壓站才能使y最小，其最小值為多少？
13．若正實數(shù)x，y滿足(2xy－1)2＝(5y＋2)(y－2)，則x＋eq \f(1,2y)的最大值為( )
A．－1＋eq \f(3\r(2),2) B．－1＋eq \f(3\r(3),2)
C．1＋eq \f(3\r(3),2) D．－1－eq \f(3\r(2),2)

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