?第三篇 三角函數(shù)與解三角形
專題3.3 三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)
【考綱要求】
1. 能畫出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的圖象，了解三角函數(shù)的周期性．
2．理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在區(qū)間[0,2π]上的性質(zhì)(如單調(diào)性、最大值和最小值以及與x軸的交點等)，理解正切函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性．
3．了解函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的物理意義；能畫出y＝Asin(ωx＋φ)的圖象，了解參數(shù)A，ω，φ對函數(shù)圖象變化的影響．
4．體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型，會用三角函數(shù)解決一些簡單的實際問題.
【命題趨勢】
1.三角函數(shù)的圖象，主要考查三角函數(shù)的圖象變換、三角函數(shù)解析式的求法及三角函數(shù)圖象的應(yīng)用．
2．三角函數(shù)的性質(zhì)是高考的必考內(nèi)容，常與三角函數(shù)的圖象結(jié)合，主要考查三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、最值、奇偶性、對稱性．
3．高考中常以選擇、填空題的形式考查三角函數(shù)關(guān)系式、三角函數(shù)誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)的奇偶性及對稱性，屬于中低檔題．
4．以解答題的形式考查三角函數(shù)的單調(diào)性、最值，常與平面向量、解三角形及三角恒等變換相結(jié)合.
【核心素養(yǎng)】
本講內(nèi)容主要考查數(shù)學(xué)運算和直觀想象的核心素養(yǎng)。
【素養(yǎng)清單?基礎(chǔ)知識】
1．用五點法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖
(1)“五點法”作圖原理：
在正弦函數(shù)y＝sin x，x∈[0,2π]的圖象上，五個關(guān)鍵點是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
在余弦函數(shù)y＝cos x，x∈[0,2π]的圖象上，五個關(guān)鍵點是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1).
函數(shù)y＝sin x，x∈[0，2π]，y＝cos x，x∈[0，2π]的五個關(guān)鍵點的橫坐標(biāo)是零點和極值點(最值點).
(2)五點法作圖的三步驟：列表、描點、連線(注意光滑)．
2．正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)
函數(shù)
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
圖象



定義域
R
R

值域
[－1,1]
[－1,1]
R
奇偶性
奇函數(shù)
偶函數(shù)
奇函數(shù)
單
調(diào)
性
在(k∈Z)上是遞增函數(shù)，在(k∈Z)上是遞減函數(shù)
在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是遞增函數(shù)，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是遞減函數(shù)
在(k∈Z)上是遞增函數(shù)
周
期
性
周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π
周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π
周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是
對
稱
性
對稱軸是x＝＋kπ(k∈Z)，對稱中心是(kπ，0)(k∈Z)
對稱軸是x＝kπ(k∈Z)，對稱中心是(k∈Z)
對稱中心是
(k∈Z)

三角函數(shù)性質(zhì)的注意點：
(1)正、余弦函數(shù)一個完整的單調(diào)區(qū)間的長度是半個周期；y＝tan x無單調(diào)遞減區(qū)間；y＝tan x在整個定義域內(nèi)不單調(diào)．
(2)要注意求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間時A和ω的符號，盡量化成ω>0的形式，避免出現(xiàn)增減區(qū)間的混淆.
3．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的有關(guān)概念
y＝Asin(ωx＋φ)
(A>0，ω>0)
振幅
周期
頻率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
ωx＋φ

4．用五點法畫y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一個周期內(nèi)的簡圖
用五點法畫y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一個周期內(nèi)的簡圖時，要找五個關(guān)鍵點，如下表所示：
ωx＋φ
0

π

2π
x
－
－

－

y＝Asin(ωx＋φ)
0

0
－A
0
5．由函數(shù)y＝sin x的圖象通過變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象的兩種方法

(1)兩種變換的區(qū)別
①先相位變換再周期變換(伸縮變換)，平移的量是|φ|個單位長度；②先周期變換(伸縮變換)再相位變換，平移的量是(ω>0)個單位長度．
(2)變換的注意點
無論哪種變換，每一個變換總是針對自變量x而言的，即圖象變換要看“自變量x”發(fā)生多大變化，而不是看角“ωx＋φ”的變化．
【素養(yǎng)清單?常用結(jié)論】
1．對稱與周期的關(guān)系
正弦曲線、余弦曲線相鄰的兩個對稱中心、相鄰的兩條對稱軸之間的距離是半個周期，相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是四分之一個周期；正切曲線相鄰兩個對稱中心之間的距離是半個周期．
2．與三角函數(shù)的奇偶性相關(guān)的結(jié)論
(1)若y＝Asin(ωx＋φ)為偶函數(shù)，則有φ＝kπ＋(k∈Z)；若為奇函數(shù)，則有φ＝kπ (k∈Z)．
(2)若y＝Acos(ωx＋φ)為偶函數(shù)，則有φ＝kπ(k∈Z)；若為奇函數(shù)，則有φ＝kπ＋ (k∈Z)．
(3)若y＝Atan(ωx＋φ)為奇函數(shù)，則有φ＝kπ(k∈Z)．
【真題體驗】
1.【2019年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】函數(shù)f(x)=在的圖像大致為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由，得是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，排除A．又，排除B，C，故選D．
【名師點睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)與圖象，滲透了邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)，采取性質(zhì)法或賦值法，利用數(shù)形結(jié)合思想解題．解答本題時，先判斷函數(shù)的奇偶性，得是奇函數(shù)，排除A，再注意到選項的區(qū)別，利用特殊值得正確答案．
2.【2019年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】關(guān)于函數(shù)有下述四個結(jié)論：
①f(x)是偶函數(shù) ②f(x)在區(qū)間（，）單調(diào)遞增
③f(x)在有4個零點 ④f(x)的最大值為2
其中所有正確結(jié)論的編號是（ ）
A．①②④ B．②④
C．①④ D．①③
【答案】C
【解析】為偶函數(shù)，故①正確．
當(dāng)時，，它在區(qū)間單調(diào)遞減，故②錯誤．
當(dāng)時，，它有兩個零點：；當(dāng)時，
，它有一個零點：，故在有個零點：，故③錯誤．
當(dāng)時，；當(dāng)時，，又為偶函數(shù)，的最大值為，故④正確．
綜上所述，①④正確，故選C．
【名師點睛】本題也可畫出函數(shù)的圖象（如下圖），由圖象可得①④正確．

3. 【2019年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】下列函數(shù)中，以為周期且在區(qū)間(，)單調(diào)遞增的是（ ）
A．f(x)=|cos2x| B．f(x)=|sin2x|
C．f(x)=cos|x| D．f(x)=sin|x|
【答案】A
【解析】作出因為的圖象如下圖1，知其不是周期函數(shù)，排除D；
因為，周期為，排除C；
作出圖象如圖2，由圖象知，其周期為，在區(qū)間(，)單調(diào)遞增，A正確；
作出的圖象如圖3，由圖象知，其周期為，在區(qū)間(，)單調(diào)遞減，排除B，
故選A．

圖1

圖2

圖3
【名師點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，滲透直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)，畫出各函數(shù)圖象，即可作出選擇．本題也可利用二級結(jié)論：①函數(shù)的周期是函數(shù)周期的一半；②不是周期函數(shù).
4.【2019年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】設(shè)函數(shù)=sin（）(＞0)，已知在有且僅有5個零點，下述四個結(jié)論：
①在（）有且僅有3個極大值點
②在（）有且僅有2個極小值點
③在（）單調(diào)遞增
④的取值范圍是[)
其中所有正確結(jié)論的編號是（ ）
A．①④ B．②③
C．①②③ D．①③④
【答案】D
【解析】①若在上有5個零點，可畫出大致圖象，
由圖1可知，在有且僅有3個極大值點.故①正確；
②由圖1、2可知，在有且僅有2個或3個極小值點.故②錯誤；

④當(dāng)=sin（）=0時，=kπ（k∈Z），所以，
因為在上有5個零點，
所以當(dāng)k=5時，，當(dāng)k=6時，，解得，
故④正確.
③函數(shù)=sin（）的增區(qū)間為：，.
取k=0，
當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為，
當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為，
綜上可得，在單調(diào)遞增.故③正確.
所以結(jié)論正確的有①③④.故本題正確答案為D.
【名師點睛】本題為三角函數(shù)與零點結(jié)合問題，難度大，可數(shù)形結(jié)合，分析得出答案，要求高，理解深度高，考查數(shù)形結(jié)合思想．注意本題中極小值點個數(shù)是動態(tài)的，易錯，正確性考查需認(rèn)真計算，易出錯．
5．【2019年高考天津卷理數(shù)】已知函數(shù)是奇函數(shù)，將的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為．若的最小正周期為，且，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵為奇函數(shù)，∴；
又∴，
又，∴，
∴，故選C.
【名師點睛】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的求值問題，解題關(guān)鍵是求出函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)性質(zhì)逐步得出的值即可.
6. 【2018年高考天津理數(shù)】將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)（ ）
A．在區(qū)間上單調(diào)遞增 B．在區(qū)間上單調(diào)遞減
C．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．在區(qū)間上單調(diào)遞減
【答案】A
【解析】由函數(shù)圖象平移變換的性質(zhì)可知：將的圖象向右平移個單位長度之后的解析式為.
則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間滿足，即，
令可得一個單調(diào)遞增區(qū)間為.
函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間滿足：，即，
令可得一個單調(diào)遞減區(qū)間為：.
故選A.
【名師點睛】本題主要考查三角函數(shù)的平移變換，三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的判斷等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.
7. 【2018年高考浙江卷】函數(shù)y=sin2x的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令，因為，所以為奇函數(shù)，排除選項A，B；
因為時，，所以排除選項C，
故選D.
【名師點睛】解答本題時，先研究函數(shù)的奇偶性，再研究函數(shù)在上的符號，即可作出判斷.有關(guān)函數(shù)圖象的識別問題的常見題型及解題思路：
（1）由函數(shù)的定義域，判斷圖象的左、右位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上、下位置；
（2）由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；
（3）由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；
（4）由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)．
8.【2017年高考全國Ⅲ理數(shù)】設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．的一個周期為
B．的圖象關(guān)于直線對稱
C．的一個零點為
D．在(，)單調(diào)遞減
【答案】D
【解析】函數(shù)的最小正周期為，則函數(shù)的周期為，取，可得函數(shù)的一個周期為，選項A正確；
函數(shù)圖象的對稱軸為，即，取，可得y=f(x)的圖象關(guān)于直線對稱，選項B正確；
，函數(shù)的零點滿足，即，取，可得的一個零點為，選項C正確；
當(dāng)時，，函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)不單調(diào)，選項D錯誤.
故選D.
【名師點睛】（1）求最小正周期時可先把所給三角函數(shù)式化為或的形式，則最小正周期為；奇偶性的判斷關(guān)鍵是解析式是否為或的形式.
（2）求的對稱軸，只需令，求x；求f(x)的對稱中心的橫坐標(biāo)，只需令即可.
【考法拓展?題型解碼】
考法一　三角函數(shù)的圖象及變換
歸納總結(jié)：三角函數(shù)圖象的兩種變換
(1)平移變換
①沿x軸平移：由y＝f(x)變?yōu)閥＝f(x＋φ)時，“左加右減”，即φ>0，左移；φ0，上移；k0，ω>0)中參數(shù)的方法
(1)求A，b：確定函數(shù)的最大值M和最小值m，則A＝(M－m)/2，b＝(M＋m)/2.
(2)求ω：確定函數(shù)的周期T，則可得ω＝.
(3)求φ：常用的方法有：
①代入法：把圖象上的一個已知點代入(此時A，ω，b已知)或代入圖象與直線y＝b的交點求解(此時要注意交點是在上升區(qū)間還是在下降區(qū)間)．
②五點法：確定φ值時，往往以尋找“五點法”中的某一個點為突破口．具體如下：
“第一點”(即圖象上升時與x軸的交點)為ωx＋φ＝0；“第二點”(即圖象的“峰點”)為ωx＋φ＝；“第三點”(即圖象下降時與x軸的交點)為ωx＋φ＝π；“第四點”(即圖象的“谷點”)為ωx＋φ＝；“第五點”為ωx＋φ＝2π.
【例2】 (1)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則(　　)

A．y＝2sin B．y＝2sin
C．y＝2sin D．y＝2sin
【答案】A
【解析】由圖象知A＝2，＝－＝，故T＝π，由此可排除C，D；將點依次代入選項A，B中的函數(shù)解析式，A項符合題意，B項不符合題意，由此排除選項B．故選A．
(2)如圖是函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的圖象的一部分，它的振幅、周期、初相各是(　　)

A．A＝3，T＝，φ＝－
B．A＝1，T＝，φ＝
C．A＝1，T＝，φ＝－
D．A＝1，T＝，φ＝－
【答案】C
【解析】由圖象知，A＝＝1，b＝＝2，＝－＝，則T＝，ω＝.由×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，得φ＝－＋2kπ，k∈Z，令k＝0，得φ＝－.
考法三　三角函數(shù)的單調(diào)性
解題技巧:三角函數(shù)單調(diào)性問題的常見類型及解題策略
(1)已知三角函數(shù)的解析式求單調(diào)區(qū)間：
①求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)遵循簡單化原則，將解析式先化簡，并注意復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”的規(guī)律；
②求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的單調(diào)區(qū)間時，要視“ωx＋φ”為一個整體，通過解不等式求解．但如果ω0，ω>0，φ∈R)，則“f(x)是奇函數(shù)”是“φ＝”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B　
【解析】f(x)是奇函數(shù)時，φ＝＋kπ(k∈Z)；φ＝時，f(x)＝Acos＝－Asin ωx，為奇函數(shù)，所以“f(x)是奇函數(shù)”是“φ＝”的必要不充分條件
(2)(2018·江蘇卷)已知函數(shù)y＝sin(2x＋φ)的圖象關(guān)于直線x＝對稱，則φ的值是__________．
【答案】?。?br /> 【解析】由2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)得φ＝kπ－，又φ∈，取k＝0，φ＝－.
(3)設(shè)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常數(shù)，A>0，ω>0)．若f(x)在區(qū)間上具有單調(diào)性，且f ＝f ＝－f ，則f(x)的最小正周期為__________．
【答案】　π
【解析】記f(x)的最小正周期為T.由題意知≥－＝.又f ＝f ＝－f ，且－＝.
可作出示意圖如圖所示(一種情況)．

所以x1＝×＝，x2＝×＝，
所以＝x2－x1＝－＝.所以T＝π.
考法六　三角函數(shù)模型的應(yīng)用
歸納總結(jié)
三角函數(shù)模型在實際中的應(yīng)用體現(xiàn)在兩個方面，一是已知函數(shù)模型，利用三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)解決問題，其關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解自變量的意義及自變量與函數(shù)之間的對應(yīng)法則．二是把實際問題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，建立三角函數(shù)模型，再利用三角函數(shù)的有關(guān)知識解決問題，其關(guān)鍵是建模．
【例7】 如圖，某港口一天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數(shù)y＝3sin＋k.據(jù)此函數(shù)可知，這段時間水深(單位：m)的最大值為(　　)

A．5 B．6
C．8 D．10
【答案】C　
【解析】 根據(jù)圖象得函數(shù)的最小值為2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值為3＋k＝8.
【易錯警示】
易錯點　圖象變換出現(xiàn)錯誤
【典例】 要得到y(tǒng)＝sin的圖象，只需將y＝sin的圖象(　　)
A．向左平移個單位長度
B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度
D．向右平移個單位長度
【錯解一】：由函數(shù)y＝sin的圖象向左平移就得到y(tǒng)＝sin＝sin的圖象．故選C．
【錯解二】：由函數(shù)y＝sin的圖象向右平移就得到y(tǒng)＝sin的圖象．故選D．
【錯因分析】：錯解一中將y＝sin的圖象向左平移得到的應(yīng)該是函數(shù)y＝sin＝sin的圖象，變換求式時忽視了x的系數(shù)－.
錯解二對題意理解有誤，是將誰平移變換得到誰弄反了，另外，若向右平移個單位，應(yīng)該得到函數(shù)y＝sin＝sin的圖象．
【正解答案】：B
【正解】：因為y＝sin＝sin，與y＝sin比較，只需x→x－即可．故選B．
【跟蹤訓(xùn)練】 要得到函數(shù)y＝sin的圖象，只需將函數(shù)y＝sin 4x的圖象(　　)
A．向左平移個單位長度
B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度
D．向右平移個單位長度
【答案】B　
【解析】 由y＝sin＝sin 4得，只需將y＝sin 4x的圖象向右平移個單位長度即可．故選B．
【遞進(jìn)題組】
1．把函數(shù)y＝sin的圖象上所有點向右平移個單位長度，再將所得圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?縱坐標(biāo)不變)，所得圖象的解析式是y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|

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專題7.3 直線、平面平行的判定及性質(zhì)-2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心素養(yǎng)大揭秘學(xué)案

專題7.3 直線、平面平行的判定及性質(zhì)-2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心素養(yǎng)大揭秘學(xué)案
專題3.4 三角恒等變換-2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心素養(yǎng)大揭秘學(xué)案

專題3.4 三角恒等變換-2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心素養(yǎng)大揭秘學(xué)案
專題2.7 函數(shù)的圖像-2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心素養(yǎng)大揭秘學(xué)案

專題2.7 函數(shù)的圖像-2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心素養(yǎng)大揭秘學(xué)案
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