【考綱要求】
1.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)．
2.了解圓錐曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用，了解橢圓的實(shí)際背景．
3.理解數(shù)形結(jié)合的思想
【命題趨勢(shì)】
1.求解與橢圓定義有關(guān)的問題；利用橢圓的定義求軌跡方程；求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；判斷橢圓焦點(diǎn)的位置．
2．求解與橢圓的范圍、對(duì)稱性有關(guān)的問題；求解橢圓的離心率；求解與橢圓的焦點(diǎn)三角形有關(guān)的問題.
【核心素養(yǎng)】
本講內(nèi)容主要考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng)
【素養(yǎng)清單?基礎(chǔ)知識(shí)】
1．橢圓的定義
平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)
2a(2a＞|F1F2|)的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)
定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫做橢圓的焦點(diǎn).
2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
(1)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓
的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．
(2)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓
的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)．
3．橢圓的幾何性質(zhì)
長(zhǎng)軸與短軸的交點(diǎn)叫做橢圓的中心．
離心率表示橢圓的扁平程度．當(dāng)e越接近于1時(shí)，c越接
近于a，從而b＝eq \r(a2－c2)越小，因此橢圓越扁．
【素養(yǎng)清單?常用結(jié)論】
(1)過橢圓焦點(diǎn)垂直于長(zhǎng)軸的弦是最短的弦，長(zhǎng)為eq \f(2b2,a)，過焦點(diǎn)最長(zhǎng)弦為長(zhǎng)軸．
(2)過原點(diǎn)最長(zhǎng)弦為長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，最短弦為短軸長(zhǎng)2b.
(3)與橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)有共焦點(diǎn)的橢圓方程為eq \f(x2,a2＋λ)＋eq \f(y2,b2＋λ)＝1(λ＞－b2)．
(4)焦點(diǎn)三角形：橢圓上的點(diǎn)P(x0，y0)與兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2構(gòu)成的△PF1F2叫做焦點(diǎn)三角形．若r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面積為S，則在橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中：
①當(dāng)r1＝r2，即點(diǎn)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，θ最大；
②S＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，當(dāng)|y0|＝b，即點(diǎn)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，S取得最大值，最大值為bc；
③△PF1F2的周長(zhǎng)為2(a＋c)．
【真題體驗(yàn)】
1.【2019年高考全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)】已知橢圓C的焦點(diǎn)為，過F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．若，，則C的方程為（ ）
A． B．
C． D．
2.【2019年高考北京卷理數(shù)】已知橢圓（a＞b＞0）的離心率為，則（ ）
A．a(chǎn)2=2b2 B．3a2=4b2
C．a(chǎn)=2b D．3a=4b
3.【2019年高考浙江卷】已知橢圓的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上且在軸的上方，若線段的中點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，則直線的斜率是___________．
4.【2019年高考全國(guó)Ⅲ卷理數(shù)】設(shè)為橢圓C:的兩個(gè)焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)且在第一象限.若為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為___________.
5.【2018年高考全國(guó)Ⅱ理數(shù)】已知，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是的左頂點(diǎn)，點(diǎn)在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的離心率為（ ）
A． B．
C． D．
6.【2017年高考全國(guó)Ⅲ理數(shù)】已知橢圓C：的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線相切，則C的離心率為（ ）
A． B．
C． D．
【考法拓展?題型解碼】
考法一 橢圓的定義及其應(yīng)用
歸納總結(jié)
橢圓定義的應(yīng)用主要有兩個(gè)方面：一是確認(rèn)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)有關(guān)的軌跡是否為橢圓；二是當(dāng)P在橢圓上時(shí)，與橢圓的兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2組成的三角形通常稱為“焦點(diǎn)三角形”，利用定義可求其周長(zhǎng)，利用定義和余弦定理可求eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2))，通過整體代入可求其面積等．
【例1】 (1)如圖所示，一圓形紙片的圓心為O，F(xiàn)是圓內(nèi)一定點(diǎn)，M是圓周上一動(dòng)點(diǎn)，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設(shè)CD與OM交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡是( )
A．橢圓 B．雙曲線
C．拋物線 D．圓
(2)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，且eq \(PF1,\s\up8(→))⊥eq \(PF2,\s\up8(→)).若△PF1F2的面積為9，則b＝__________.
考法二 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
解題技巧
求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法
(1)定義法：根據(jù)橢圓的定義，確定a2，b2的值，結(jié)合焦點(diǎn)位置可寫出橢圓方程．
(2)待定系數(shù)法：這種方法是求橢圓方程的常用方法，具體過程是先定形，再定量，即首先確定焦點(diǎn)所在位置，再根據(jù)條件建立關(guān)于a，b的方程組．如果焦點(diǎn)位置不確定，要考慮是否有兩解，有時(shí)為了解題方便，也可把橢圓方程設(shè)為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．
【例2】 (1)若直線x－2y＋2＝0經(jīng)過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A.eq \f(x2,5)＋y2＝1 B.eq \f(x2,4)＋y2＝1
C.eq \f(x2,5)＋y2＝1或eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,5)＝1 D．以上答案都不正確
(2)一個(gè)橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，P(2，eq \r(3))是橢圓上一點(diǎn)，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數(shù)列，則橢圓的方程為( )
A.eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,6)＝1 B.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,6)＝1
C.eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1 D.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1
考法三 橢圓的幾何性質(zhì)
解題技巧
(1)在求與橢圓有關(guān)的一些量的范圍，或者最值時(shí)，經(jīng)常用到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中x，y的范圍、離心率的范圍等不等關(guān)系．
(2)求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問題時(shí)，要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸、短軸等橢圓的基本量時(shí)，要理清它們之間的內(nèi)在聯(lián)系．
(3)求橢圓離心率的方法：①直接求出a，c，從而求解e；②構(gòu)造a，c的齊次式，解出e，由a，c的二元齊次方程，轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的一元二次方程求解；③通過特殊值或特殊位置，求出離心率．
【例3】 (1)(2018·全國(guó)卷Ⅱ)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上的一點(diǎn)．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，則C的離心率為( )
A．1－eq \f(\r(3),2) B．2－eq \r(3)
C.eq \f(\r(3)－1,2) D.eq \r(3)－1
(2)設(shè)A1，A2分別為橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右頂點(diǎn)，若在橢圓上存在點(diǎn)P，使得kPA1·kPA2＞－eq \f(1,2)，則該橢圓的離心率的取值范圍是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
(3)(2017·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)A，B是橢圓C：eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,m)＝1長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)．若C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB＝120°，則m的取值范圍是( )
A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0，eq \r(3)]∪[9，＋∞)
C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0，eq \r(3)]∪[4，＋∞)
考法四 直線與橢圓的綜合問題
解題技巧
直線與橢圓綜合問題的常見題型及解題策略
(1)求直線方程：可依題設(shè)條件，尋找確定該直線的兩個(gè)條件，進(jìn)而得到直線方程．
(2)求面積：先確定圖形的形狀，再利用條件尋找確定面積的條件，進(jìn)而得出面積的值．
(3)弦長(zhǎng)問題：利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式求解．
(4)中點(diǎn)弦或弦的中點(diǎn)問題：一般利用點(diǎn)差法求解，注意判斷直線與橢圓是否相交．
【例4】 已知橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為B(0,4)，離心率e＝eq \f(\r(5),5)，直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)．
(1)若直線l的方程為y＝x－4，求弦|MN|的長(zhǎng)；
(2)如果△BMN的重心恰好為橢圓的右焦點(diǎn)F，求直線l方程的一般式．
【易錯(cuò)警示】
易錯(cuò)點(diǎn) 忽略橢圓中x，y的取值范圍
【典例】 設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率e＝eq \r(\f(2,3))，已知點(diǎn)Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，4))到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是5，求這個(gè)橢圓的方程．
【錯(cuò)解】：依題意可設(shè)橢圓方程為eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，
則e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2－b2,a2)＝1－eq \f(b2,a2)＝eq \f(2,3)，所以eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,3)，即a2＝3b2.
設(shè)橢圓上的點(diǎn)(x，y)到點(diǎn)P的距離為d，則d2＝x2＋(y－4)2＝a2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(y2,b2)))＋y2－8y＋16
＝3b2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(y2,b2)))＋y2－8y＋16＝－2(y＋2)2＋3b2＋24.所以deq \\al(2,max)＝3b2＋24＝25，所以b2＝eq \f(1,3)，a2＝3b2＝1，所以橢圓的方程為x2＋3y2＝1.
【錯(cuò)因分析】：上述解答過程中由于忽略了橢圓上的點(diǎn)(x，y)的坐標(biāo)滿足－a≤x≤a，－b≤y≤b這一條件，導(dǎo)致結(jié)果出現(xiàn)錯(cuò)誤．
【正解】：依題意可設(shè)橢圓方程為eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，則e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2－b2,a2)＝1－eq \f(b2,a2)＝eq \f(2,3)，所以eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,3)，即a2＝3b2.設(shè)橢圓上的點(diǎn)(x，y)到點(diǎn)P的距離為d，則d2＝x2＋(y－4)2＝a2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(y2,b2)))＋y2－8y＋16
＝3b2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(y2,b2)))＋y2－8y＋16＝－2(y＋2)2＋3b2＋24.由于點(diǎn)(x，y)在橢圓上，所以有－b≤y≤b，若b≥2，則當(dāng)y＝－2時(shí)，d2有最大值，于是3b2＋24＝25，
從而解得b＝eq \f(\r(3),3)＜2，與b≥2矛盾，所以必有b＜2，
此時(shí)當(dāng)y＝－b時(shí)，d2有最大值，所以－2(－b＋2)2＋3b2＋24＝25，解得b＝1，所以a2＝3，
所以所求橢圓的方程為eq \f(x2,3)＋y2＝1.
【跟蹤訓(xùn)練】 若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則eq \(OP,\s\up8(→))·eq \(FP,\s\up8(→))的最大值為( )
A．2 B．3
C．6 D．8
【遞進(jìn)題組】
1．(2018·全國(guó)卷Ⅱ)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過A且斜率為eq \f(\r(3) ,6)的直線上，△PF1F2為等腰三角形，∠F1F2P＝120°，則C的離心率為( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,4)
2．曲線eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1與曲線eq \f(x2,25－k)＋eq \f(y2,9－k)＝1(k＜9)的( )
A．長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等 B．短軸長(zhǎng)相等
C．離心率相等 D．焦距相等
3．已知橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為eq \f(\r(3),3)，過F2的直線l交C于A，B兩點(diǎn)．若△AF1B的周長(zhǎng)為4eq \r(3)，則C的方程為( )
A.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 B.eq \f(x2,3)＋y2＝1
C.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,8)＝1 D.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,4)＝1
4．(2017·全國(guó)卷Ⅲ)已知橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx－ay＋2ab＝0相切，則C的離心率為( )
A.eq \f(\r(6),3) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(\r(2),3) D.eq \f(1,3)
5．已知點(diǎn)M(eq \r(6)，eq \r(2))在橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上，且橢圓的離心率為eq \f(\r(6),3).
(1)求橢圓C的方程；
(2)若斜率為1的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，以AB為底邊作等腰三角形，
頂點(diǎn)為P(－3,2)，求△PAB的面積．
【考卷送檢】
一、選擇題
1．已知焦點(diǎn)在y軸上的橢圓 eq \f(x2,10)＋eq \f(y2,m)＝1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8，則m＝( )
A．4 B．8
C．16 D．18
2．橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率等于eq \f(1,2)，且它的一個(gè)頂點(diǎn)為(0,2eq \r(3))，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1 B.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1
C.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,9)＝1 D.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1
3．已知△ABC的頂點(diǎn)B，C在橢圓eq \f(x2,3)＋y2＝1上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則△ABC的周長(zhǎng)是( )
A．2eq \r(3) B．6
C．4eq \r(3) D．12
4．已知橢圓eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4－k)＝1的離心率為eq \f(4,5)，則k的值為( )
A．－21 B．21
C．－eq \f(19,25)或21 D.eq \f(19,25)或－21
5．設(shè)橢圓eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，若△PF1F2是直角三角形，則△PF1F2的面積為( )
A．3 B．3或eq \f(3,2)
C.eq \f(3,2) D．6或3
6．橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，若F關(guān)于直線eq \r(3)x＋y＝0的對(duì)稱點(diǎn)A是橢圓C上的點(diǎn)，則橢圓C的離心率為( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3)－1,2)
C.eq \f(\r(3),2) D.eq \r(3)－1
二、填空題
7．設(shè)橢圓eq \f(x2,m2)＋eq \f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)的右焦點(diǎn)為(2,0)，離心率為eq \f(\r(2),2)，則此橢圓的方程為________．
8．已知P為橢圓eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1上的一點(diǎn)，M，N分別為圓(x＋3)2＋y2＝1和圓(x－3)2＋y2＝4上的點(diǎn)，則|PM|＋|PN|的最小值為________．
9．(2019·常德三中月考)已知橢圓M：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，雙曲線N：eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝1.若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)，則橢圓M的離心率為________；雙曲線N的離心率為________．
三、解答題
10．已知橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的離心率為eq \f(\r(6),3)，焦距為2eq \r(2)，過點(diǎn)D(1,0)且不過點(diǎn)E(2,1)的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，直線AE與直線x＝3交于點(diǎn)M.
(1)求橢圓C的方程；
(2)若AB垂直于x軸，求直線MB的斜率．
11．如圖，橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A，B，且|AB|＝eq \f(\r(5),2)|BF|.
(1)求橢圓C的離心率；
(2)若斜率為2的直線l過點(diǎn)(0,2)，且l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，OP⊥OQ，求直線l的方程及橢圓C的方程．
12．(2018·天津卷)設(shè)橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B.已知橢圓的離心率為eq \f(\r(5),3)，|AB|＝eq \r(13).
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)直線l：y＝kx(k＜0)與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，l與直線AB交于點(diǎn)M，且點(diǎn)P，M均在第四象限．若△BPM的面積是△BPQ面積的2倍，求k的值．
13．(2019·山東師大附中聯(lián)考)中心為原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F(0,5eq \r(2))的橢圓，截直線y＝3x－2所得弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為eq \f(1,2)，則該橢圓方程為( )
A.eq \f(2x2,75)＋eq \f(2y2,25)＝1 B.eq \f(x2,75)＋eq \f(y2,25)＝1
C.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,75)＝1 D.eq \f(2x2,25)＋eq \f(2y2,75)＝1標(biāo)準(zhǔn)方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)
圖形
對(duì)稱性
關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱
頂點(diǎn)坐標(biāo)
(a,0)，(－a,0)， (0，b)，(0，－b)
(b,0)，(－b,0)， (0，a)，(0，－a)
焦點(diǎn)坐標(biāo)
(c,0)，(－c,0)
(0，c)，(0，－c)
半軸長(zhǎng)
長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a，短半軸長(zhǎng)為b，a＞b
離心率
e＝eq \f(c,a)
a，b，c的關(guān)系
a2＝b2＋c2

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