【考綱要求】
1.了解任意角和弧度制的概念．
2．能進行弧度與角度的互化
3．理解任意角三角函數(shù)的定義
【命題趨勢】
1. 根據(jù)角的終邊上點的坐標求三角函數(shù)值．
2．根據(jù)三角函數(shù)值求參數(shù)值．
3．利用三角函數(shù)的定義判斷三角函數(shù)的圖象.
【核心素養(yǎng)】
本講內(nèi)容主要考查數(shù)學抽象、數(shù)學建模的核心素養(yǎng).
【素養(yǎng)清單?基礎知識】
1．角的概念的推廣
(1)定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形．
(2)分類eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負角、零角.,按終邊位置不同分為象限角和軸線角.))
(3)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．
終邊相同的角不一定相等，但相等的角其終邊一定相同．
2．弧度制的定義和公式
(1)定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad.
(2)公式：
有關(guān)角度與弧度的兩個注意點
(1)角度與弧度的換算的關(guān)鍵是π＝180°，在同一個式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用．
(2)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度．
3．任意角的三角函數(shù)
(1)定義：設α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么sin α＝eq \a\vs4\al(y)，cs α＝eq \a\vs4\al(x)，tan α＝eq \a\vs4\al(\f(y,x))(x≠0)．
(2)幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示．正弦線的起點都在x軸上，余弦線的起點都是原點，正切線的起點都是(1,0)．如圖中有向線段MP，OM，AT分別叫做角α的正弦線、余弦線和正切線．
【素養(yǎng)清單?常用結(jié)論】
(1)一個口訣
三角函數(shù)值在各象限的符號：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
(2)三角函數(shù)定義的推廣
設點P(x，y)是角α終邊上任意一點且不與原點重合，r＝|OP|，則sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)．
(3)象限角
(4)軸線角
【真題體驗】
1．已知角α的終邊經(jīng)過點(eq \r(3)，－1)，則角α的最小正值是( )
A．eq \f(2π,3) B．eq \f(11π,6)
C．eq \f(5π,6) D．eq \f(3π,4)
2．若sin α0，則α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
3．(2019·長春普通高中一模)若角α的頂點為坐標原點，始邊在x軸的非負半軸上，終邊在直線y＝－eq \r(3)x上，則角α的取值集合是( )
A．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝2kπ－\f(π,3)，k∈Z)))) B．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝2kπ＋\f(2π,3)，k∈Z))))
C．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝kπ－\f(2π,3)，k∈Z)))) D．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝kπ－\f(π,3)，k∈Z))))
4．弧長為3π，圓心角為135°的扇形半徑為__________，面積為__________．
【考法拓展?題型解碼】
考法一 象限角及終邊相同的角
歸納總結(jié)
(1)象限角的兩種判斷方法
①圖象法：在平面直角坐標系中，作出已知角并根據(jù)象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角；
②轉(zhuǎn)化法：先將已知角化為k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出與已知角終邊相同的角α，再由角α終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角．
(2)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數(shù)k賦值來求得所需角．
【例1】 (1)已知角α的終邊在如圖所示陰影表示的范圍內(nèi)(不包括邊界)，則角α用集合可表示為__________．
(2)若角θ的終邊與eq \f(6π,7)角的終邊相同，則在[0，π]內(nèi)終邊與eq \f(θ,3)角的終邊相同的角有__________．
(3)已知角α是第一象限角，則eq \f(α,2)所在的象限為__________．
考法二 扇形的弧長及面積公式的應用
歸納總結(jié)
(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度．
(2)求扇形面積的最大值時，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，利用配方法使問題得到解決．
(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形．
【例2】 已知扇形的圓心角是α，半徑為R，弧長為l.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧長l；
(2)若扇形的周長為20 cm，當扇形的圓心角α為多少弧度時，這個扇形的面積最大？
(3)若α＝eq \f(π,3)，R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面積．
考法三 三角函數(shù)的定義及應用
解題技巧：利用三角函數(shù)的定義解題的技巧
(1)已知角α終邊上一點P的坐標，可求角α的三角函數(shù)值．先求點P到原點的距離，再用三角函數(shù)的定義求解．
(2)已知角α的某三角函數(shù)值，可求角α終邊上一點P的坐標中的參數(shù)值，根據(jù)定義中的兩個量列方程求參數(shù)值．
(3)已知角α的終邊所在的直線方程或角α的大小，根據(jù)三角函數(shù)的定義可求角α終邊上某特定點的坐標．
(4)已知一角的三角函數(shù)值(sin α，cs α，tan α)中任意兩個的符號，可分別確定出角終邊所在的可能位置，二者的交集即為該角的終邊位置．注意終邊在坐標軸上的特殊情況．
【例3】 (1)(2017·北京卷)在平面直角坐標系xOy中，角α與角β均以Ox為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對稱．若sin α＝eq \f(1,3)，則sin β＝__________.
(2)已知角α的終邊在直線y＝x上，點Q為角α的終邊與單位圓的交點，則點Q的坐標為__________．
(3)已知角α的終邊過點P(－8m，－6sin 30°)，且cs α＝－eq \f(4,5)，則m的值為__________．
【易錯警示】
易錯點 定義應用錯誤
【典例】 已知α角的終邊過點P(3a，－4a)(a≠0)，求α角的三個三角函數(shù)值．
【錯解】：由三角函數(shù)定義得r＝eq \r(9a2＋16a2) ＝5a，所以sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(－4a,5a)＝－eq \f(4,5)，cs α＝eq \f(3a,5a)＝eq \f(3,5)，tan α＝eq \f(－4a,3a)＝－eq \f(4,3).
【錯因分析】：求解時沒有注意點P在第幾象限，其實是忽視對參數(shù)a的討論，誤以為a＞0，此時點P在第四象限，因此導致求解錯誤．
【正解】：根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義知
r＝eq \r(9a2＋16a2)＝eq \r(?5a?2)＝5|a|.
當a0時，r＝5a，sin α＝eq \f(y,r)＝－eq \f(4,5)，cs α＝eq \f(x,r)＝eq \f(3,5)，
tan α＝eq \f(y,x)＝－eq \f(4,3).
【誤區(qū)防范】用定義法求三角函數(shù)值要注意的兩個問題
(1)已知角α終邊上一點P的坐標，若點的坐標是由字母給出的，一定要注意點的位置或?qū)ψ帜傅姆栠M行討論．
(2)已知角α的終邊所在的直線方程，由于角α的終邊也是以原點為頂點的一條射線，因此對終邊是直線的上半部分還是下半部分要分清，否則要分兩種情況討論．
【跟蹤訓練】 已知角θ的終邊上有一點P(x，－1)(x≠0)，且tan θ＝－x，求sin θ，cs θ.
【遞進題組】
1．若sin α·tan α

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