專題3.2 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式-2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心素養(yǎng)大揭秘學(xué)案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

第三篇三角函數(shù)與解三角形專題3.2 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式【考綱要求】1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：　sin2x＋cos2x＝1，＝tan x.2．能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出±α，π±α的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式.【命題趨勢】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡求值以及恒等變換；解決三角形內(nèi)的相關(guān)問題.【核心素養(yǎng)】本講內(nèi)容主要考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)..【素養(yǎng)清單?基礎(chǔ)知識】1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商數(shù)關(guān)系：tan α＝. 平方關(guān)系對任意角都成立，而商數(shù)關(guān)系中α≠kπ＋(k∈Z)．2．誘導(dǎo)公式一二三四五六2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋αsin α－sin α－sin αsin αcos αcos_αcos α－cos αcos α－cos_αsin α－sin αtan αtan α－tan α－tan_α 誘導(dǎo)公式可簡記為：奇變偶不變，符號看象限.“奇”“偶”指的是“k·＋α?k∈Z?”中的k是奇數(shù)還是偶數(shù).“變”與“不變”是指函數(shù)的名稱的變化，若k是奇數(shù)，則正、余弦互變；若k為偶數(shù)，則函數(shù)名稱不變.“符號看象限”指的是在“k·＋α?k∈Z?”中，將α看成銳角時，“k·＋α?k∈Z?”的終邊所在的象限.【素養(yǎng)清單?常用結(jié)論】同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的幾種變形(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.(2)sin α＝tan αcos α.【真題體驗】1.【2019年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】已知α∈(0，)，2sin2α=cos2α+1，則sinα=（）A． B． C． D．2.【2018年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】若，則（）A． B．C． D．3. 【2018年高考江蘇卷】已知為銳角，，．（1）求的值；（2）求的值． 4．tan 330°＝(　　)A． B．－C． D．－5．(2017·全國卷Ⅲ改編)已知sin α－cos α＝，則sin αcos α＝(　　)A．－ B．－C． D．6．若tan α＝2，則的值為(　　)A．－ B．－C． D．7．cos－sin＝__________.【考法拓展?題型解碼】考法一　同角三角函數(shù)關(guān)系及其應(yīng)用歸納總結(jié)：同角三角函數(shù)關(guān)系在解題中的應(yīng)用(1)利用方程思想，對于sin α，cos α，tan α，由公式sin2α＋cos2α＝1，tan α＝，可以“知一求二”．對于sin α±cos α，sin αcos α，由下面三個關(guān)系式(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2，可以“知一求二”．(2)sin α，cos α的齊次式的應(yīng)用：分式中分子與分母是關(guān)于sin α，cos α的齊次式，或含有sin2α，cos2α及sin αcos α的式子求值時，可將所求式子的分母看作“1”，利用“sin2α＋cos2α＝1”代換后轉(zhuǎn)化為“切”求解．【例1】 (1)若sin α＝－，且α為第四象限角，則tan α＝(　　)A． B．－C． D．－ (2)(2019·唐山模擬)已知2sin αtan α＝3，則cos α的值是(　　)A．－1 B．－C． D．【例2】 (1)已知tan α＝2，求值：①；②4sin2α－3sin αcos α－5cos2α.(2)已知θ∈(0，π)，且sin θ＋cos θ＝，求sin θ－cos θ的值．考法二　誘導(dǎo)公式及應(yīng)用歸納總結(jié)(1)誘導(dǎo)公式的兩個應(yīng)用①求值：負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了；②化簡：統(tǒng)一名，統(tǒng)一角，同角名少為終了．(2)學(xué)會誘導(dǎo)公式的逆用，如sin α＝sin(π－α)，cos α＝－cos(π－α)等，再如y＝sin＝sin，能將y＝sin中x的系數(shù)由負(fù)變正，且不改變“正弦”前面的符號．(3)學(xué)會觀察兩角之間的關(guān)系，看看它們的和或差是否為的整數(shù)倍．【例3】 (1)計算：2sin＋cos 12π＋tan＝__________.(2)(2016·全國卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin＝，則tan＝__________.(3)已知f(x)＝，則f＝__________. 【例4】 (1)已知cos α是方程3x2－x－2＝0的根，且α是第三象限角，求的值．(2)已知sin＝a(a≠±1，a≠0)，求cos·tan＋的值．【易錯警示】易錯點一　忽視隱含的平方關(guān)系【典例1】若sin θ＝，cos θ＝，<θ<π，則m的取值范圍是(　　)A．(3,9) B．{8} C．(3，＋∞) D．(－∞，9)【錯解】：A【錯因分析】：含有參數(shù)的同一個角的正余弦值，要受到“sin2θ＋cos2θ＝1”的限制．正解：由已知得0<<1且－1<<0，解得3<m<9.因為sin2θ＋cos2θ＝1，所以＝1，解得m1＝8，m2＝0(舍去)，故選B．【正解】B誤區(qū)防范：運用平方關(guān)系應(yīng)注意的兩個問題(1)平方關(guān)系是一組同角關(guān)系式，如sin2α＋cos2β＝1(α≠β)就不一定成立，因此能否利用這組關(guān)系解題要用“是否同角”來判別．(2)由一個角的任一三角函數(shù)值可求出這個角的另外兩個三角函數(shù)值，由于利用“平方關(guān)系”公式求平方根，會出現(xiàn)兩解，所以需根據(jù)角所在的象限判斷符號，當(dāng)角所在的象限不明確時，要進(jìn)行分類討論．【跟蹤訓(xùn)練1】已知關(guān)于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的兩根分別是sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：(1)m的值；(2)方程的兩根及此時θ的值．易錯點二　混淆公式的使用【典例2】化簡：cos＋cos(n∈Z)．【錯解】：原式＝cos＋cos＝cos＋cos＝2cos.【錯因分析】：該解法混淆了nπ＋α(n∈Z)和2kπ＋a(k∈Z)，本題應(yīng)對n的奇偶性進(jìn)行分類討論．【正解】：原式＝cos＋cos.當(dāng)n＝2k(k∈Z)時，原式＝cos＋cos＝2cos.當(dāng)n＝2k＋1(k∈Z)時，原式＝cos＋cos＝－2cos.故原式＝【跟蹤訓(xùn)練2】已知A＝＋(k∈Z)，則A的值構(gòu)成的集合是(　　)A．{1，－1,2，－2} B．{－1,1}C．{2，－2} D．{1，－1,0,2，－2}【遞進(jìn)題組】1．若點(16，tan θ)在函數(shù)y＝log2x的圖象上，則sin2θ＋sin θcos θ＝(　　)A．1 B．C． D．42．給出下列各函數(shù)值：①sin(－1 000°)；②cos(－2 200°)；③tan(－10)；④.其中是負(fù)數(shù)的是(　　)A．① B．②C．③ D．④3．若cos(π－α)＝，且α∈，則sin(π＋α)＝(　　)A．－ B．－C．－ D．±4．若sin θ，cos θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的兩個根，則m的值為(　　)A．1＋ B．1－C．1± D．－1－【考卷送檢】一、選擇題1．已知tan(α－π)＝，且α∈，則sin＝(　　)A． B．－C． D．－2.＝(　　)A．－ B．－1C．1 D．3．(2019·河南八市聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝sin x－cos x，且f′(x0)＝f(x0)，則tan 2x0的值是(　　)A．－ B．－C．－ D．4．已知α為銳角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，則sin α的值是(　　)A． B．C． D．5．已知－＜α＜0，sin α＋cos α＝，則的值為(　　)A． B．C． D．6．若A，B是銳角△ABC的兩個內(nèi)角，則點P(cos B－sin A，sin B－cos A)在(　　)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限二、填空題7．已知tan α＝－，<α<π，則sin α＝________.8．若f(cos x)＝cos 2x，則f(sin 15°)＝________.　9．函數(shù)y＝的最大值為________．三、解答題10．(2019·深圳中學(xué)期中)已知cos(α－7π)＝－，求sin(3π＋α)·tan的值． 11．已知sin2α＋sin αcos α－2cos2α＝，求tan α的值． 12．(2019·華南師大附中期中)已知α為第三象限角，f(α)＝.(1)化簡f(α)；(2)若cos＝，求f(α)的值． 13．化簡(n∈Z)的結(jié)果為________．