【考綱要求】
1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，知道它的簡單幾何性質(zhì)．
2.了解圓錐曲線的簡單應用，了解雙曲線的實際背景．
3.理解數(shù)形結合的思想.
【命題趨勢】
1.求解與雙曲線定義有關的問題；利用雙曲線的定義求軌跡方程；求雙曲線的標準方程；判斷雙曲線焦點的位置．
2.求雙曲線的漸近線；求解與雙曲線的范圍、對稱性有關的問題；求解雙曲線的離心率.
【核心素養(yǎng)】
本講內(nèi)容主要考查數(shù)學運算、直觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng).
【素養(yǎng)清單?基礎知識】
1．雙曲線的定義
平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)2a(2a＜|F1F2|)的點P的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距．
當|PF1|－|PF2|＝2a?2a＜|F1F2|?時，點P的軌跡為靠近F2的雙曲線的一支.
當|PF1|－|PF2|＝－2a?2a＜|F1F2|?時，點P的軌跡為靠近F1的雙曲線的一支.
若2a＝2c，則軌跡是以F1，F(xiàn)2為端點的兩條射線；若2a＞2c，則軌跡不存在；若2a＝0，則軌跡是線段F1F2的垂直平分線.
2.雙曲線的標準方程
(1)中心在坐標原點，焦點在x軸上的雙曲線的
標準方程為eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)．
(2)中心在坐標原點，焦點在y軸上的雙曲線的
標準方程為eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)．
3．雙曲線的幾何性質(zhì)
【素養(yǎng)清單?常用結論】
(1)過雙曲線的一個焦點且與實軸垂直的弦的長為eq \f(2b2,a)，也叫通徑．
(2)與雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)有共同漸近線的方程可表示為eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝t(t≠0)．
(3)雙曲線的焦點到其漸近線的距離為b.
(4)若P是雙曲線右支上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點，則|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
【真題體驗】
1.【2019年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】設F為雙曲線C：的右焦點，為坐標原點，以為直徑的圓與圓交于P，Q兩點．若，則C的離心率為
A． B． C．2 D．
2.【2019年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】雙曲線C：=1的右焦點為F，點P在C的一條漸近線上，O為坐標原點，若，則△PFO的面積為（ ）
A． B． C． D．
3.【2019年高考浙江卷】漸近線方程為x±y=0的雙曲線的離心率是（ ）
A． B．1 C． D．2
4.【2019年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】已知雙曲線C：的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點．若，，則C的離心率為____________．
5.【2019年高考江蘇卷】在平面直角坐標系中，若雙曲線經(jīng)過點
（3，4)，則該雙曲線的漸近線方程是____________.
【考法拓展?題型解碼】
考法一 雙曲線的定義及其應用
歸納總結
(1)利用雙曲線的定義判定平面內(nèi)動點與兩定點的軌跡是否為雙曲線，進而根據(jù)要求可求出雙曲線方程．
(2)在“焦點三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，經(jīng)常結合||PF1|－|PF2||＝2a，運用平方的方法，建立為|PF1|·|PF2|的關系．
(3)在運用雙曲線的定義解題時，應特別注意定義中的條件“差的絕對值”，弄清楚是指整條雙曲線還是雙曲線的一支．
【例1】 (1)設F1，F(xiàn)2是雙曲線x2－eq \f(y2,24)＝1的兩個焦點，P是雙曲線上的一點，且3eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))＝4eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2))，則△PF1F2的面積等于( )
A．4eq \r(2) B．8eq \r(3)
C．24 D．48
(2)設雙曲線eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線l交雙曲線左支于A，B兩點，則|BF2|＋|AF2|的最小值為__________．
考法二 雙曲線的標準方程
解題技巧
求雙曲線標準方程的一般方法
(1)待定系數(shù)法：設出雙曲線方程的標準形式，根據(jù)已知條件，列出參數(shù)a，b，c的方程并求出a，b，c的值．與雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1有相同漸近線時，可設所求雙曲線方程為eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．
(2)定義法：依定義得出距離之差的等量關系式，求出a的值，由定點位置確定c的值．
【例2】 (2019·武邑中學月考)根據(jù)下列條件，求雙曲線的標準方程．
(1)虛軸長為12，離心率為eq \f(5,4)；
(2)焦距為26，且經(jīng)過點M(0,12)；
(3)經(jīng)過兩點P(－3,2eq \r(7))和Q(－6eq \r(2)，－7)．
考法三 雙曲線的幾何性質(zhì)及其應用
解題技巧
雙曲線中一些幾何量的求解方法
(1)求雙曲線的離心率(或范圍)：依據(jù)題設條件，將問題轉化為關于a，c的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得．
(2)求雙曲線的漸近線方程：依據(jù)題設條件，求雙曲線中a，b的值或a與b的比值，進而得出雙曲線的漸近線方程．
(3)求雙曲線的方程：依據(jù)題設條件求出a，b的值或依據(jù)雙曲線的定義求雙曲線的方程．
(4)求雙曲線的焦點(焦距)、實(虛)軸的長：依題設條件及a，b，c之間的關系求解．
【例3】 (1)(2017·全國卷Ⅲ)已知雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程為y＝eq \f(\r(5),2)x，且與橢圓eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,3)＝1有公共焦點，則C的方程為( )
A.eq \f(x2,8)－eq \f(y2,10)＝1 B.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1
C.eq \f(x2,5)－eq \f(y2,4)＝1 D.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝1
(2)(2018·全國卷Ⅱ)雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為eq \r(3)，則其漸近線方程為( )
A．y＝±eq \r(2)x B．y＝±eq \r(3)x
C．y＝±eq \f(\r(2),2)x D．y＝±eq \f(\r(3),2)x
(3)(2017·全國卷Ⅰ)已知雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右頂點為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點，若∠MAN＝60°，則C的離心率為__________．
(4)已知雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線上，若eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2))＝6a，且△PF1F2最小內(nèi)角的大小為30°，則雙曲線C的漸近線方程為__________．
考法四 直線與雙曲線的位置關系
解題技巧
解有關直線與雙曲線的位置關系的方法
(1)解決此類問題的常用方法是設出直線方程或雙曲線方程，然后把直線方程和雙曲線方程組成方程組，消元后轉化成關于x(或y)的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關系，整體代入．
(2)與中點有關的問題常用點差法．
(3)根據(jù)直線的斜率與漸近線的斜率的關系來判斷直線與雙曲線的位置關系．
【例4】 若雙曲線E：eq \f(x2,a2)－y2＝1(a＞0)的離心率等于eq \r(2)，直線y＝kx－1與雙曲線E的右支交于A，B兩點．
(1)求k的取值范圍；
(2)若eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))＝6eq \r(3)，點C是雙曲線上一點，且eq \(OC,\s\up18(→))＝m(eq \(OA,\s\up18(→))＋eq \(OB,\s\up18(→)))，求k，m的值．
【易錯警示】
易錯點 忽視雙曲線的基本性質(zhì)
【典例】 已知雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)中，A1，A2為左、右頂點，F(xiàn)為右焦點，B為虛軸的上端點，若在線段BF上(不含端點)存在不同的兩點Pi(i＝1,2)，使得△PiA1A2(i＝1,2)構成以A1A2為斜邊的直角三角形，則雙曲線離心率e的取值范圍為__________．
【錯解】：由題意知F(c,0)，B(0，b)，則直線BF的方程為bx＋cy－bc＝0，因為在線段BF上(不含端點)存在不同的兩點Pi(i＝1,2)，使得△PiA1A2(i＝1,2)構成以線段A1A2為斜邊的直角三角形，所以以A1A2為直徑的圓與線段BF相交，所以eq \f(bc,\r(b2＋c2))＜a，所以e4－3e2＋1＜0，所以eq \f(\r(5)－1,2)＜e＜eq \f(1＋\r(5),2)，故e的取值范圍為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5)－1,2)，\f(\r(5)＋1,2))).
【錯因分析】：本題出現(xiàn)兩個錯誤，一是雙曲線的離心率e＞1這個條件被忽視，二是點B，F(xiàn)在以A1A2為直徑的圓的外面這個隱含條件被忽視，從而導致解答出現(xiàn)錯誤．
【正解 答案】：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(\r(5)＋1,2)))
【解析】：由題意知F(c,0)，B(0，b)，則直線BF的方程為bx＋cy－bc＝0，因為在線段BF上(不含端點)存在不同的兩點Pi(i＝1,2)，使得△PiA1A2(i＝1,2)構成以線段A1A2為斜邊的直角三角形，所以以A1A2為直徑的圓與線段BF相交，所以eq \f(bc,\r(b2＋c2))＜a，所以e4－3e2＋1＜0.因為e＞1，所以1＜e＜eq \f(\r(5)＋1,2).又因為P1，P2在線段BF上(不含端點)，所以點B在圓外，即b＞a，所以a2＜c2－a2，所以e＞eq \r(2).綜上e∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(\r(5)＋1,2))).
誤區(qū)防范
解決雙曲線問題的三個易誤點
(1)雙曲線方程中c2＝a2＋b2，說明雙曲線方程中c最大，解決雙曲線問題時不要忽視了這個結論，不要與橢圓中的知識相混淆．
(2)求雙曲線離心率及其范圍時，不要忽略了雙曲線的離心率的取值范圍是(1，＋∞)這個前提條件，否則很容易產(chǎn)生增解或擴大所求離心率的取值范圍致錯．
(3)直線與雙曲線交于一點時，不一定相切，例如：當直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線相交于一點，但不是相切；反之，當直線與雙曲線相切時，直線與雙曲線僅有一個交點．
【跟蹤訓練】 (2019·梧州調(diào)考)設A1，A2分別為雙曲線C：eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的上、下頂點，若雙曲線上存在點M使得兩直線斜率kMA1·kMA2＞2，則雙曲線C的離心率e的取值范圍為( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(6),2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(6),2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)，＋∞)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))
【遞進題組】
1．(2018·天津卷)已知雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為2，過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點．設A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2，且d1＋d2＝6，則雙曲線的方程為( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1 B.eq \f(x2,12)－eq \f(y2,4)＝1
C.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,9)＝1 D.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,3)＝1
2．(2019·合肥三中月考)若雙曲線C1：eq \f(x2,2)－eq \f(y2,8)＝1與C2：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的漸近線相同，且雙曲線C2的焦距為4eq \r(5)，則b＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
3．(2019·常德調(diào)考)橢圓eq \f(x2,m2)＋eq \f(y2,n2)＝1(m＞n＞0)與雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的公共焦點為F1，F(xiàn)2，若P是兩曲線的一個交點，則|PF1|·|PF2|的值是( )
A．m－a B．m2－a2
C.eq \f(m－a,2) D.eq \r(m)－eq \r(a)
4．(2018·江蘇卷)在平面直角坐標系xOy中，若雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦點F(c,0)到一條漸近線的距離為eq \f(\r(3),2)c，則其離心率的值是__________．
5．一條斜率為1的直線l與離心率為eq \r(3)的雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)交于P，Q兩點，直線l與y軸交于點R，且eq \(OP,\s\up18(→))·eq \(OQ,\s\up18(→))＝－3，eq \(PR,\s\up18(→))＝3eq \(RQ,\s\up18(→))，求直線和雙曲線的方程．
【考卷送檢】
一、選擇題
1．如果方程eq \f(x2,k＋1)－eq \f(y2,2)＝1表示雙曲線，則實數(shù)k的取值范圍是( )
A．(－∞，－1) B．(－1，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
2．已知實數(shù)1，m,9成等比數(shù)列，則圓錐曲線eq \f(x2,m)＋y2＝1的離心率為( )
A.eq \f(\r(6),3) B．2
C.eq \f(\r(6),3)或2 D.eq \f(\r(2),2)或eq \r(3)
3．(2018·全國卷Ⅱ)雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的離心率為eq \r(3)，則其漸近線方程為( )
A．y＝±eq \r(2)x B．y＝±eq \r(3)x
C．y＝±eq \f(\r(2),2)x D．y＝±eq \f(\r(3),2)x
4．(2018·全國卷Ⅲ)設F1，F(xiàn)2是雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦點，O是坐標原點．過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P.若|PF1|＝eq \r(6)|OP|，則C的離心率為( )
A.eq \r(5) B．2
C.eq \r(3) D.eq \r(2)
5．(2018·天津卷)已知雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的離心率為2，過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點．設A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2，且d1＋d2＝6，則雙曲線的方程為( )
A.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,9)＝1 B.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,3)＝1
C.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1 D.eq \f(x2,12)－eq \f(y2,4)＝1
6．(2019·長陽一中期中)在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C1：2x2－y2＝1，過C1的左頂點引C1的一條漸近線的平行線，則該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積為( )
A.eq \f(\r(2),4) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(2),8) D.eq \f(\r(2),16)
二、填空題
7．(2017·北京卷)若雙曲線x2－eq \f(y2,m)＝1的離心率為eq \r(3)，則實數(shù)m＝________.
8．已知雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線與直線l：x＋eq \r(3)y＝0垂直，雙曲線C的一個焦點到直線l的距離為1，則雙曲線C的方程為________．
9．在平面直角坐標系xOy中，已知△ABC的頂點A(－6,0)和C(6,0)，若頂點B在雙曲線eq \f(x2,25)－eq \f(y2,11)＝1的左支上，則eq \f(sin A－sin C,sin B)＝________.
三、解答題
10．(2019·洛陽一中期中)已知雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為eq \r(3)，點(eq \r(3)，0)是雙曲線的一個頂點．
(1)求雙曲線的方程；
(2)經(jīng)過雙曲線右焦點F2作傾斜角為30°的直線，直線與雙曲線交于不同的兩點A，B，求|AB|.
11．已知雙曲線的中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在坐標軸上，離心率為eq \r(2)，且過點(4，－eq \r(10))．點M(3，m)在雙曲線上．
(1)求雙曲線的方程；
(2)求證：eq \(MF1,\s\up18(→))·eq \(MF2,\s\up18(→))＝0；
(3)求△F1MF2的面積．
12．已知雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦點為F(c,0)．
(1)若雙曲線的一條漸近線方程為y＝x且c＝2，求雙曲線的方程；
(2)以原點O為圓心，c為半徑作圓，該圓與雙曲線在第一象限的交點為A，過A作圓的切線，斜率為－eq \r(3)，求雙曲線的離心率．
13．(2019·長沙二中月考)在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且|AB|＝2，|AD|＝1，|CD|＝2x，其中x∈(0,1)，以A，B為焦點且過點D的雙曲線的離心率為e1，以C，D為焦點且過點A的橢圓的離心率為e2，若對任意x∈(0,1)，不等式t＜e1＋e2恒成立，則t的最大值為( )
A.eq \r(3) B.eq \r(5) C．2 D. eq \r(2)標準方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)
圖形
對稱性
對稱軸：x軸，y軸；對稱中心：原點
焦點
F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)
F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)
頂點
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
軸
線段A1A2，B1B2分別是雙曲線的實軸和虛軸；實軸長為2a，虛軸長為2b
焦距
|F1F2|＝2c
離心率
e＝eq \f(c,a)＝ eq \r(1＋\f(b2,a2))∈(1，＋∞) e是表示雙曲線開口大小的
一個量，e越大開口越大.
漸近線
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
a，b，c的關系
a2＝c2－b2

相關學案

專題11.2 參數(shù)方程-2022年高考數(shù)學一輪復習核心素養(yǎng)大揭秘學案：

這是一份專題11.2 參數(shù)方程-2022年高考數(shù)學一輪復習核心素養(yǎng)大揭秘學案，文件包含專題112參數(shù)方程解析版doc、專題112參數(shù)方程原卷版doc等2份學案配套教學資源，其中學案共28頁， 歡迎下載使用。

專題9.5 幾何概型概率-2022年高考數(shù)學一輪復習核心素養(yǎng)大揭秘學案：

這是一份專題9.5 幾何概型概率-2022年高考數(shù)學一輪復習核心素養(yǎng)大揭秘學案，文件包含專題95幾何概型概率解析版doc、專題95幾何概型概率原卷版doc等2份學案配套教學資源，其中學案共22頁， 歡迎下載使用。

專題8.8 軌跡方程的求法-2022年高考數(shù)學一輪復習核心素養(yǎng)大揭秘學案：

這是一份專題8.8 軌跡方程的求法-2022年高考數(shù)學一輪復習核心素養(yǎng)大揭秘學案，文件包含專題808軌跡方程的求法解析版doc、專題808軌跡方程的求法原卷版doc等2份學案配套教學資源，其中學案共20頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關學案 更多

專題8.7 拋物線的定義、標準方程、幾何性質(zhì)-2022年高考數(shù)學一輪復習核心素養(yǎng)大揭秘學案

專題8.7 拋物線的定義、標準方程、幾何性質(zhì)-2022年高考數(shù)學一輪復習核心素養(yǎng)大揭秘學案
專題8.5 橢圓的定義、標準方程、幾何性質(zhì)-2022年高考數(shù)學一輪復習核心素養(yǎng)大揭秘學案

專題8.5 橢圓的定義、標準方程、幾何性質(zhì)-2022年高考數(shù)學一輪復習核心素養(yǎng)大揭秘學案
專題8.3 圓的方程-2022年高考數(shù)學一輪復習核心素養(yǎng)大揭秘學案

專題8.3 圓的方程-2022年高考數(shù)學一輪復習核心素養(yǎng)大揭秘學案
專題2.8 函數(shù)與方程-2022年高考數(shù)學一輪復習核心素養(yǎng)大揭秘學案

專題2.8 函數(shù)與方程-2022年高考數(shù)學一輪復習核心素養(yǎng)大揭秘學案
資料下載及使用幫助
版權申訴
版權申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權，請掃碼添加我們的相關工作人員，我們盡可能的保護您的合法權益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部