2021屆重慶市第八中學(xué)高三下學(xué)期“一診”模擬數(shù)學(xué)試題  一、單選題1．已知集合，則滿足條件的集合的個數(shù)為（  ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【詳解】求解一元二次方程，得，易知.因為，所以根據(jù)子集的定義，集合必須含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原題即求集合的子集個數(shù)，即有個，故選D.【點(diǎn)評】本題考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本題在求集合個數(shù)時，也可采用列舉法.列出集合的所有可能情況，再數(shù)個數(shù)即可.來年要注意集合的交集運(yùn)算，考查頻度極高.2．在1，2，3，4中隨機(jī)選出一個數(shù)，在-1，-2，-3，-4中隨機(jī)選出一個數(shù)，則被3整除的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】這是一個古典概型，先得到在1，2，3，4中隨機(jī)選出一個數(shù)，在-1，-2，-3，-4中隨機(jī)選出一個數(shù)，基本事件的總數(shù)，然后找出滿足被3整除的基本事件個數(shù)，代入公式求解.【詳解】在1，2，3，4中隨機(jī)選出一個數(shù)，在-1，-2，-3，-4中隨機(jī)選出一個數(shù)，基本事件的個數(shù)為16個，其中滿足被3整除的基本事件有，共1個，所以被3整除的概率為，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的概率求法，屬于基礎(chǔ)題.3．設(shè)分別是橢圓，的左右焦點(diǎn)，過的直線與相交于兩點(diǎn)，且成等差數(shù)列，則的長為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用橢圓性質(zhì)和等差數(shù)列性質(zhì)，建立等式，即可計算的長．【詳解】建立等式，，故，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓性質(zhì)和等差數(shù)列的性質(zhì)，較容易，建立等式，計算長度，即可．4．已知中，，，，于，，則A．6 B． C．3 D．【答案】A【分析】求得結(jié)合，利用，根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則化簡即可得結(jié)果.【詳解】因為，，，所以，因為，且,所以，，可得，，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算以及平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則，屬于中檔題. 向量數(shù)量積的運(yùn)算主要掌握兩點(diǎn)：一是數(shù)量積的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.5．的展開式中，系數(shù)最小的項為A．第6項 B．第7項 C．第8項 D．第9項【答案】C【詳解】由題設(shè)可知展開式中的通項公式為，其系數(shù)為，當(dāng)為奇數(shù)時展開式中項的系數(shù)最小，則，即第8項的系數(shù)最小，應(yīng)選答案C．6．若過點(diǎn)（2，1）的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線的距離為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可知圓心在第一象限，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，可得圓的半徑為，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用點(diǎn)在圓上，求得實數(shù)的值，利用點(diǎn)到直線的距離公式可求出圓心到直線的距離.【詳解】由于圓上的點(diǎn)在第一象限，若圓心不在第一象限，則圓與至少與一條坐標(biāo)軸相交，不合乎題意，所以圓心必在第一象限，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，則圓的半徑為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.由題意可得，可得，解得或，所以圓心的坐標(biāo)為或，圓心到直線的距離均為；圓心到直線的距離均為圓心到直線的距離均為；所以，圓心到直線的距離為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查圓心到直線距離的計算，求出圓的方程是解題的關(guān)鍵，考查計算能力，屬于中等題.7．函數(shù)上有兩個零點(diǎn)，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】A【分析】由函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點(diǎn)，令，得，，令，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性與極值，即可求解.【詳解】由函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點(diǎn)，令，即，得，.記，則.由此可知在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，且當(dāng)時，.要使得在上由兩個零點(diǎn)，則，所以實數(shù)的取值范圍是，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要靠考查了函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用問題，其中解答中把由函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為和函數(shù)的圖象有兩個交點(diǎn)，再利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用. 二、多選題8．下列命題中其中真命題為（    ）A．“等邊三角形三內(nèi)角都為”的逆否命題；B．“若，則有實根”的逆否命題；C．“全等三角形的面積相等”的否命題；D．“若，則”的否命題；【答案】AB【分析】選項A和選項B：判斷原命題的真假，即可得出逆否命題的真假；選項C和選項D：寫出原命題的否命題，然后再判斷真假.【詳解】選項A：因為命題“等邊三角形三內(nèi)角都為”為真命題，所以其逆否命題也為真命題，所以選項A為真命題；選項B：當(dāng)時，，所以方程有實根，即命題“若，則有實根”為真命題，所以其逆否命題也為真命題，所以選項B為真命題；選項C：“全等三角形的面積相等”的否命題為“不全等的三角形面積不相等”，顯然為假命題，所以選項C為假命題；選項D：命題“若，則”的否命題為“若，則”， 顯然為假命題，所以選項D為假命題.故選：AB.9．下列命題中是真命題的是（    ）A．函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)B．若，則函數(shù)在取得極值C．若，則函數(shù)的值域為D．“”是“函數(shù)在定義域上是奇函數(shù)”的充分不必要條件【答案】ACD【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知A為真命題；當(dāng)時，可知B為假命題；根據(jù)對數(shù)的真數(shù)的判別式大于等于0可知C為真命題；根據(jù)可以推出為奇函數(shù)，為奇函數(shù)可能推出也可能推出，可知D為真命題.【詳解】A選項，因為函數(shù)的圖象連續(xù)不斷，且，所以函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，故A為真命題；B選項，設(shè)，，但函數(shù)在遞增，無極值點(diǎn)，故B為假命題；C選項，當(dāng)時，，所以可以取到所有正數(shù)值，所以的值域為，故C為真命題；D選項，若，則，，若函數(shù)在定義域上是奇函數(shù)，則，即，即，即對定義域內(nèi)的任意恒成立，所以，即或，故“”是“函數(shù)在定義域上是奇函數(shù)”的充分不必要條件，故D為真命題.故選：ACD.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查充分不必要條件的判斷，一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷：（1）若是的必要不充分條件，則對應(yīng)集合是對應(yīng)集合的真子集；（2）是的充分不必要條件， 則對應(yīng)集合是對應(yīng)集合的真子集；（3）是的充分必要條件，則對應(yīng)集合與對應(yīng)集合相等；（4）是的既不充分又不必要條件， 對的集合與對應(yīng)集合互不包含10．滿足及的復(fù)數(shù)可以是（    ）A． B．C． D．【答案】CD【分析】四個選項分別代入驗證是否相等逐項排除可得答案.【詳解】對于A，， ，，錯誤；對于B，，，，錯誤；C. ，，，正確；D. ，，，正確. 故選：CD.11．下列四個正方體圖形中，A、B為正方體的兩個頂點(diǎn)，M、N、P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出AB∥平面MNP的圖形是（    ）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)線面平行的判定定理和性質(zhì)定理分別判斷即可【詳解】解：在A中，連接AC，則AC∥MN，由正方體性質(zhì)得到平面MNP∥平面ABC，∴AB∥平面MNP，故A成立；對于B，若下底面中心為O，則NO∥AB，NO∩面MNP＝N，∴AB與面MNP不平行，故B不成立；對于C，過M作ME∥AB，則E是中點(diǎn)，則ME與平面PMN相交，則AB與平面MNP相交，∴AB與面MNP不平行，故C不成立；對于D，連接CE，則AB∥CE，NP∥CD，則AB∥PN，∴AB∥平面MNP，故D成立.故選：AD.【點(diǎn)睛】此題考查線面平行的判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題12．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)作兩條直線分別與拋物線：相切于點(diǎn)、，的中點(diǎn)為，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．直線過定點(diǎn)；B．的斜率不存在；C．軸上存在一點(diǎn)，使得直線與直線關(guān)于軸對稱；D．、兩點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離的倒數(shù)和為定值.【答案】BCD【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到直線的方程，從而得到定點(diǎn)坐標(biāo)，得A錯誤；將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，并利用根與系數(shù)的關(guān)系得到點(diǎn)橫坐標(biāo)，從而得到軸，得B正確；設(shè)，直線、的斜率分別為、，并利用斜率公式及根與系數(shù)的關(guān)系得到當(dāng)時，，得C正確；根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)得到兩點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離的倒數(shù)之和，并借助根與系數(shù)的關(guān)系化簡，得D正確.【詳解】設(shè)、，∵，∴，∴過點(diǎn)的切線方程為，即，∴，同理過點(diǎn)的切線方程為，將分別代入上式，得，，∴直線的方程為，∴直線過定點(diǎn)，A選項錯誤，聯(lián)立方程得：，，則，，∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，∴軸，B選項正確，設(shè)，由題意得、，設(shè)直線、的斜率分別為、，則，當(dāng)時，，即直線與直線關(guān)于軸對稱，C選項正確，∵點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，∴，D選項正確，故選：BCD.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、拋物線的幾何性質(zhì)以及直線與拋物線的位置關(guān)系，以直線與拋物線相切為出發(fā)點(diǎn)，利用根與系數(shù)的關(guān)系考查定值問題.  三、填空題13．如圖，點(diǎn)，分別是正方體的面對角線，的中點(diǎn)，則異面直線和所成的角為________．【答案】【分析】把兩條異面直線通過平行移動，移動成相交直線，找相交直線所成的角即可.【詳解】因為是的中點(diǎn)，所以連接交于點(diǎn)，連接，因為，分別是，的中點(diǎn)，所以，在正方體中，因為，，所以即為異面直線和所成的角，因為為等邊三角形，所以.故答案為：.14．如圖，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是，則_____．【答案】2【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義以及圖象得,即得結(jié)果.【詳解】由圖像的信息可知．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)幾何意義,考查基本求解能力,屬基礎(chǔ)題.15．已知函數(shù)，則______．【答案】【分析】先計算的值，再計算的值.【詳解】因為，所以.故答案為：.16．某電視臺的夏日水上闖關(guān)節(jié)目一共有三關(guān)，第一關(guān)與第二關(guān)的過關(guān)率分別為，．只有通過前一關(guān)才能進(jìn)入下一關(guān)，每一關(guān)都有兩次闖關(guān)機(jī)會，且通過每關(guān)相互獨(dú)立．一選手參加該節(jié)目，則該選手能進(jìn)入第三關(guān)的概率為________．【答案】.【分析】每一關(guān)分成兩類：第一次成功和第一次失敗且第二次成功，分別算出兩關(guān)的概率相乘即可.【詳解】該選手闖過第一關(guān)的概率為，闖過第二關(guān)的概率為，所以該選手能進(jìn)入第三關(guān)的概率為.故答案為：. 四、解答題17．已知等差數(shù)列的公差，設(shè)的前項和為，，（1）求及；（2）求（）的值，使得.【答案】（1），（）；（2），.【詳解】試題分析：（1）根據(jù)求出，再由，求出數(shù)列的通項公式，用等差數(shù)列的求和公式求；（2）由（1）的結(jié)論，把表示為與的等式，由條件得出，解方程組求得結(jié)論.（1）由題意，，將代入上式得或，因為，所以，從而，（）.（2）由（1）知，，所以，由知，，所以，所以.【解析】數(shù)列的概念，通項公式，求和公式. 18．已知函數(shù)．（1）求的最小正周期；（2）求證：當(dāng)時，．【答案】（1）；（2）具體見解析.【分析】（1）由即可得到答案；（2）先解出的范圍，進(jìn)一步求出函數(shù)的值域，即可證得.【詳解】（1）最小周期為；（2）則，∴.19．近年來，我國大學(xué)生畢業(yè)人數(shù)基數(shù)大而且增長不斷加快，大學(xué)畢業(yè)生的就業(yè)壓力非常大，大學(xué)生就業(yè)已經(jīng)成為社會關(guān)注的熱點(diǎn)問題.在某大型公司的贊助下，某大學(xué)就業(yè)部從該大學(xué)2019屆已就業(yè)的，兩個專業(yè)的大學(xué)本科畢業(yè)生中隨機(jī)抽取了200人進(jìn)行月薪情況的問卷調(diào)查，經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)他們的月薪收入在3000元到9000元之間，具體統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：月薪/百元人數(shù)203644504010 將月薪不低于7000元的畢業(yè)生視為“高薪收入群體”，月薪低于7000元的畢業(yè)生視為“非高薪收入群體”，并將頻率視為概率，已知該校2019屆大學(xué)本科畢業(yè)生小明參與了本次調(diào)查問卷，其月薪為3500元.（1）請根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面的列聯(lián)表，并通過計算判斷，能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為“高薪收入群體”與所學(xué)專業(yè)有關(guān). 非高薪收入群體高薪收入群體合計專業(yè)   專業(yè) 20110合計    （2）經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)該大學(xué)2019屆的大學(xué)本科畢業(yè)生月薪（單位：百元）近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)（每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）.若落在區(qū)間外的左側(cè)，則可認(rèn)為該本科畢業(yè)生屬于“就業(yè)不理想”的學(xué)生，學(xué)校將聯(lián)系本人，咨詢月薪過低的原因，為以后的畢業(yè)生就業(yè)提供更好的指導(dǎo).①試判斷小明是否屬于“就業(yè)不理想”的學(xué)生；②該大型公司為這次參與調(diào)查的大學(xué)本科畢業(yè)生制定了贈送話費(fèi)的活動，贈送方式為：月薪低于的獲贈兩次隨機(jī)話費(fèi)；月薪不低于的獲贈一次隨機(jī)話費(fèi).每次贈送的話費(fèi)及對應(yīng)的概率如下：贈送話費(fèi)/元60120180概率 求小明獲得的話費(fèi)總金額的數(shù)學(xué)期望.附：0.0250.0100.0055.0246.6357.879 ，其中，.【答案】（1）列聯(lián)表見解析，能；（2）①小明不屬于“就業(yè)不理想”的學(xué)生；②200元.【分析】（1）作出列聯(lián)表，求出，從而能在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為“高薪收入群體”與所學(xué)專業(yè)有關(guān)；（2）①由所調(diào)查的200名學(xué)生的月薪頻率分布表求出，由這200名學(xué)生的月薪，求出，從而，由此可得結(jié)論；②小明可獲贈兩次隨機(jī)話費(fèi)，所獲和話費(fèi)的所有可能取值為120，180，240，300，360，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出的分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】解：（1）列聯(lián)表如下： 非高薪收入群體高薪收入群體合計專業(yè)603090專業(yè)9020110合計15050200 ，所以能在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為“高薪收入群體”與所學(xué)專業(yè)有關(guān)（2）①所調(diào)查的200名學(xué)生的月薪頻率分布表如下：月薪/百元人數(shù)203644504010頻率0.10.180.220.250.20.05 .因為這200名學(xué)生的月薪，所以，，所以.因為小明的月薪為3500元=35百元，，所以小明不屬于“就業(yè)不理想”的學(xué)生②由①知百元元，小明的工資為3500元，低于5920元，所以小明可獲贈兩次隨機(jī)話費(fèi)，所獲得的話費(fèi)的所有可能取值為120，180，240，300，360，，，，，.故的分布列為120180240300360 則小明獲得的話費(fèi)總金額的數(shù)學(xué)期望（元）【點(diǎn)睛】此題考查獨(dú)立性檢驗的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，考查正態(tài)分布、相互獨(dú)立喜好件概率等知識，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.20．如圖，已知三棱柱，為棱上一點(diǎn)，平面．（1）求證：；（2）若是等邊三角形，，，的面積為，求三棱柱的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可得，再由是的中點(diǎn)即可得出結(jié)論；（2）首先證明平面，再根據(jù)的面積計算，從而求三棱錐的體積，進(jìn)而求三棱柱的體積.【詳解】（1）連接交于點(diǎn)，連接，因為平面，平面，平面平面，所以，因為四邊形是平行四邊形，所以是的中點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，即.（2）連接，因為是等邊三角形，，，所以，，是全等的等邊三角形，由（1）知：為的中點(diǎn)，所以，，又因為，所以平面，設(shè)，則，，，且，所以的面積為，所以，即.所以，所以.21．已知拋物線C：x2=?2py經(jīng)過點(diǎn)（2，?1）．（Ⅰ）求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程；（Ⅱ）設(shè)O為原點(diǎn)，過拋物線C的焦點(diǎn)作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點(diǎn)M，N，直線y=?1分別交直線OM，ON于點(diǎn)A和點(diǎn)B.求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個定點(diǎn)．【答案】(Ⅰ) ，；(Ⅱ)見解析.【分析】(Ⅰ)由題意結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)可得拋物線方程，進(jìn)一步可得準(zhǔn)線方程；(Ⅱ)聯(lián)立準(zhǔn)線方程和拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理可得圓心坐標(biāo)和圓的半徑，從而確定圓的方程，最后令x=0即可證得題中的結(jié)論.【詳解】(Ⅰ)將點(diǎn)代入拋物線方程：可得：，故拋物線方程為：，其準(zhǔn)線方程為：.(Ⅱ)很明顯直線的斜率存在，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立可得：.故：.設(shè)，則，直線的方程為，與聯(lián)立可得：，同理可得，易知以AB為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為：，圓的半徑為：，且：，，則圓的方程為：，令整理可得：，解得：，即以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線方程的求解與準(zhǔn)線方程的確定，直線與拋物線的位置關(guān)系，圓的方程的求解及其應(yīng)用等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.22．已知函數(shù).（1）求f(x)的最小正周期；（2）若h(x)＝f(x＋t)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，且t∈(0，π)，求t值；（3）當(dāng)x∈時，不等式|f(x)－m|<3恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）π；（2）或；（3）.【分析】（1）先用二倍角公式和輔助角公式化簡，即可求出最小正周期；（2）可知，令即可求出；（3）不等式|f(x)－m|<3恒成立等價于f(x)－3<m<f(x)＋3恒成立，求出最值即可.【詳解】(1)因為， 故f(x)的最小正周期為；(2)由(1)知，令，得，又t∈(0，π)，故或；(3)當(dāng)x∈時，，所以f(x)∈[1，2]，又|f(x)－m|<3恒成立，即f(x)－3<m<f(x)＋3恒成立，所以2－3<m<1＋3，即－1<m<4，故實數(shù)m的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的化簡，考查最小正周期的求法，考查根據(jù)對稱中心求參數(shù)，以及不等式的恒成立問題. 

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