2021屆重慶市巴蜀中學(xué)高三上學(xué)期高考適應(yīng)性月考卷（七）數(shù)學(xué)試題  一、單選題1．已知，，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，分別求出集合與集合的范圍，即可求解.【詳解】根據(jù)題意得：，，所以.故選A．2．復(fù)數(shù)都可以表示，其中為的模，稱為的輻角．已知復(fù)數(shù)滿足 ，則的輻角為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，先求出復(fù)數(shù)，再結(jié)合，即可求出.【詳解】由得， 故，所以.故選C．3．在等差數(shù)列中，為其前項(xiàng)和．若，且，則等于（    ）A．-2021 B．-2020 C．-2019 D．-2018【答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知，數(shù)列也為等差數(shù)列，結(jié)合已知條件求出等差數(shù)列的首項(xiàng)，即可得到.【詳解】因?yàn)?/span>為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，令，則也為等差數(shù)列，設(shè)其公差為，由得，又得.故選：A．4．已知，，，，則，，的大小關(guān)系為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】分別作差，結(jié)合對(duì)數(shù)的性質(zhì)即可比較.【詳解】，∴；，∴，∴.故選:D5．若圓：與直線：相交于點(diǎn)，，且，則的值為（    ）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】首先將圓的方程配成標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到到直線的距離為利用點(diǎn)到直線的距離得到方程，解得即可；【詳解】解：圓：即圓：，圓心，半徑為，所以，又，所以到直線的距離為即解得，因?yàn)?/span>，所以故選：B．6．某彈簧振子做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其位移函數(shù)為，其中表示振動(dòng)的時(shí)間，表示振動(dòng)的位移，當(dāng)時(shí)，該振子剛好經(jīng)過(guò)平衡位置（平衡位置即位移為0的位置）5次，則在該過(guò)程中該振子有（    ）次離平衡位置的距離最遠(yuǎn)．A．3 B．2 C．5 D．5或6【答案】D【分析】根據(jù)題意畫(huà)出函數(shù)的草圖，根據(jù)函數(shù)的圖像，得出該振子離平衡位置的距離最遠(yuǎn)的次數(shù).【詳解】根據(jù)題意，畫(huà)出草圖，由圖可知，時(shí)，該振子離平衡位置的距離最遠(yuǎn)的次數(shù)共5或6次， 故選：D．7．動(dòng)點(diǎn)分別與兩定點(diǎn)，連線的斜率的乘積為，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，已知，，則的最小值為（    ）A．2 B．6 C． D．10【答案】B【分析】先根據(jù)題意，求得曲線的方程，再根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合三角形兩邊之差小于第三邊，即可得到的最小值.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)，則，即：，為的左焦點(diǎn)，設(shè)的右焦點(diǎn)為，則，從而，當(dāng)共線，且在線段上時(shí)取等號(hào)，故的最小值為6.故選：B．8．隨機(jī)變量的概率分布列如下：012……12 ……其中，則（    ）A． B． C．6 D．12【答案】C【分析】由分布列的歸一性求出，從而，由此利用倒序相加法能求出結(jié)果．【詳解】由分布列的性質(zhì)可得：，得，①，②，由①②得，所以．故選：．【點(diǎn)睛】本題綜合性較強(qiáng)，考查知識(shí)點(diǎn)較多，解答本題的關(guān)鍵是將所求數(shù)學(xué)期望變形，根據(jù)倒序相加法，利用組合式的性質(zhì)計(jì)算求解. 二、多選題9．已知函數(shù)，定義域?yàn)?/span>，值域?yàn)?/span>，則下列說(shuō)法中一定正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)題意，令，則，結(jié)合的值域?yàn)?/span>，求出的取值范圍，進(jìn)而區(qū)間的特征，即可得到正確選項(xiàng).【詳解】令，則，由，得，即，得；由，得（舍）或2，即；根據(jù)的圖象特征，知，，.故選：BCD．10．下列命題中正確的是（    ）A．是，共線的充分條件B．若，則C．，，三點(diǎn)不共線，對(duì)空間任意一點(diǎn)，若，則，，，四點(diǎn)共面D．若，，，為空間四點(diǎn)，且有（，不共線），則是，，三點(diǎn)共線的充分不必要條件【答案】AC【分析】由，可得向量，的方向相同，得向量，共線，從而判斷出A；根據(jù)向量平行概念判斷選項(xiàng)B；根據(jù)向量共面條件判斷出C；根據(jù)共線向量定理判斷出D．【詳解】由，可得向量，的方向相同，此時(shí)向量，共線，所以A正確；若，則或A，B，，四點(diǎn)共線，所以B不正確；由A，，三點(diǎn)不共線，對(duì)空間任意一點(diǎn)，若，則，即有，，，四點(diǎn)共面，故C正確；若，，，為空間四點(diǎn)，且有（，不共線），當(dāng)時(shí)，即可得，即，所以，，三點(diǎn)共線，反之也成立，即是A，，三點(diǎn)共線的充要條件，所以D不正確，故選：AC．11．已知橢圓：與雙曲線：（，）有公共焦點(diǎn)，，且兩條曲線在第一象限的交點(diǎn)為，若是以為底邊的等腰三角形，，的離心率分別為和，則（    ）A． B．C． D．【答案】AD【分析】通過(guò)橢圓以及雙曲線的焦距相等推出關(guān)系式，判斷的正誤；利用定義推出離心率的關(guān)系，判斷、的正誤；求解離心率的范圍判斷的正誤即可．【詳解】設(shè)，的焦距為，由，共焦點(diǎn)知，故正確；△是以為底邊的等腰三角形知，由在第一象限知：，即，即，即，故，錯(cuò)；由，得，又，得，所以，從而，故正確．故選：．12．已知定義在的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)滿足，且，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．B．若，則C．在上單調(diào)遞增D．任意，，都有【答案】ABC【分析】由，得，推出（其中為常數(shù)），求出函數(shù)的解析式，通過(guò)（e），求解C，判斷函數(shù)值判斷A；導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷C；函數(shù)的單調(diào)性判斷B；結(jié)合函數(shù)的凹凸性，判斷D即可．【詳解】解：由，得，即，從而得（其中為常數(shù)），即，由，得，所以，故正確；又，從而在上單調(diào)遞增，故正確；令，則在上遞增，不等式（e），得，故正確；由得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以的圖象在部分上凸，在部分下凸，故不正確，故選：ABC．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是利用轉(zhuǎn)化為，即為，從而求得函數(shù)的解析式，而后求導(dǎo)利用單調(diào)性結(jié)合函數(shù)圖象判斷出各個(gè)選項(xiàng).  三、填空題13．若，，則______．【答案】【分析】先利用誘導(dǎo)公式求得的值，再利用二倍角的余弦公式求得的值.【詳解】由得，從而．故答案為：14．對(duì)如下編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)格子涂色，有紅、黃、藍(lán)、綠四種顏色可供選擇，要求相鄰格子不同色，則在1號(hào)格子涂紅色的條件下，4號(hào)格子也涂紅色的概率是______．1234 【答案】【分析】先求1號(hào)格子涂紅色時(shí)共有的涂法種數(shù)，再求1號(hào)格子和4號(hào)格子都涂紅色時(shí)的涂法種數(shù)，從而可求概率.【詳解】若1號(hào)格子涂紅色，則2號(hào)格子有種涂法，3號(hào)格子與2號(hào)格子不同色有種涂法，4號(hào)格子與3號(hào)格子不同色有種涂法，所以共有種；若1號(hào)格子和4號(hào)格子都涂紅色，則3號(hào)格子不涂紅色，有種，2號(hào)格子不涂紅色且不與3號(hào)格子同色有種涂法，所以共有種，故所求概率為．故答案為：.15．已知對(duì)滿足的任意正實(shí)數(shù)，，都有，則整數(shù)的最大值為______．【答案】5【分析】根據(jù)已知條件，先求出的取值范圍，再根據(jù)恒成立等價(jià)于恒成立，即可求出整數(shù)的最大值.【詳解】由得解得或（舍），不等式恒成立，令，則由在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，所以，又從而．故答案為：5. 四、雙空題16．點(diǎn)是棱長(zhǎng)為4的正四面體表面上的動(dòng)點(diǎn)，該四面體的外接球的半徑是______；若MN是該正四面體外接球的一條直徑，則的最小值是______．【答案】；        【分析】設(shè)正四面體S-ABC的外接球球心為O，外接球半徑為R，內(nèi)切球半徑為r，且SH⊥平面ABC于H，利用AH，SH與外接球及內(nèi)切球半徑的關(guān)系，轉(zhuǎn)化即可求解外接球、內(nèi)切球的半徑，然后利用向量的數(shù)量積，判斷P的位置即可求解向量數(shù)量積的最小值．【詳解】解：設(shè)正四面體的外接球球心為，外接球半徑為，內(nèi)切球半徑為，且平面于，則，；由得，當(dāng)為該正四面體的內(nèi)切球與各面的切點(diǎn)時(shí)取等號(hào)．所以的最小值是.故答案為：；. 五、解答題17．已知：等比數(shù)列的前項(xiàng)和為．（1）若，，依次構(gòu)成等差數(shù)列，求數(shù)列的公比的值；（2）若，，求證：．【答案】（1）或；（2）證明見(jiàn)解析．【分析】（1）由等差數(shù)列的性質(zhì)及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列式即可求解公比的值；（2）由，可知，要證，即證，對(duì)公比分類討論，由等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式以及作差法即可得證．【詳解】（1）解：由條件，，即，由于，所以，解得或．（2）證明：由已知，，，要證，即證：．當(dāng)時(shí)，顯然成立；當(dāng)時(shí)，由公式，，由，所以，得證．18．已知：如圖，在正四棱錐中，，，分別是棱和的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求三棱錐和四棱錐的體積之比．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【分析】（1）連接，和交于點(diǎn)，連接，證明，推出平面，即可證明．（2）求出，，然后求解比值即可．【詳解】（1）證明：連接，和交于點(diǎn)，在正方形中，，連接，由，可得由，所以平面，而平面，則有．（2）解：由（1）可知且，所以垂直于底面．，，而，，所以，則有．19．已知：在中，，邊，的面積．（1）求邊的長(zhǎng)度；（2）若的三條內(nèi)角平分線分別交的外接圓于，，，求的面積．【答案】（1）；（2）．【分析】(1)根據(jù)三角形的面積公式以及余弦定理即可求解；(2)由(1)知，其外接圓，與的外接圓為同一圓，再根據(jù)圓的周角定理可知，，，即可得到的面積．【詳解】(1)由題意得，，得，由余弦定理知，計(jì)算得．(2)由圓的周角定理可知：，，則，同理：，．由(1)知，為直角三角形，，，且其外接圓，與的外接圓為同一圓，所以．20．已知：拋物線：被直線截得的弦長(zhǎng)．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）定義：過(guò)拋物線上一點(diǎn)，垂直于在該點(diǎn)的切線的直線稱為拋物線的法線．若拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)（其中），點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，求證：關(guān)于法線的對(duì)稱直線垂直于軸．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析．【分析】(1)根據(jù)題意聯(lián)立方程，結(jié)合弦長(zhǎng)公式，即可求得實(shí)數(shù)的值；(2)根據(jù)已知，表示出拋物線在動(dòng)點(diǎn)的法線，再結(jié)合直線關(guān)于直線對(duì)稱的特點(diǎn)，表示出，即可求證關(guān)于法線的對(duì)稱直線垂直于軸．【詳解】(1)：根據(jù)題意，設(shè)，，將直線與拋物線方程聯(lián)立有：，由韋達(dá)定理得：，，又因，則，解得或由于，所以．(2)證明：由拋物線進(jìn)行求導(dǎo)，得，所以在點(diǎn)的切線斜率為，所以點(diǎn)處的法線的方程為，焦點(diǎn)，設(shè)，則，由1式可得，且，代入2式可知：，可求得，即軸．21．已知：函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)，且在時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值．【答案】（1）的單調(diào)減區(qū)間為，的單調(diào)增區(qū)間為；（2）．【分析】（1）代入?yún)?shù)值，求導(dǎo)函數(shù)并求不等式，即可求出結(jié)果；（2）由，得，設(shè)，通過(guò)求導(dǎo)分析單調(diào)性，得，則求的最大值即可．【詳解】解：（1）由，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；可得的單調(diào)減區(qū)間為，的單調(diào)增區(qū)間為；（2）由，可得，即①，考慮，由得，當(dāng)時(shí)，遞減，當(dāng)時(shí)，遞增，所以①即為，由于求實(shí)數(shù)的最小值，考慮化為，所以，即，令，則，當(dāng)， 當(dāng)，，所以在遞增，在遞減，可得的最大值為，所以的最小值為．22．某公司為獲得一款產(chǎn)品的質(zhì)量認(rèn)證，需要去檢測(cè)機(jī)構(gòu)檢驗(yàn)產(chǎn)品是否含有有害物質(zhì)，在檢驗(yàn)中如果樣品含有物質(zhì)，稱結(jié)果為陽(yáng)性，否則為陰性．現(xiàn)有（，）份樣本需要檢驗(yàn)．有以下兩種檢驗(yàn)方案，方案甲：逐份檢驗(yàn)，則需要檢驗(yàn)次；方案乙：混合檢驗(yàn)，將份樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn)一次，若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，檢驗(yàn)的次數(shù)共為1次；若檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性，為了確定樣本中的陽(yáng)性樣本，則對(duì)份樣本再逐一檢驗(yàn)，即檢驗(yàn)的次數(shù)共為次．每份樣本是否為陽(yáng)性是相互獨(dú)立的，且據(jù)統(tǒng)計(jì)每份樣本是陽(yáng)性的概率為．（1）若（，）份樣本采用方案乙，設(shè)需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）若兩種檢驗(yàn)方案中，每一次檢驗(yàn)費(fèi)用都是元，且份樣本混合檢驗(yàn)一次需要額外收元的材料費(fèi)，單獨(dú)一個(gè)樣本檢驗(yàn)不需要材料費(fèi)．假設(shè)在接受檢驗(yàn)的樣本中，，要使得采用方案乙總費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望低于方案甲，求的最大值．參考數(shù)據(jù)：，，，，．【答案】（1）分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為；（2）13．【分析】（1）根據(jù)題意可知的可能值為1和，再分別求出，即可得到分布列以及數(shù)學(xué)期望；（2）分別求出方案甲，方案乙總費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望，列出不等式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)即可求解．【詳解】（1）的可能值為1和，，，所以隨機(jī)變量的分布列為：1所以．（2）方案乙總費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望：，當(dāng)時(shí)，，又方案甲的總費(fèi)用為，令得，所以，即設(shè)，，所以，，令得，得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，，且，，，，所以使得采用方案乙總費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望低于方案甲的的最大值為13． 

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