2021屆重慶市巴蜀中學(xué)高三下學(xué)期第一次診斷性測試數(shù)學(xué)試題  一、單選題1．設(shè)集合，，則（    ）A． B．M?N C． D．【答案】B【分析】將集合M、N中表達(dá)式化為、，再由此判斷表達(dá)式中分子所表示集合的關(guān)系，即可確定M、N的包含關(guān)系【詳解】對于集合M：，k∈Z，對于集合N：，k∈Z，∵2k+1是奇數(shù)集，k+2是整數(shù)集∴M?N故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了集合的包含關(guān)系，由集合中元素的描述確定包含關(guān)系2．投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試.已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過測試的概率為A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312【答案】A【詳解】試題分析：該同學(xué)通過測試的概率為，故選A．【解析】次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)． 3．下列判斷中不正確的是（　?。?/span>A．命題“若，則”的逆否命題為真命題B．“矩形的兩條對角線相等”的否命題為假命題C．“已知a，b，，若，則”的逆命題是真命題D．“若，則”是假命題【答案】C【分析】A中,根據(jù)題意判斷原命題的真假性即可;B中,寫出原命題的否命題,再判斷它的真假性;C中,寫出原命題的逆命題,再判斷它的真假性;D中,舉例說明該命題是假命題即可【詳解】對于A：時(shí)， ，此時(shí)，是真命題，∴它的逆否命題也為真命題，故A正確；對于B：“矩形的兩條對角線相等”的否命題是如果四邊形不是矩形,則它的對角線不相等,它是假命題,如等腰梯形的對角線相等,∴B正確；對于C：,若,則,它的逆命題是:若,則,它是假命題,因?yàn)?/span>m=0時(shí)不成立,∴C錯(cuò)誤；對于D：若,則x=1時(shí), ，所以是假命題,D正確.故選：C4．已知橢圓的焦點(diǎn)，，P是橢圓上的一點(diǎn)，且是與的等差中項(xiàng)，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（　　）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．已知是橢圓上一點(diǎn)且是與的等差中項(xiàng)，可得，解得．再利用即可得出．【詳解】解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．是橢圓上一點(diǎn)且是與的等差中項(xiàng)，，解得．．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選：C．5．已知向量與的夾角為，且，，若，且，則實(shí)數(shù)的值為A． B． C． D．【答案】C【詳解】 ,選C.點(diǎn)睛：平面向量數(shù)量積的類型及求法(1)求平面向量數(shù)量積有三種方法：一是夾角公式；二是坐標(biāo)公式；三是利用數(shù)量積的幾何意義.(2)求較復(fù)雜的平面向量數(shù)量積的運(yùn)算時(shí)，可先利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律或相關(guān)公式進(jìn)行化簡.6．已知，則的值等于(　　)A．64 B．32C．63 D．31【答案】B【分析】∵∴∴故選B7．設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)（–2，0）且斜率為的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，則=A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】首先根據(jù)題中的條件，利用點(diǎn)斜式寫出直線的方程，涉及到直線與拋物線相交，聯(lián)立方程組，消元化簡，求得兩點(diǎn)，再利用所給的拋物線的方程，寫出其焦點(diǎn)坐標(biāo)，之后應(yīng)用向量坐標(biāo)公式，求得，最后應(yīng)用向量數(shù)量積坐標(biāo)公式求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，過點(diǎn)（–2，0）且斜率為的直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立，消元整理得：，解得，又，所以，從而可以求得，故選D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)直線與拋物線相交求有關(guān)交點(diǎn)坐標(biāo)所滿足的條件的問題，在求解的過程中，首先需要根據(jù)題意確定直線的方程，之后需要聯(lián)立方程組，消元化簡求解，從而確定出，之后借助于拋物線的方程求得，最后一步應(yīng)用向量坐標(biāo)公式求得向量的坐標(biāo)，之后應(yīng)用向量數(shù)量積坐標(biāo)公式求得結(jié)果，也可以不求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，應(yīng)用韋達(dá)定理得到結(jié)果.8．若存在正數(shù)x使2x（x-a）＜1成立，則a 的取值范圍是A．（-∞，+∞） B．(-2, +∞) C．(0, +∞) D．（-1，+∞）【答案】D【詳解】由題意知，存在正數(shù)，使，所以，而函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，所以，故選D.【考點(diǎn)定位】本小題主要考查不等式、分離參變量、函數(shù)的單調(diào)性等知識，考查轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想，考查分析問題以及解決問題的能力. 二、多選題9．定義在R上的偶函數(shù)滿足，且在上是增函數(shù)，下面關(guān)于的判斷正確的是（　?。?/span>A．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱B．是函數(shù)的最大值C．在上是減函數(shù)D．，【答案】ABD【分析】由，可得，即可得到函數(shù)的周期，再根據(jù)周期性和奇偶性一一判斷可得；【詳解】解：，，所以函數(shù)是以4為周期的函數(shù)，偶函數(shù)在，上是增函數(shù)，在，上是減函數(shù)，在，上，最大值為，是以4為周期的函數(shù)，是函數(shù)的最大值，故正確；，，，圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故正確；在，上是增函數(shù)，在，上是增函數(shù)，故錯(cuò)誤；因?yàn)?/span>，所以，，故正確．故選：．10．設(shè)，是復(fù)數(shù)，給出四個(gè)命題：①若，則②若，則③若，則④若，則其中真命題的有（　 　）A．① B．② C．③ D．④【答案】ABC【分析】利用復(fù)數(shù)的定義及其模的性質(zhì)直接求解．【詳解】解：由，是復(fù)數(shù)，得：在①中，若，則，的實(shí)部和虛部都相等，，故①正確；在②中，若，則，的實(shí)數(shù)相等，虛部互為相反數(shù)，，故②正確；在③中，若，則，故③正確；在④中，若，則由復(fù)數(shù)的模的性質(zhì)得，如，但，故④不正確．故選：．11．設(shè)、是兩條不同的直線，、是兩個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題，其中真命題的為（     ）A．若，，則；B．若，，則；C．若，，則；D．若，，則.【答案】AB【分析】考慮空間中線線，線面，面面之間的位置關(guān)系，即線線可能相交、平行、異面；線面為相交、平行、在平面內(nèi)；面面為相交、平行；借助桌面作為平面，筆為直線逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】A.若，過直線作平面使得 ，則 ，因?yàn)?/span>， ，所以 ，故A對；B.若，，則，故B對；C.若，，則與相交、平行或異面，故C錯(cuò)；D.若，，則或，故D錯(cuò).故選：AB12．函數(shù)的圖象為C，下列結(jié)論中正確的是（     ）A．圖象C關(guān)于直線對稱；B．圖象C關(guān)于點(diǎn)對稱；C．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)；D．由的圖象向右平移個(gè)單位長度可以得到圖象C．【答案】ABC【分析】對于AB將自變量的值代入函數(shù)解析式，即可判斷，根據(jù)的取值范圍，求出的范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷可得，根據(jù)三角函數(shù)的平移變換規(guī)則計(jì)算即可判斷D；【詳解】解：因?yàn)?/span>把代入得，，即，所以圖象C關(guān)于直線對稱，故正確；把代入得，，即，所以圖象C關(guān)于點(diǎn)對稱，故正確；當(dāng)時(shí)，求得，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，故正確；由的圖象向右平移得到，故不正確．故選：．  三、填空題13．空間四邊形的對角線互相垂直且相等，順次連接這個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)，所組成的四邊形是_________.【答案】正方形【分析】畫出滿足條件的圖象，利用、、、分別為各邊的中點(diǎn)，由三角形中位線定理及平行四邊形判定定理，可得這個(gè)四邊形是平行四邊形，再由對角線垂直，即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接、，、、、分別為各邊的中點(diǎn)，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，且，，且，四邊形是正方形；故答案為：正方形．14．點(diǎn)E，F分別是三棱錐的棱，的中點(diǎn)，，，，則異面直線與所成的角為________.【答案】【分析】取的中點(diǎn)，連接，則由已知條件可得為異面直線與所成的角，然后在中求解即可【詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?/span>E，F分別是三棱錐的棱，的中點(diǎn)，，，所以∥，，∥，，所以為異面直線與所成的角，因?yàn)?/span>，所以，所以，即，所以異面直線與所成的角為15．已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，則函數(shù)的定義域?yàn)?/span>________．【答案】【分析】由，求解的范圍得答案．【詳解】解：的定義域?yàn)?/span>，由，解得．函數(shù)的定義域?yàn)?/span>．故答案為：．16．2019年10月20日，第六屆世界互聯(lián)網(wǎng)大會(huì)發(fā)布了15項(xiàng)“世界互聯(lián)網(wǎng)領(lǐng)先科技成果”，其中有5項(xiàng)成果均屬于芯片領(lǐng)域，分別為華為高性能服務(wù)器芯片“鯤鵬920”、清華大學(xué)“面向通用人工智能的異構(gòu)融合天機(jī)芯片”“特斯拉全自動(dòng)駕駛芯片”寒武紀(jì)云端AI芯片“思元270”賽靈思“Versal自適應(yīng)計(jì)算加速平臺(tái)”.現(xiàn)有3名學(xué)生從這15項(xiàng)“世界互聯(lián)網(wǎng)領(lǐng)先科技成果”中分別任選1項(xiàng)進(jìn)行了解，且學(xué)生之間的選擇互不影響，則至少有1名學(xué)生選擇“芯片領(lǐng)域”的概率為________.【答案】【分析】基本事件總數(shù)n=15×15×15=3375，至少有1名學(xué)生選擇“芯片領(lǐng)域”的對立事件是沒有學(xué)生選擇“芯片領(lǐng)域”，由此能求出至少有1名學(xué)生選擇“芯片領(lǐng)域”的概率.【詳解】第六屆世界互聯(lián)網(wǎng)大會(huì)發(fā)布了15項(xiàng)“世界互聯(lián)網(wǎng)領(lǐng)先科技成果”，其中有5項(xiàng)成果均屬于芯片領(lǐng)域，現(xiàn)有3名學(xué)生從這15項(xiàng)“世界互聯(lián)網(wǎng)領(lǐng)先科技成果”中分別任選1項(xiàng)進(jìn)行了解，且學(xué)生之間的選擇互不影響,基本事件總數(shù)n=15×15×15=3375，至少有1名學(xué)生選擇“芯片領(lǐng)域”的對立事件是沒有學(xué)生選擇“芯片領(lǐng)域”，則至少有1名學(xué)生選擇“芯片領(lǐng)域”的概率.【點(diǎn)睛】概率的計(jì)算:(1) 等可能性事件的概率一般用列舉法列舉出基本事件（也可用排列組合計(jì)算事件個(gè)數(shù)）,直接套公式求概率；(2)互斥（對立）事件、相互獨(dú)立事件（條件概率）套公式求概率(3)二項(xiàng)分布（超幾何分布）直接套公式求概率. 四、解答題17．等差數(shù)列{}中，.（Ⅰ）求{}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ） 設(shè)，求數(shù)列的前10項(xiàng)和，其中表示不超過的最大整數(shù)，如[0.9]=0,[2.6]=2.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）24.【詳解】試題分析：（Ⅰ） 根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及已知條件求，，從而求得；（Ⅱ）由（Ⅰ）求，再求數(shù)列的前10項(xiàng)和.試題解析：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列的公差為d，由題意有.解得.所以的通項(xiàng)公式為.（Ⅱ）由（Ⅰ）知.當(dāng)n=1,2,3時(shí)，；當(dāng)n=4,5時(shí)，；當(dāng)n=6,7,8時(shí)，；當(dāng)n=9,10時(shí)，.所以數(shù)列的前10項(xiàng)和為.【解析】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的求和【名師點(diǎn)睛】求解本題時(shí)常出現(xiàn)以下錯(cuò)誤：對“表示不超過的最大整數(shù)”理解出錯(cuò). 18．已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的正半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)．（1）求的值；（2）若函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的值域．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義,求出角的正弦、余弦、正切,再結(jié)合二倍角公式,即可得到結(jié)論;（2）先將函數(shù)化簡,確定角的范圍,利用三角函數(shù)的性質(zhì),即可求得函數(shù)的值域.【詳解】（1）因?yàn)榻?/span>終邊經(jīng)過點(diǎn)所以，（2）則故函數(shù)在區(qū)間上的值域是【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的定義,兩角和差公式，二倍角公式，輔助角公式，三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.19．已知函數(shù)在半個(gè)周期內(nèi)的圖象的如圖所示，為圖象的最高點(diǎn)，，是圖象與直線的交點(diǎn)，且.（1）求的值及函數(shù)的值域；（2）若，且，求的值.【答案】(1).（2）.【詳解】試題分析：（1）利用輔助角公式化簡函數(shù)解析式為.由，，可得，是等腰直角三角形.由點(diǎn)到直線的距離為，得函數(shù)的周期為，從而可得解析式，，進(jìn)而可得函數(shù)的值域；（2）由，且，可求出的正弦值和余弦值，，利用兩角和的正弦公式可得結(jié)果.試題解析：（1）函數(shù)化簡得.因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，所以是等腰直角三角形.又因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為4，所以，所以函數(shù)的周期為16.所以，函數(shù)的值域是.（2）由（1），知因?yàn)?/span>，所以因?yàn)?/span>，所以，所以，所以.20．在空間四邊形OABC中，連接AC，OB，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求向量與所成角的余弦值．【答案】【分析】由，利用數(shù)量積的定義可得的值，進(jìn)而由向量夾角的余弦公式代入計(jì)算可得答案．【詳解】， ＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16，∴故答案為：21．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上一點(diǎn)，且滿足軸，，離心率為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若為軸正半軸上的定點(diǎn)，過的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，求點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1) (2) 【分析】（1）由題意可得且，求得，，即可得到橢圓的方程；（2）設(shè)，：，由，得，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系，以及向量的數(shù)量積的運(yùn)算，求得的值，即可得到答案.【詳解】（1）由題意知，為橢圓上一點(diǎn)，且滿足軸，則又由，且，解得，，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)，：，設(shè)，，由，即，即，即，聯(lián)立直線和橢圓方程組，得，有，則，又由 即，解得，所以點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用問題,解答此類題目，通常聯(lián)立直線方程與橢圓（圓錐曲線）方程的方程組，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解，此類問題易錯(cuò)點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯(cuò)解，能較好的考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、分析問題解決問題的能力等.22．已知函數(shù)．（1）求的最小正周期；（2）求證：當(dāng)時(shí)，．【答案】（1）；（2）具體見解析.【分析】（1）由即可得到答案；（2）先解出的范圍，進(jìn)一步求出函數(shù)的值域，即可證得.【詳解】（1）最小周期為；（2）則，∴. 

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