重慶市綦江中學(xué)高2021屆5月考前模擬數(shù)學(xué)試題 一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，，則        =（    ）A． B． C． D．2．已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部是（    ）A． B． C． D．3．已知正項等比數(shù)列的前和為，若，則（    ）A．8 B． C．1 D．8或4．的展開式中的一次項系數(shù)為（    ）A． B． C． D．5．中國南宋大數(shù)學(xué)家秦九韶提出了“三斜求積術(shù)”，即已知三角形三邊長求三角形面積的公式：設(shè)三角形的三條邊長分別為??，則三角形的面積可由公式求得，其中為三角形周長的一半，這個公式也被稱為海倫-秦九韶公式，現(xiàn)有一個三角形的邊長滿足，，則此三角形面積的最大值為（    ）A． B．3 C． D．6．“你是什么垃圾？”這句流行語火爆全網(wǎng)，                                             垃圾分類也成為時下熱議的話題。某居民小區(qū)有右圖六種垃圾桶：一天，張三提著六袋屬于不同垃圾桶的 垃圾進行投放，發(fā)現(xiàn)每個垃圾箱再各投一袋垃圾就滿了，作為一名法外狂徒，張三要隨機投放垃圾，則法外狂徒張三只投對兩袋垃圾的概率為（    ）A． B． C． D．7．在中, ,是的內(nèi)心,若,其中,動點的軌跡所覆蓋的面積為(     )A． B． C． D．8．若滿足，滿足，函數(shù)，則關(guān)于的方程解的個數(shù)是（    ）A．1 B．2 C．3 D．4二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．給出下列命題，其中正確命題為（    ）A．投擲一枚均勻的硬幣和均勻的骰子（形狀為正方體，六個面分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6）各一次，記硬幣正面向上為事件A，骰子向上的點數(shù)是2為事件B，則事件A和事件B同時發(fā)生的概率為B．以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出回歸方程，設(shè)，將其變換后得到線性方程，則，的值分別是和C．隨機變量服從正態(tài)分布，，則D．某選手射擊三次，每次擊中目標的概率均為，且每次射擊都是相互獨立的，則該選手至少擊中2次的概率為10．已知函數(shù)f(x)=sin(3x+)()的圖象關(guān)于直線對稱，則（）A．函數(shù)為偶函數(shù)B．函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增C．若|f()?f()|=2，則|?|的最小值為D．函數(shù)f(x)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)y=?sin3x的圖象11．已知正方體的棱長為2，是的中點，過點的平面滿足平面，則（    ）A．平面截正方體所得截面的形狀是平行四邊形B．平面截正方體所得截面的面積等于C．點到平面的距離為D．若是線段上的動點，則直線與平面所成角的正弦值的取值范圍是12．太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圖案，俗稱陰陽魚， 太極圖展現(xiàn)了一種互相轉(zhuǎn)化，相對統(tǒng)一的和諧美. 定義： 能夠?qū)A的周長和面積同時等分成兩個部分的函數(shù)稱為圓的一個“太極函數(shù)”.則下列有關(guān)說法中，正確的是（    ）A．對于圓：的所有非常數(shù)函數(shù)的太極函 數(shù)中，一定不能為偶函數(shù)B．函數(shù)是圓：的一個太極函數(shù)C．存在圓，使得是圓的一個太極函數(shù)D．直線所對應(yīng)的函數(shù)一定是圓：的太極函數(shù)三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若“”是“”的充分不必要條件，則實數(shù)m的取值范 圍是_____．14．如圖，四邊形中，、分別是以為底的等腰三角形，其中，則_________．15．已知梯形中，，=4， ，若雙曲線以、為焦點，且過、、三點，則雙曲線的離心率為_______．16．已知三棱錐的外接球的半徑為，底面為正三角形，若頂點到底面的距離為且三棱錐的體積為，則點的軌跡長度是 四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（本小題滿分10分）在中，角所對的邊分別為.且．（1）求的值；（2）若，求的面積． 18．（本小題滿分12分）已知等差數(shù)列滿足公差，前n項的和為，，且，，成等比數(shù)列．（1）求的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前100項的和． 19．（本小題滿分12分）如圖，在多面體中，兩兩垂直，四邊形是邊長為2的正方形，ACDGEF，且．（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值． 20．（本小題滿分12分）2021年，廣東省將實施新高考，2018年暑期入學(xué)的高一學(xué)生是新高考首批考生，新高考不再分文理科，采用模式，其中“3”是指語文、數(shù)學(xué)、外語；“1”是指在物理和歷史中必選一科（且只能選一科）；“2”是指在化學(xué)，生物，政治，地理四科中任選兩科.為積極推進新高考，某中學(xué)將選科分為兩個環(huán)節(jié)，第一環(huán)節(jié)：學(xué)生在物理和歷史兩科中選擇一科；第二環(huán)節(jié)：學(xué)生在化學(xué)，生物，政治，地理四科中任選兩科.若一個學(xué)生兩個環(huán)節(jié)的選科都確定，則稱該學(xué)生的選考方案確定；否則，稱該學(xué)生選考方案待確定.該學(xué)校為了解高一年級1000名學(xué)生選考科目的意向，隨機選取50名學(xué)生進行了一次調(diào)查，這50人第一環(huán)節(jié)的選考科目都確定，有32人選物理，18人選歷史；第二環(huán)節(jié)的選考科目已確定的有30人，待確定的有20人，具體調(diào)查結(jié)果如下表： 選考方案確定情況化學(xué)生物政治地理物理選考方案確定的有18人161154選考方案待確定的有14人5500歷史選考方案確定的有12人35412選考方案待確定的有6人0032（1）估計該學(xué)校高一年級選考方案確定的學(xué)生中選考政治的學(xué)生有多少人？（2）從選考方案確定的12名歷史選考生中隨機選出2名學(xué)生，設(shè)隨機變量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．（3）在選考方案確定的18名物理選考生中，有11名學(xué)生選考方案為物理、化學(xué)、生物，試問剩余7人中選考方案為物理、政治、地理的人數(shù)．（只需寫出結(jié)果） 21．（本小題滿分12分）如圖，定義：以橢圓中心為圓心，長軸為直徑的圓叫做橢圓的“輔圓”.過橢圓第一象限內(nèi)一點P作x軸的垂線交其“輔圓”于點Q，當點Q在點P的上方時，稱點Q為點P的“上輔點”.已知橢圓上的點的上輔點為．（1）求橢圓E的方程；（2）若的面積等于，求上輔點Q的坐標；（3）過上輔點Q作輔圓的切線與x軸交于點T，判斷直線PT與橢圓E的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論． 22．（本小題滿分12分）已知函數(shù)在處的切線方程為.（1）求的單調(diào)區(qū)間與最小值；（2）求證：．
 三診試題（數(shù)學(xué)）參考答案與評分標準1．C2．A3．D4．B5．B6．D【詳解】根據(jù)題意，六袋垃圾隨機投入六個垃圾桶共有種方法，投對兩袋時，其他個元素全錯位，所以概率為.故選：D.7．A【詳解】如圖，根據(jù)題意知，P點在以BP，BD為鄰邊的平行四邊形內(nèi)部，∴動點P的軌跡所覆蓋圖形的面積為2S△AOB；在△ABC中，cos，AC=6，BC=7；∴由余弦定理得，；解得：AB=5，或AB=（舍去）；又O為△ABC的內(nèi)心；所以內(nèi)切圓半徑r=,所以∴==；∴動點P的軌跡所覆蓋圖形的面積為．故答案為：A．8．C【詳解】∵滿足，滿足，∴，分別為函數(shù)與函數(shù)，圖象交點的橫坐標，由于與圖象交點的橫坐標為2，函數(shù)，的圖象關(guān)于對稱，∴，∴函數(shù)，當時，關(guān)于的方程，即，即，∴或，滿足題意，當時，關(guān)于的方程，即，滿足題意，∴關(guān)于的方程的解的個數(shù)是3，故選C.9．ABD【詳解】對于A，事件A的概率為，事件B的概率為，則事件A和事件B同時發(fā)生的概率為，故A正確；對于B，因為，所以兩邊取對數(shù)得，令，可得，因為，所以，所以，故B正確；對于C， 隨機變量服從正態(tài)分布，所以正態(tài)曲線關(guān)于對稱，則，故C錯誤；對于D，由題意得，該選手1次未擊中， 2次擊中的概率為，3次都擊中的概率，則至少擊中2次的概率為，故D正確.故選：ABD.10．CD【詳解】因為的圖象關(guān)于直線對稱，所以，得，，因為，所以，所以，對于A：，所以為奇函數(shù)，故選項A錯誤；對于B：時，，函數(shù)在上不是單調(diào)函數(shù)；故選項B不正確；對于C：因為，，又因為，所以的最小值為半個周期，即，故選項C正確；對于D：函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到，故選項D正確；故選：CD11．BCD【詳解】如圖（1），連接，，易得平面，所以,取的中點，的中點，連接，，，易知，故，，，四點共面,取的中點，連接，因為為正方體，所以易得在平面內(nèi)的射影為，而，所以，又，所以平面，因此平面截正方體所得截面就是四邊形，易知其是等腰梯形，故A錯誤.因為正方體的棱長為2，所以，，，所以梯形的高為，面積為，故B正確.連接，記與的交點為，與交于點，在矩形中，連接，與交于點，則即點到平面的距離,在中，，，，則，由得，故C正確.由于平面，所以直線與平面所成角的正弦值,等于直線與所成角的余弦值，由圖（2）可知，當點與點重合時，直線與所成的角最小，其余弦值為；當點與點重合時，與所成的角最大，記與交于點，由于，，，可得，，所以由余弦定理可得,故直線與所成角的余弦值的取值范圍為，故直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為，故D正確.故選：BCD.圖（1）                                          圖（2）12．BCD【詳解】對于A，如下圖所示，若太極函數(shù)為偶函數(shù)，且，所以該函數(shù)平分圓的周長和面積，故A錯誤；對于B，也關(guān)于圓心對稱，平分圓的周長和面積，所以函數(shù)是圓的一個太極函數(shù)；故B正確；對于C，，.，該函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱.所以存在圓：使得是圓的一個太極函數(shù)，如下圖所示，故C正確；對于D，對于直線的方程，變形為，令，得，直線經(jīng)過圓的圓心，可以平分圓周長和面積，故D正確.故選：BCD.13．[3，+∞）14．【解析】∵、分別是以為底的等腰三角形，∴ 設(shè)，則在中，利用余弦定理可得：在中，利用余弦定理可得：∵∴，即∴，即在中，∴在中，∴故答案為15．【詳解】，以線段的中點為坐標原點，所在直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，設(shè)雙曲線的方程為，由于雙曲線的焦點為、，可設(shè)、，由于雙曲線過、兩點，且，由雙曲線的對稱性可知，點、關(guān)于軸對稱，則，將代入雙曲線方程可得，可得，則，設(shè)點，由可得，即，可得，解得，所以，點，將點的坐標代入雙曲線方程可得，即，可得，，解得.因此，該雙曲線的離心率為.故答案為：. 16．【詳解】設(shè)底面正三角形的邊長為，頂點到底面的距離為且三棱錐的體積為，，，正三角形的外接圓半徑為，球心到底面的距離為，又頂點到底面的距離為，頂點的軌跡是一個截面圓的圓周（球心在底面和截面圓之間）且球心到該截面圓的距離為，截面圓的半徑為，∴頂點的軌跡長度是，故答案是：. 17．（1）；（2）.【詳解】（1）因為，由正弦定理，得，∴；............................................................................................................5分（2）∵，由余弦定理得，即，所以，解得或（舍去），所以...........................................................................10分18．（1）；（2）.【詳解】（1）由及，，成等比數(shù)列得，即，解得（舍去），，所以；......................................................6分（2）， 所以...........................................................................12分19．（1）證明見解析；（2）.【詳解】（1）證明：因為兩兩垂直，//，//，所以，所以平面，因為平面，所以，因為四邊形為正方形，所以，因為，所以平面，因為所以四邊形為平行四邊形，所以，所以平面...........................................................................6分 （2）由（1）知互相垂直，故以為坐標原點，以所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，所以.設(shè)為平面的法向量，則，令，則，所以.又因為平面，所以為平面的一個法向量，所以，由圖可知二面角是鈍角，所以二面角的余弦值為...........................................................................12分20．（1）180；（2）；（3）2人.【詳解】（1）由數(shù)據(jù)可知，選考方案確定的18名物理選考生中確定選考政治的有5人，選考方案確定的12名歷史選考生中確定選考政治的有4人所以，估計該學(xué)校高一年級選考方案確定的學(xué)生中選考政治的學(xué)生有人..........................................................................3分（2）由數(shù)據(jù)可知，選考方案確定的12名歷史考生中有3人選考化學(xué)、地理；有5人選考生物、地理；有4人選考政治、地理.由已知得的所有取值為0，1，則所以的分布列為01  所以數(shù)學(xué)期望...........................................................................9分（3）剩余7人中選考方案為物理、政治、地理的人數(shù)為2．...................................12分21．（1）；（2）；（3）直線PT與橢圓相切，證明見解析【詳解】（1）橢圓上的點的上輔點為，輔圓的半徑為，橢圓長半軸為，將點代入橢圓方程中，解得，橢圓的方程為；..........................................................................4分（2）設(shè)點，，則點，，將兩點坐標分別代入輔圓方程和橢圓方程可得，，，故，即，又，則，將與聯(lián)立可解得，則，點的坐標為；..........................................................................8分（3）直線與橢圓相切，證明如下：設(shè)點，，由（2）可知，，與輔圓相切于點的直線方程為，則點，直線的方程為：，整理得，將與橢圓聯(lián)立并整理可得，，由一元二次方程的判別式，可知，上述方程只有一個解，故直線與橢圓相切．..........................................................................12分22．（1）（2）見解析【詳解】（1），故，得，又，所以，得.則，，當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增，所以...........................................................................4分（2）令，，遞增，所以，所以當時，，令，，遞增，，所以當時，，要證，由，及得，，故原不等式成立，只需證，即證.由（1）可得，且，所以，則原不等式成立................................12分  

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