重慶市2020-2021學(xué)年下期高2021屆七校三診數(shù)學(xué)試卷 （考試時(shí)間：120分鐘  試卷滿分：150分） 注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后，將答題卡交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（改編），則（    ）A．            B．          C．         D．2．若，則“”是“”的（    ）A．充分不必要條件        B．必要不充分條件C．充分必要條件件        D．既不充分也不必要條件3．（改編）以下四個(gè)命題中：①回歸分析中，可用相關(guān)指數(shù)R2的值判斷模型的擬合效果，R2越大，模擬的擬合效果越好；②兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1；③若數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的方差為1，則2x1，2x2，2x3，…，2xn的方差為2；④對(duì)分類變量x與y的隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值k來(lái)說(shuō)，k越大，判斷“x與y有關(guān)系”的把握程度越大．其中真命題的個(gè)數(shù)為(　   )A．1                B．2                C．3            D．44．（改編）為了實(shí)施“科技下鄉(xiāng)，精準(zhǔn)脫貧”戰(zhàn)略，某縣科技特派員帶著，，三個(gè)農(nóng)業(yè)扶貧項(xiàng)目進(jìn)駐某村，對(duì)僅有的四個(gè)貧困戶甲、乙、丙、丁進(jìn)行產(chǎn)業(yè)幫扶，若每個(gè)貧困戶只能選擇一個(gè)扶貧項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少有一戶選擇，則甲乙兩戶選擇同一個(gè)扶貧項(xiàng)目的概率為（　　）A．    B．    C． D．5．中國(guó)南宋大數(shù)學(xué)家秦九韶提出了“三斜求積術(shù)”，即已知三角形三邊長(zhǎng)求三角形面積的公式：設(shè)三角形的三條邊長(zhǎng)分別為??，則三角形的面積可由公式求得，其中為三角形周長(zhǎng)的一半，這個(gè)公式也被稱為海倫-秦九韶公式，現(xiàn)有一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)滿足，，則此三角形面積的最大值為（    ）A．      B．3      C．   D．6．18世紀(jì)末期，挪威測(cè)量學(xué)家威塞爾首次利用坐標(biāo)平面上的點(diǎn)來(lái)表示復(fù)數(shù)，使復(fù)數(shù)及其運(yùn)算具有了幾何意義，例如：，也即復(fù)數(shù)的模的幾何意義為對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位，）是純虛數(shù)，其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，則與之間的最小距離為（    ）A．       B．1      C．    D．27．（改編）已知函數(shù)，，的零點(diǎn)分別為，，，則，，的大小為(　   )A．      B．       C．         D．8．(原創(chuàng)) 已知拋物線：，過(guò)點(diǎn)作兩條斜率為，的直線與拋物線的準(zhǔn)線分別相交于點(diǎn)，．分別過(guò)，作的垂線交拋物線于點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，則點(diǎn)到直線的距離的最大值是(　   )A． 1             B．            C．            D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分。部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。 9．（改編）已知函數(shù)（，），其圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，且恒成立，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．函數(shù)在的取值范圍是  B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C．點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心D．將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到的圖象10．（改編）設(shè)F1，F2分別為雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上任一點(diǎn)，若的最小值為8a，則該雙曲線離心率e的取值可以是(   　)  A．1   B．      C．          D．411．（改編）已知，為正實(shí)數(shù)，且，則（　?。?/span>A．的最大值為2        B．的最小值為4C．的最小值為3       D．的最小值為12． 如圖，正方形的邊長(zhǎng)為1，分別為的中點(diǎn)，將正方形沿對(duì)角線折起，使點(diǎn)不在平面內(nèi)，則在翻折過(guò)程中，以下結(jié)論正確的是（     ）A. 異面直線與所成的角為定值B. 存在某個(gè)位置，使得直線與直線垂直C. 三棱錐與體積之比值為定值D. 四面體外接球體積為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．二項(xiàng)式的展開式中，僅有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)取得最大值,則展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是____．14．已知，則________．15．已知是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，則的值為_________.16．已知定義在上的函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為__________．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（本小題滿分10分）已知數(shù)列是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，且各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和為，，、、依次成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若______，求的前項(xiàng)和，并求的最小值．從以下所給的三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到上面問(wèn)題的橫線上，并解答此問(wèn)題．①數(shù)列 滿足：，（）；②數(shù)列的前項(xiàng)和（）；③數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：（）．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，只按第一個(gè)解答計(jì)分．18．（本小題滿分12分）已知函數(shù)． （1）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（2在中，內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，已知，若，且，求的值．19.（改編）（本小題滿分12分）國(guó)家發(fā)展改革委、住房城鄉(xiāng)建設(shè)部于2017年發(fā)布了《生活垃圾分類制度實(shí)施方案》，規(guī)定46個(gè)重點(diǎn)城市在2020年底實(shí)施生活垃圾強(qiáng)制分類，垃圾回收、利用率要達(dá)35%以上．截至2019年底，這46個(gè)重點(diǎn)城市生活垃圾分類的居民小區(qū)覆蓋率已經(jīng)接近．某市在實(shí)施垃圾分類之前，從本市人口數(shù)量在兩萬(wàn)人左右的320個(gè)社區(qū)中隨機(jī)抽取50個(gè)社區(qū)，對(duì)這50個(gè)社區(qū)某天產(chǎn)生的垃圾量（單位：噸）進(jìn)行了調(diào)查，得到如下頻數(shù)分布表，并將人口數(shù)量在兩萬(wàn)人左右的社區(qū)產(chǎn)生的垃圾數(shù)量超過(guò)28(噸/天)的確定為“超標(biāo)”社區(qū)：垃圾量X頻數(shù)56912864（1）在頻數(shù)分布表中，以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值，求這50個(gè)社區(qū)這一天產(chǎn)生的垃圾量的平均值(精確到)；（2）若該市人口數(shù)量在兩萬(wàn)人左右的社區(qū)一天產(chǎn)生的垃圾量X大致服從正態(tài)分布，其中，分別近似為（1）中樣本的平均值，方差，經(jīng)計(jì)算約為5.2．請(qǐng)利用正態(tài)分布知識(shí)估計(jì)這320個(gè)社區(qū)一天中“超標(biāo)”社區(qū)的個(gè)數(shù)；（3）通過(guò)研究樣本原始數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，抽取的50個(gè)社區(qū)中這一天共有8個(gè)“超標(biāo)”社區(qū)，市政府決定對(duì)這8個(gè)“超標(biāo)”社區(qū)的垃圾來(lái)源進(jìn)行跟蹤調(diào)查.現(xiàn)計(jì)劃在這8個(gè)“超標(biāo)”社區(qū)中隨機(jī)抽取5個(gè)進(jìn)行跟蹤調(diào)查，設(shè)為抽到的這一天產(chǎn)生的垃圾量至少為30.5噸的社區(qū)個(gè)數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則,， 20.（原創(chuàng)）（本小題滿分12分）如圖正三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為2，分別是棱的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求三棱錐的體積；（3）求二面角的余弦值．           21.（改編）（本小題滿分12分）橢圓：的右焦點(diǎn)為，過(guò)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)，3．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)橢圓在點(diǎn)、處的切線交于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：直線平分線段．附：橢圓上一點(diǎn)處的切線方程為． 22.（本小題滿分12分）已知函數(shù)在處的切線方程為.（1）求的單調(diào)區(qū)間與最小值；（2）求證：．2020-2021學(xué)年下期高2021屆七校三診數(shù)學(xué)試卷答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．A  2．D  3．C  4．D  5．B  6．B  7．B  8．C8.解析：設(shè)，，直線，，．，所以直線過(guò)定點(diǎn)，則到直線的距離，當(dāng)即，或，取等號(hào)．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分。部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。 9．AC  10．BC  11.ABD  12.  ACD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．  14．  15．  16．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．【解析】（1）設(shè)數(shù)列 的公比為，則由，，所以， 因?yàn)?/span>，所以，  ．．．．．．．1分因?yàn)?/span>，，成等差數(shù)列，所以，即，所以，  ．．．．．．．2分所以，  ．．．．．．．．．．．．．3分所以 ．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）選擇①：因?yàn)?/span>，（），所以（），  ．．．5分所以；；；……；；   ．．．．．．．．．．．．．．．．6分所以，當(dāng)時(shí)也成立  ．．．．．．．．．．．．．．．．．7分所以，．．．．．．．．．．．．．．．．8分所以，．．．．．．．．．．．．．．．．9分因?yàn)?/span>是遞增的，所以的最小值為，．．．．．．．．．．．．．．．．10分選擇②：由可知：當(dāng)時(shí)，， ．．．．．．．．．．．．．．．．5分當(dāng)時(shí)，，．．．．．．．．．．．．．．．．6分驗(yàn)證當(dāng)時(shí)亦滿足此關(guān)系， 所以 ．．．．．．．．7分所以 所以   ，．．．．．．．．．．．．．．．．8分兩式相減得：     所以，．．．．．．．．．．．．．．．．9分因?yàn)?/span>是遞增的，所以的最小值，．．．．．．．．．．．．．．．．10分選擇③：當(dāng)時(shí)，，即．．．．．．．．．．．．．．．．5分當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，所以，兩式相減得，即（）， 由于，故所以（）．．．．．．．．．．．．．．．．6分所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，．．．．．．．．．．．．．．．．7分所以，所以，．．．．．．．．．．．．．．．．8分當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，由于，故；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，由于，故，由在為偶數(shù)時(shí)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 18．【解析】（1）   ．．．．．．．．．．．．．．．．．1分                       ．．．．．．．．．．．．．．2分                         ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分函數(shù)的最小正周期.      ．．．．．．．．．．．．．．4分由（），可解得（） ．．．．．．．．．．．5分的單調(diào)遞增區(qū)間為（）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）由，可得或（）．．．．．．．7分，，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ．．．．．．．．．．．．．9分又，，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分19．【解析】解：（1）由頻數(shù)分布表得所以這50個(gè)社區(qū)這一天產(chǎn)生的垃圾量的平均值為22.8噸．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）由（1）知，因?yàn)?/span>約為5.2，所以取．所以．．．．．．．．．．．．．．．．．6分又，所以估計(jì)這320個(gè)社區(qū)一天中“超標(biāo)”社區(qū)的個(gè)數(shù)為51．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分（3）由頻數(shù)分布表知：8個(gè)“超標(biāo)”社區(qū)中這一天產(chǎn)生的垃圾量至少為30.5噸的社區(qū)有4個(gè)，所以Y的可能取值為1，2，3，4，．．．．．．．．．．．．．．．．．9分,,，．．．．．．．．．．．．．．．．．10分所以Y的分布列為Y1234P所以．．．．．．．．．．12分20.【解析】證明：（1）又………………………………3分（2）由（1）…………………5分，，…………………6分…………………7分（1）設(shè)二面角的的平面角分別為則，…………………8分過(guò)點(diǎn)作易證，可得類似的方法可得………………10分………………11分所以二面角的余弦值為………………12分 21.【解析】（1）解：當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)，⊥軸，，又，解得（舍負(fù)），，．．．．．．．．．3分所以橢圓的方程為．．．．．．．．．．4分（2）證明：設(shè)，，的中點(diǎn)為，由題知，的斜率不為0，故可設(shè)：，則橢圓在點(diǎn)處的切線為，在點(diǎn)處的切線為，故，．．．．．．．．8分將代入兩切線方程得，，兩式相減得，即，故，所以，．．．．．．．．．10分由點(diǎn)，在橢圓上可得，，兩式相減得，整理得，所以，即經(jīng)過(guò)線段AB的中點(diǎn)M，所以直線ON平分線段AB．．．．．．．．12分22．【解析】（1），故，得，又，所以，得.則，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以...........................................................................4分（2）令，，遞增，所以，所以當(dāng)時(shí)，，令，，遞增，，所以當(dāng)時(shí)，，要證，由，及得，，故原不等式成立，只需證，即證.由（1）可得，且，所以，則原不等式成立................................12分   

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