2021屆重慶市第八中學(xué)高三下學(xué)期適應(yīng)性月考（五）數(shù)學(xué)試題  一、單選題1．的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法化簡復(fù)數(shù)，并求得共軛復(fù)數(shù)，判斷其所處象限即可.【詳解】由，則，對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，故選：A2．已知：；：．則下列命題中，真命題是（    ）A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】對應(yīng)各個(gè)選項(xiàng)，分別寫出命題，由此即可判斷真假．【詳解】解：選項(xiàng)A：若，則，如，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：若，則，如，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：若，則，，故C正確；選項(xiàng)D：若，則，不成立，故D錯(cuò)誤，故選：C．3．在中，為的中點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，若，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】，C，D，G三點(diǎn)共線，根據(jù)共線定理求得參數(shù)值.【詳解】由為的中點(diǎn)知，，又為線段上一點(diǎn)，由共線定理知，，則故選：B4．“巴赫十二平均律”是世界上通用的音樂律制，它與五度相生律、純律并稱三大律制．“十二平均律”將一個(gè)純八度音程分成十二份，依次得到十三個(gè)單音，從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于．而早在16世紀(jì)，明代朱載最早用精湛的數(shù)學(xué)方法近似計(jì)算出這個(gè)比例，為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)．若第一個(gè)單音的頻率為，則第五個(gè)單音的頻率為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先將所要解決的問題轉(zhuǎn)化為：求首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列的第5項(xiàng)，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得結(jié)果即可.【詳解】由題設(shè)可得：依次得到的十三個(gè)單音構(gòu)成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，故選：D.5．已知圓：，過直線上的點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，．若存在點(diǎn)，使得，則的最小值為（    ）A． B． C． D．2【答案】C【分析】若，此時(shí)四邊形為正方形，若點(diǎn)存在，則應(yīng)滿足圓心到直線的距離小于等于正方形對角線的長，從而解得斜率取值范圍，求得最小值.【詳解】由題知，若，此時(shí)四邊形為以為邊長的正方形，此時(shí)，若存在點(diǎn)，則應(yīng)滿足圓心到直線的距離小于等于2，即，解得，即的最小值為.故選：C6．從1，2，3，5，6，7中任取三個(gè)不同數(shù)字形成三位數(shù)，則這個(gè)三位數(shù)可以與剩下的三個(gè)數(shù)字所形成的某個(gè)三位數(shù)之和為888的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出從1，2，3，5，6，7中任取三個(gè)不同數(shù)字形成三位數(shù)個(gè)數(shù)，再求出將6個(gè)數(shù)分成3組，1與7，2與6，3與5，則可以與剩下的三個(gè)數(shù)字所形成的某個(gè)三位數(shù)之和為888的三位數(shù)的個(gè)數(shù)，由此能求出這個(gè)三位數(shù)可以與剩下的三個(gè)數(shù)字所形成的某個(gè)三位數(shù)之和為888的概率．【詳解】解：從1，2，3，5，6，7中任取三個(gè)不同數(shù)字形成三位數(shù)個(gè)數(shù)為，將6個(gè)數(shù)分成3組，1與7，2與6，3與5，則可以與剩下的三個(gè)數(shù)字所形成的某個(gè)三位數(shù)之和為888的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為：，這個(gè)三位數(shù)可以與剩下的三個(gè)數(shù)字所形成的某個(gè)三位數(shù)之和為888的概率為：．故選：C．7．（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先將代入所求式子通分化簡，再結(jié)合二倍角公式、兩角差的正弦公式，即可得解．【詳解】解：．故選：A．8．已知定義在上的函數(shù)滿足：，且，是的導(dǎo)數(shù)，則（    ）A．是奇函數(shù)，且是周期函數(shù) B．是偶函數(shù)，且是周期函數(shù)C．是奇函數(shù)，且不是周期函數(shù) D．是偶函數(shù)，且不是周期函數(shù)【答案】B【分析】根據(jù)題意，對和變形分析可得：以及，由復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算公式分析可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，定義在上的函數(shù)滿足，則有，又由，則，則有，即，變形可得：，故是周期為4的周期函數(shù)，則，故是周期函數(shù)，又由，即，故，即是偶函數(shù)，故選B：．【點(diǎn)睛】本題考查符合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算以及函數(shù)奇偶性的性質(zhì)以及應(yīng)用，涉及函數(shù)周期性的判斷，屬于中檔題．9．在平面中作圖形變換，將變換前后兩點(diǎn)間的距離依舊保持不變的圖形變換稱為剛體變換，平移變換就是一種剛體變換．以下兩個(gè)函數(shù)和，其中的圖象可以由的圖象通過平移得到的是（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】根據(jù)平移與伸縮變換的定義可判斷ABD為伸縮變換，C為平移變換．【詳解】對A，是伸縮變換，不是平移變換，故錯(cuò)誤；對B，是伸縮變換，不是平移變換，故錯(cuò)誤；對C，，表示中的圖象可以由的圖象通過向左平移得到，故C；對D，是伸縮變換，不是平移變換，故錯(cuò)誤；故選：C 二、多選題10．2020年突如其來的新冠肺炎疫情讓民眾更加重視身體健康，為促進(jìn)學(xué)生增強(qiáng)體質(zhì)，某學(xué)校對高一、高二年級在某一周內(nèi)每天的人均體育鍛煉時(shí)間（單位：分鐘）進(jìn)行了調(diào)研．根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)制成折線圖如圖：下列說法正確的是（    ）A．高二年級該周每天的人均體育鍛煉時(shí)間的眾數(shù)為30B．高一年級該周每天的人均體育鍛煉時(shí)間的中位數(shù)為72C．高一年級該周每天的人均體育鍛煉時(shí)間的極差比高二年級的小D．高一年級該周每天的人均體育鍛煉時(shí)間的平均值比高二年級的大【答案】AC【分析】根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)求得統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，對選項(xiàng)一一分析即可.【詳解】由圖知，高一該周每天的人均體育鍛煉時(shí)間為70,30,65,72,35,70,55，其中位數(shù)為65，故B錯(cuò)誤；極差為；平均值為；高二該周每天的人均體育鍛煉時(shí)間為30,65,30,83,35,90,88；其眾數(shù)為30，故A正確；極差為，平均值為；故高一年級鍛煉時(shí)間的極差小于高二年級的，C正確；高一年級鍛煉時(shí)間的均值小于高二年級的，D錯(cuò)誤；故選：AC11．已知，分別是等差數(shù)列的公差及前項(xiàng)和，，設(shè)，則數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論中正確的是（    ）A． B．C．時(shí)，取得最小值 D．【答案】BC【分析】根據(jù)題意即可判斷出、與的正負(fù)號，利用作差法即可判斷出與、與的大小關(guān)系.利用裂項(xiàng)相消求出，根據(jù)的正負(fù)號，即可得出取最小值時(shí)的值.即可判斷與的大小關(guān)系.【詳解】由題意知：,,則，即，故A錯(cuò)誤.由上可知，則.所以，故B正確.由題意知：則又，要使取得最小值即取最小值.由題意知使取最大值，顯然需，而.所以當(dāng)時(shí)，取最小值.故C正確.假設(shè).又，即又，即.而當(dāng)時(shí).假設(shè)不成立.故D錯(cuò)誤.故選：BC.12．如圖所示，在矩形中，，，為上一動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將沿折起至，在平面內(nèi)作，為垂足．設(shè)，，則下列說法正確的是（    ）A．若平面，則B．若平面，則C．若平面平面，且，則D．若平面平面，且，則【答案】BCD【分析】根據(jù)線面關(guān)系，面面關(guān)系對選項(xiàng)一一分析即可.【詳解】對于A，若平面，則，在中，，，則，，FG是三角形的高，則，故A錯(cuò)誤；對于B，若平面，則有，，則，在中，，即，解得，故B正確；對于C，若平面平面，作，垂足為H，因?yàn)槠矫?/span>平面，所以平面，從而，又，所以平面，從而，因?yàn)?/span>，所以在等腰直角三角形中，，所以在等腰直角三角形中，，故C正確；對于D，若平面平面，平面平面，又，故平面，所以，作作，垂足為H，從而有平面，從而，從而有C，H，G三點(diǎn)共線，則，又故，又由知，，因?yàn)?/span>，，所以，故D正確；故選：BCD  三、填空題13．已知圓錐的側(cè)面積為8π，側(cè)面展開圖是半圓，則該圓錐的體積為_______.【答案】【分析】側(cè)面展開圖半徑為圓錐的母線，由已知條件求出圓錐的母線，再求出底面半徑，即可求出圓錐的體積.【詳解】設(shè)圓錐的母線為，底面半徑為，依題意，，側(cè)面展開圖的弧長為，圓錐的體積為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查圓錐側(cè)面展開圖的結(jié)構(gòu)特征，求圓錐的體積，屬于基礎(chǔ)題.14．在中，內(nèi)角，，所對應(yīng)邊分別為，，，若，且，，則的值為______．【答案】【分析】根據(jù)條件化簡得到，結(jié)合求得，又，從而有，由余弦定理解得b.【詳解】由題知，，即，則，，則，又，則，即，故，，又則由余弦定理知，故故答案為：15．已知正數(shù)，滿足，則的最小值為______．【答案】【分析】由已知變形得，，然后結(jié)合基本不等式可求．【詳解】解：因?yàn)?/span>，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)且，即，時(shí)取等號，則，故的最小值．故答案為：．16．過雙曲線：（，）右支上一點(diǎn)作兩條漸近線的平行線分別與另一漸近線交于點(diǎn)，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)的面積為，若，則雙曲線的離心率取值范圍為______．（用區(qū)間作答）【答案】【分析】設(shè)，是過P與漸近線平行的直線，交y軸于點(diǎn)，與漸近線交于，用m，n表示出d和，利用求得四邊形面積，結(jié)合條件得到不等關(guān)系，從而求得離心率取值范圍.【詳解】設(shè)，是過P與漸近線平行的直線，交y軸于點(diǎn)，與漸近線交于，
則，即，聯(lián)立解得，則，由題知四邊形是平行四邊形，又在雙曲線上，應(yīng)滿足，即則則，解得，可得離心率所以離心率的范圍為，故答案為： 四、解答題17．已知函數(shù)．（1）求的值域；（2）討論在上的單調(diào)性．【答案】（1）；（2）在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.【分析】（1）根據(jù)余弦的二倍角公式進(jìn)行化簡，求得解析式，進(jìn)而求得值域；（2）求得的解析式，根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性判斷在區(qū)間上的單調(diào)性.【詳解】（1），，則，即函數(shù)值域?yàn)?/span>.（2），由知，根據(jù)余弦函數(shù)單調(diào)性知，，即函數(shù)單調(diào)遞減；，即函數(shù)單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.18．已知數(shù)列滿足，，且，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求，；（2）把數(shù)列，的項(xiàng)依次從小到大排列，得到數(shù)列，求數(shù)列的前50項(xiàng)和．【答案】（1），；（2）3825．【分析】（1）由題意可得數(shù)列為等差數(shù)列，由此可求，由可推出，由此得數(shù)列為等比數(shù)列，由此可求出；（2）由（1）可設(shè)數(shù)列的前50項(xiàng)中有項(xiàng)來自于，有項(xiàng)來自于，可得，解得，由此可求出答案．【詳解】解：（1）∵，∴數(shù)列為等差數(shù)列，∵，，∴數(shù)列的公差，∴，∵，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴，綜上：，；（2）由（1）可設(shè)數(shù)列的前50項(xiàng)中有項(xiàng)來自于，有項(xiàng)來自于，∴，即，解得，∴．19．設(shè)甲、乙兩位同學(xué)在高中三年級上學(xué)期間，甲同學(xué)每天6：30之前到校的概率均為，乙同學(xué)每天6：30之前到校的概率均為，假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨(dú)立．（1）設(shè)為事件“上學(xué)期間的五天中，甲同學(xué)在6:30之前到校的天數(shù)為3天”，為事件“上學(xué)期間的五天中，甲同學(xué)有且只有一次連續(xù)兩天在6：30之前到校”，求在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的概率；（2）在上學(xué)期間的五天中，隨機(jī)變量表示甲、乙同學(xué)同時(shí)在6：30之前到校的天數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（3）甲、乙同學(xué)組成了學(xué)習(xí)互助小組后，若某天至少有一位同學(xué)在6：30之后到校，則之后的一天甲、乙同學(xué)必然同時(shí)在6：30之前到校，在上學(xué)期間的五天，隨機(jī)變量表示甲、乙同學(xué)同時(shí)在6：30之前到校的天數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）；（2）分布列見詳解，；（3）分布列見詳解，.【分析】（1）利用條件概率求出即可.（2）利用二項(xiàng)分布公式即可求出答案.（3）根據(jù)題意求出隨機(jī)變量對應(yīng)的概率，即可求出其數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）事件包含6種情況：甲同學(xué)第1、2、4天6：30之前到校；甲同學(xué)第1、2、5天6：30之前到校；甲同學(xué)第2、3、5天6：30之前到校；甲同學(xué)第1、3、4天天6：30之前到校；甲同學(xué)第1、4、5天天6：30之前到校；甲同學(xué)第2、4、5天天6：30之前到校.故又,所以.（2）對于每一天甲乙同學(xué)同時(shí)在6：30之前到校的概率為，由獨(dú)立性知：，則隨機(jī)變量的分布列為：012345.（3）隨機(jī)變量的所有可能取值為2、3、4、5.則,,,,則隨機(jī)變量的分布列為：2345則.20．要已知橢圓：的離心率為，直線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)與關(guān)于原點(diǎn)對稱，為橢圓上動(dòng)點(diǎn)，且直線，與直線交于點(diǎn)，，求的最小值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由離心率為，得，令，，進(jìn)而可得橢圓的方程為，寫出直線的方程，并聯(lián)立橢圓的方程，由直線與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，得，解得，進(jìn)而可得答．（2）先證，設(shè)直線的方程，則直線的方程為，進(jìn)而可得，坐標(biāo)，寫出，結(jié)合基本不等式，即可得出答案．【詳解】解：（1）由離心率為，得，所以，即，令，，則橢圓的方程為，又點(diǎn)，，所以直線的方程為，聯(lián)立橢圓的方程，得，由直線與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，所以，解得，所以橢圓的方程為；（2）因?yàn)?/span>，，都在橢圓上，先證，設(shè)，，則，設(shè)直線的方程為，直線的方程為，得，，，，，或，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的方程，直線與橢圓的相交問題，解題中需要一定的計(jì)算能力，難度較大．21．如圖，在中，，，為的外心，平面，且．（1）求證：平面；并計(jì)算與平面之間的距離．（2）設(shè)平面平面，若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)直線與平面所成角取最大值時(shí)，求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析，（2）【分析】（1）先證明四邊形為菱形，即可說明，則可得出平面，由到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離，借助則可計(jì)算出結(jié)果.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由題意可說明，設(shè)，求出平面的法向量為，根據(jù)與所成角的余弦值可表示出直線直線與平面所成角的正弦值，即可求出其取最大值時(shí)的，則可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出平面的法向量為，由二面角的余弦公式則可求出二面角的正弦值.【詳解】（1）如圖，連接，交于點(diǎn)，為的外心，所以，所以.故和都為等邊三角形，即四邊形為菱形，所以且.又平面、平面 ,所以平面.則到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離，記為 ,由題意知：,所以， .又因?yàn)?/span>即解得：.（2）因?yàn)?/span>平面，平面，平面平面=，所以.如圖所示：以點(diǎn)為原點(diǎn)建系.則.設(shè),所以.設(shè)平面的法向量為.則所以直線與平面所成角的正弦值為：,即當(dāng)時(shí)直線與平面所成角取最大值.此時(shí)，所以, 設(shè)平面的法向量為.則令則.所以，即則二面角的正弦值.22．已知函數(shù)．（1）若存在極值，求的取值范圍；（2）證明：，，．【答案】（1）；（2）見解析.【分析】（1），對分類討論，即可得出單調(diào)性；（2）由（1）可知：時(shí)，函數(shù)在處取得極小值，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，即，．取，則，即成立，（其中，，，，，2，，，對不等式兩邊求和即可證明結(jié)論．【詳解】解：（1），時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，不存在極值，舍去．時(shí)，令，解得，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，函數(shù)在處取得極小值．故的取值范圍是．（2）證明：由（1）可知：時(shí)，函數(shù)在處取得極小值，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，即，．取，則，即成立，（其中，，，，，2，，，對不等式兩邊求和可得：，即成立，即成立，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、方程與不等式的解法、分類討論方法、等價(jià)轉(zhuǎn)化方法、構(gòu)造法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題． 

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