18.1.1 平行四邊形的性質(zhì) 教案【教學(xué)目標(biāo)】1.知識與技能（1）記住平行四邊形的相關(guān)概念，探究平行四邊形的性質(zhì)。（2）會添加輔助線證明性質(zhì)，記住性質(zhì)并能應(yīng)用性質(zhì)解決簡單的計算。2.過程與方法進一步發(fā)展合情推理、演繹推理的能力，增強幾何直觀和幾何符號意識。3.情感態(tài)度和價值觀培養(yǎng)學(xué)生獨立思考的習(xí)慣與合作交流的意識，激發(fā)學(xué)生探索數(shù)學(xué)的興趣，體驗探索成功后的快樂。【教學(xué)重點】1、探索并證明平行四邊形的性質(zhì)。2、應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)進行簡單計算、推理。【教學(xué)難點】正確利用平行四邊形的性質(zhì)解決問題【教學(xué)過程】一、知識回顧    1.三角形的定義：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形，叫做三角形。2.四邊形的定義：    在同一平面內(nèi)，由不在同一直線上的四條線段首尾順次相接組成的圖形，叫做四邊形。3.說出下列四邊形的名稱：       二、情景導(dǎo)入    一位飽經(jīng)滄桑的老人，經(jīng)過一輩子的辛勤勞動，到晚年的時候，終于擁有了一塊平行四邊形的土地，由于年邁體弱，他決定把這塊土地分給他的四個孩子，他是這樣分的：  同學(xué)們，你認(rèn)為老人這樣分合理嗎?為什么?三、新課教學(xué)尋找生活中的平行四邊形  1．平行四邊形的定義要了解平行四邊形的的性質(zhì)，我們就要先了解什么是平行四邊形，從圖形中，我們很容易總結(jié)出平行四邊形的定義：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。對于一個如圖所示的平行四邊形，我們一般用符號□表示，如平行四邊形ABCD記作：□ABCD，讀作：平行四邊形ABCD。對于平行四邊形的定義，我們用幾何語言表示：∵AB∥CD   AD∥BC∴四邊形ABCD是平行四邊形（平行四邊形的定義）。反過來∵四邊形ABCD是平行四邊形（或在□ABCD中）∴AB∥CD   AD∥BC（平行四邊形的定義）。2、平行四邊形的性質(zhì)1從定義中，我們能夠看到，平行四邊形的兩組對邊分別平行，那么它的對角有什么關(guān)系呢？對邊又有其他的關(guān)系嗎？猜想：對角相等，對邊相等大家可以動手，按照平行四邊形的定義，畫出一個平行四邊形，然后，用直尺量一下對邊的長度，用量角器量一下對角的度數(shù)。大家能夠發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？AB=DC，AD=BC，∠A=∠C，∠B=∠D由此，我們發(fā)現(xiàn)，我們的猜想是正確的，那么大家能夠用自己所學(xué)的知識來證明一下這個結(jié)論嗎？在證明之前，我想先讓大家考慮這樣一個問題，用兩個全等的三角形紙片可以拼出幾種形狀不同的平行四邊形？大家可以動手試一下。（學(xué)生動手）大家都拼的很好，從中大家有什么啟示呢？平行四邊形可以是由兩個全等的三角形組成，因此在解決平行四邊形的問題時，通?？梢赃B結(jié)對角線轉(zhuǎn)化為兩個全等的三角形進行解題。由剛剛得到的結(jié)論，我們就來考慮一下如何證明平行四邊形的性質(zhì)吧。課件展示證明過程。了解了對邊與對角的性質(zhì)之后，大家來思考這樣一個問題，已知平行四邊形一個內(nèi)角的度數(shù)，你能確定其他內(nèi)角的度數(shù)嗎？展示一個平行四邊形，由學(xué)生回答。剛剛大家都很迅速的得出了結(jié)論，大家有什么簡單的方法嗎？（學(xué)生回答）這就是簡單的利用了平行四邊形的對角相等的性質(zhì)，∠A+∠B=180°，由此來計算其他三個角的度數(shù)。平行四邊形中知道一個角就可以求出另外三個角的度數(shù)。例1的講解。學(xué)習(xí)了平行四邊形之后，我們來看另外一個問題，若a // b，作 DA // HG ，分別交 b于D、H，交 a于A、G。則線段DA與HG有什么關(guān)系？（學(xué)生回答）由平行四邊形的對邊相等可知，DA=HG，同樣的，再畫一條平行線之后，得到同樣的結(jié)論。由此，我們知道，兩條平行線之間的平行線段相等。若a // b，DA、GH、CB垂直于 a，交a于A、G、B，交 b于D、H、C。則線段同樣相等。在這里，我們看到，是點到直線的距離。由此，我們介紹這樣的概念：兩條平行線中，一條直線上任意一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線之間的距離。兩條平行線之間的距離相等。【練習(xí)】1、已知一點到兩條平行線的距離分別是1cm，4cm，則這兩條平行線之間距離是         3或5      cm。3、平行四邊形性質(zhì)2研究了平行四邊形的對邊與對角的關(guān)系之后，我們再來看它的另外一個——對角線的性質(zhì)。探究：如圖，在□ ABCD中，連接AC，BD，并設(shè)它們相交于點O。OA與OC，OB與OD有什么關(guān)系？大家來看這個圖形，把兩張完全相同的平行四邊形紙片疊合在一起,在它們的中心O 釘一個圖釘，將一個平行四邊形繞O旋轉(zhuǎn)180°，你發(fā)現(xiàn)了什么？課件展示。從剛剛的實驗中，我們發(fā)現(xiàn)，旋轉(zhuǎn)之后，兩個圖形是完全重合的，也就是說我們的猜想是正確的。你能證明這個猜想嗎？課件展示證明過程。由此，我們得到平行四邊形的性質(zhì)定理2：平行四邊形的對角線互相平分。【典題精講】1、如圖，平行四邊形ABCD中，AC=AB，求證：∠ABD=∠DAC。解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AC=2AO，AD∥BC，∵AC=AB，∴AO= AB，∴ =，∵ = = ，∴＝ ，∵∠CAB=∠CAB，∴△AOB∽△ABC，∴∠ABD=∠ACB，∵AD∥BC，∴∠ACB=∠DAC，∴∠ABD=∠DAC2、如圖，在?ABCD中，AE是∠BAD的平分線交DC于點E，求證：CE+BC=AB。解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，AB=CD，AB∥CD，∴∠DEA=∠EAB，∵AE是∠BAD的平分線，∴∠DAE=∠EAB，∴∠DAE=∠DEA，∴DE=AD，∴DC=AD+CE，∴AB=CE+BC，即CE+BC=AB．【知識鞏固】1、在平行四邊形ABCD中，∠A+∠C=140°，那么∠A=   70°  ，∠D=    110°  。2、如圖，在□ABCD中，E，F分別是DC，BA延長線上的點，且AE∥CF，AE，CF分別交BC，AD于點G，H，求證：EG=FH。解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，∵AE∥CF，∴四邊形AECF與四邊形AGCH是平行四邊形，∴AE=CF，AG=CH，∴AG-AE=CH-CF，∴EG=FH3、平行四邊形的兩鄰邊的比是2：5，周長為28cm，求平行四邊形的各邊的長．解：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知：鄰邊之和為周長的一半，設(shè)較短的邊為2x，則較長的為5x，∴2x+5x=14，∴x=2，∴5x=5×2=10，2x=2×2=4，∴平行四邊形的各邊的長分別為10cm、4cm、10cm、4cm．4、如圖，在□ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，BD=2AB，E是OA的中點．求證：BE⊥AC。解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BD=2OB，∵BD=2AB，∴OB=AB，又∵E為OA的中點，∴BE⊥AC．    5、如圖，平行四邊形ABCD中，AC=AB，求證：∠ABD=∠DAC。解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AC=2AO，AD∥BC，∵AC=AB，∴AO= AB，∴ =，∵ = = ，∴＝ ，∵∠CAB=∠CAB，∴△AOB∽△ABC，∴∠ABD=∠ACB，∵AD∥BC，∴∠ACB=∠DAC，∴∠ABD=∠DAC 【達(dá)標(biāo)檢測】1、如圖，在□ABCD中，CE⊥AB，E為垂足，如果∠BCE=35°，則∠D的度數(shù)為（　A　）A．55° B．35° C．25° D．30°2、在平行四邊形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可能是（　D?。?/span>A．1：2：3：4         B．1：2：2：1 C．2：2：1：1         D．2：1：2：13、如圖，平行四邊形ABCD中，AB=6，BC=8，AC的垂直平分線交AD于E，則三角形CDE的周長是（　C?。?/span>A．6 B．8 C．14 D．16．4、如圖，在□ABCD中，AE是∠BAD的平分線交DC于點E，求證：CE+BC=AB。解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，AB=CD，AB∥CD，∴∠DEA=∠EAB，∵AE是∠BAD的平分線，∴∠DAE=∠EAB，∴∠DAE=∠DEA，∴DE=AD，∴DC=AD+CE，∴AB=CE+BC，即CE+BC=AB。【拓展提升】1、已知如圖，E、F為□ABCD的對角線AC所在直線上的兩點，AE=CF，求證：BE=DF．（用兩種方法證明）解：方法①：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC，AB=DC。∴∠BAC=∠DCA。∴∠BAE=∠DCF，在△ABE和△CDF中，AE＝CF  ；∠BAE＝∠DCF；AB＝CD ，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴BE=DF。方法②：連接DE、BF，連接BD交AC于O，如圖所示：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD，∵AE=CF，∴OE=OF，∴四邊形BFDE是平行四邊形，∴BE=DF。2、求證：平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和。證明：作AE⊥BC于點E，DF⊥BC交BC的延長線于F，則∠AEB=∠DFC=90°．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=DC，AB∥CD，∴∠ABE=∠DCF，∴△ABE≌△DCF，∴AE=DF，BE=CF．在Rt△ACE和Rt△BDF中，由勾股定理，得AC2=AE2+EC2=AE2+（BC-BE）2，BD2=DF2+BF2=DF2+（BC+CF）2=AE2+（BC+BE）2，∴AC2+BD2=2AE2+2BC2+2BE2=2（AE2+BE2）+2BC2．又∵AE2+BE2=AB2，即：AC2+BD2=2（AB2+BC2）．∵AB=CD，AD=BC，∴AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+AD2【課堂總結(jié)】1、平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。2、平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對邊相等。平行四邊形的對角相等。平行四邊形的對角線互相平分。【教學(xué)反思】平行四邊形的性質(zhì)是本節(jié)課的重點，而探究性質(zhì)更是本節(jié)課的難點，所以在這個環(huán)節(jié)里我需要把難點擊破，那就需要學(xué)生進行配合，教學(xué)相長。實踐出真知！我通過小組合作的方式讓學(xué)生自己動手操作，結(jié)合“想一想、量一量、拼一拼”等過程，尤其是對兩個全等三角形進行拼湊成平行四邊形，使他們實際操作中驗證性質(zhì)的成立并能從中體會性質(zhì)的證明思路。通過小組間的合作交流學(xué)習(xí)，進行有的放矢的探究活動，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為我們熟知的三角形，由已知探未知，從中形成科學(xué)的“猜想——驗證——實驗”的解題思路，養(yǎng)成科學(xué)的學(xué)習(xí)習(xí)慣。這是從感性認(rèn)識到理性認(rèn)識的一個飛躍過程。 

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18.1.1 平行四邊形的性質(zhì)

版本： 人教版

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