考點(diǎn)17解直角三角形考點(diǎn)總結(jié)知識(shí)點(diǎn)一：銳角三角函數(shù)的定義             關(guān)鍵點(diǎn)撥與對(duì)應(yīng)舉例1.銳角三角函數(shù)正弦:  sinA＝＝余弦:  cosA＝＝正切:  tanA＝＝. 根據(jù)定義求三角函數(shù)值時(shí)，一定根據(jù)題目圖形來(lái)理解，嚴(yán)格按照三角函數(shù)的定義求解，有時(shí)需要通過(guò)輔助線來(lái)構(gòu)造直角三角形.2.特殊角的三角函數(shù)值      度數(shù)三角函數(shù)30°45°60°sinAcosAtanA1知識(shí)點(diǎn)二  ：解直角三角形3.解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過(guò)程叫做解直角三角形．科學(xué)選擇解直角三角形的方法口訣：已知斜邊求直邊，正弦、余弦很方便；已知直邊求直邊，理所當(dāng)然用正切；已知兩邊求一邊，勾股定理最方便；已知兩邊求一角，函數(shù)關(guān)系要記牢；已知銳角求銳角，互余關(guān)系不能少；已知直邊求斜邊，用除還需正余弦.例：在Rt△ABC中，已知a=5,sinA=30°，則c=10,b=5.4.解直角三角形的常用關(guān)系(1)三邊之間的關(guān)系：a2＋b2＝c2； (2)銳角之間的關(guān)系：∠A＋∠B＝90°；(3)邊角之間的關(guān)系：sinA＝=cosB=，cosA＝sinB=，tanA＝.知識(shí)點(diǎn)三 ：解直角三角形的應(yīng)用5.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角(1)仰、俯角：視線在水平線上方的角叫做仰角.視線在水平線下方的角叫做俯角．（如圖①）(2)坡度：坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示． 坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用α表示，則有i＝tanα. （如圖②）(3)方向角：平面上，通過(guò)觀察點(diǎn)Ο作一條水平線(向右為東向)和一條鉛垂線(向上為北向)，則從點(diǎn)O出發(fā)的視線與水平線或鉛垂線所夾的角，叫做觀測(cè)的方向角．（如圖③）解直角三角形中“雙直角三角形”的基本模型：（1）          疊合式  （2）背靠式解題方法：這兩種模型種都有一條公共的直角邊，解題時(shí)，往往通過(guò)這條邊為中介在兩個(gè)三角形中依次求邊，或通過(guò)公共邊相等，列方程求解.6.解直角三角形實(shí)際應(yīng)用的一般步驟(1)弄清題中名詞、術(shù)語(yǔ)，根據(jù)題意畫出圖形，建立數(shù)學(xué)模型；(2)將條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題；(3)選擇合適的邊角關(guān)系式，使運(yùn)算簡(jiǎn)便、準(zhǔn)確；(4)得出數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案并檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義，從而得到問(wèn)題的解． 真題演練 一、單選題1．（2021·山東青島·中考真題）如圖，在四邊形紙片中，，，．將紙片折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，折痕為．若，則的長(zhǎng)為（    ）A．5 B． C． D．【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)A作 于H，由折疊知識(shí)得： ，再由銳角三角函數(shù)可得，然后根據(jù)，可證得四邊形AHFG是矩形，即可求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作 于H，由折疊知：BF=GF，∠BFE=∠GFE，， ，在 中，，， ，， ， ， 四邊形AHFG是矩形， ， ．故選：C．2．（2021·山東濟(jì)南·中考真題）無(wú)人機(jī)低空遙感技術(shù)已廣泛應(yīng)用于農(nóng)作物監(jiān)測(cè)．如圖，某農(nóng)業(yè)特色品牌示范基地用無(wú)人機(jī)對(duì)一塊試驗(yàn)田進(jìn)行監(jiān)測(cè)作業(yè)時(shí)，在距地面高度為的處測(cè)得試驗(yàn)田右側(cè)出界處俯角為，無(wú)人機(jī)垂直下降至處，又測(cè)得試驗(yàn)田左側(cè)邊界處俯角為，則，之間的距離為（參考數(shù)據(jù)：，，，，結(jié)果保留整數(shù)）（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意易得OA⊥MN，∠N=43°，∠M=35°，OA=135m，AB=40m，然后根據(jù)三角函數(shù)可進(jìn)行求解．【詳解】解：由題意得：OA⊥MN，∠N=43°，∠M=35°，OA=135m，AB=40m，∴，∴，，∴；故選C．3．（2021·山東日照·中考真題）如圖，在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，小明同學(xué)要測(cè)量一座與地面垂直的古塔的高度，他從古塔底部點(diǎn)處前行到達(dá)斜坡的底部點(diǎn)處，然后沿斜坡前行到達(dá)最佳測(cè)量點(diǎn)處，在點(diǎn)處測(cè)得塔頂的仰角為，已知斜坡的斜面坡度，且點(diǎn)，，，，在同一平面內(nèi)，小明同學(xué)測(cè)得古塔的高度是（　?。?/span>A． B． C． D．【答案】A【分析】過(guò)作于，于，得到，，設(shè)，，根據(jù)勾股定理得到，求得，，，于是得到結(jié)論．【詳解】解：過(guò)作于，于，，，斜坡的斜面坡度，，設(shè)，，，，，，，，，，故選：A．4．（2021·山東濱州·中考真題）如圖，是的外接圓，CD是的直徑．若，弦，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接AD，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角等于90°和勾股定理，可以求得AD的長(zhǎng)，然后即可求得∠ADC的余弦值，再根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，可以得到∠ABC=∠ADC，從而可以得到cos∠ABC的值．【詳解】解：連接AD，如右圖所示，∵CD是⊙O的直徑，CD=10，弦AC=6，∴∠DAC=90°，∴AD==8，∴cos∠ADC==，∵∠ABC=∠ADC，∴cos∠ABC的值為，故選：A．5．（2021·山東淄博·中考真題）如圖，在中，是斜邊上的中線，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．若的面積為5，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意易得，設(shè)，則有，則有，，然后可得，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)及勾股定理可求解問(wèn)題．【詳解】解：∵，，∴，∴，∵是斜邊上的中線，∴，設(shè)，則有，∵，∴由勾股定理可得，∵的面積為5，∴，∵，∴，即，化簡(jiǎn)得：，解得：或，當(dāng)時(shí)，則AC=2，與題意矛盾，舍去；∴當(dāng)時(shí)，即，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，如圖所示：∴，，，∴，，∴，∴，∴；故選A．6．（2021·山東威海·中考真題）若用我們數(shù)學(xué)課本上采用的科學(xué)計(jì)算器計(jì)算sin3618＇，按鍵順序正確的是（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)計(jì)算器按鍵順序計(jì)算即可．【詳解】解：根據(jù)計(jì)算器的按鍵順序可知，正確的按鍵順序?yàn)?/span>D選項(xiàng)，故選：D．7．（2021·山東威海·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，，，點(diǎn)P，Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，點(diǎn)P以1cm/s的速度沿A﹣C﹣D的方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以2cm/s的速度沿A﹣B﹣C﹣D的方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)D點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s），的面積為y（cm2），則下列圖象中能大致反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】先證明∠CAB=∠ACB=∠ACD=60°，再分0≤x≤1、1＜x≤2、2＜x≤3三種情況畫出圖形，求出函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)、一次函數(shù)圖象與性質(zhì)逐項(xiàng)排除即可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，∴△ABC，ACD都是等邊三角形，∴∠CAB=∠ACB=∠ACD=60°．如圖1，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，AQ=2x，AP=x，作PE⊥AB于E，∴，∴，故D選項(xiàng)不正確；如圖2，當(dāng)1＜x≤2時(shí)，CP=2-x，CQ=4-2x，BQ=2x-2，作PF⊥BC與F，作QH⊥AB于H，∴，，∴，故B選項(xiàng)不正確；當(dāng)2＜x≤3時(shí)，CP=x-2，CQ=2x-4，∴PQ=x-2，作AG⊥CD于G，∴，∴，故C不正確．故選：A8．（2021·山東東營(yíng)·中考真題）如圖，在中，，，，若用科學(xué)計(jì)算器求AC的長(zhǎng)，則下列按鍵順序正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)正切函數(shù)的定義，可得，根據(jù)計(jì)算器的應(yīng)用，可得答案．【詳解】解：由，得：，故選：D．9．（2021·山東泰安·中考真題）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，，，，，則的長(zhǎng)為（   ）A． B． C． D．2【答案】C【分析】如圖，延長(zhǎng)AD，BC，二線交于點(diǎn)E，可求得∠E=30°，在Rt△CDE中，利用tan30°計(jì)算DE，在Rt△ABE中，利用sin30°計(jì)算AE，根據(jù)AD=AE-DE求解即可；【詳解】如圖，延長(zhǎng)AD，BC，二線交于點(diǎn)E，∵∠B=90°，∠BCD=120°，∴∠A=60°，∠E=30°，∠ADC=90°，∴∠ADC=∠EDC= 90°，在Rt△CDE中，tan30°=，∴DE==，在Rt△ABE中，sin30°=，∴AB==4，∴AD=AE-DE=,故選C10．（2021·山東泰安·中考真題）如圖，在中，，以點(diǎn)A為圓心，3為半徑的圓與邊相切于點(diǎn)D，與，分別交于點(diǎn)E和點(diǎn)G，點(diǎn)F是優(yōu)弧上一點(diǎn)，，則的度數(shù)是（   ）A．50° B．48° C．45° D．36°【答案】B【分析】連接AD，由切線性質(zhì)可得∠ADB=∠ADC=90°，根據(jù)AB=2AD及銳角的三角函數(shù)可求得∠BAD=60°，易求得∠ADE=72°，由AD=AE可求得∠DAE=36°，則∠GAC=96°，根據(jù)圓周角定理即可求得∠GFE的度數(shù)．【詳解】解：連接AD，則AD=AG=3，∵BC與圓A相切于點(diǎn)D，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ADB中，AB=6，則cos∠BAD==，∴∠BAD=60°，∵∠CDE=18°，∴∠ADE=90°﹣18°=72°，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=72°，∴∠DAE=180°﹣2×72°=36°，∴∠GAC=36°+60°=96°，∴∠GFE=∠GAC=48°，故選：B． 二、填空題11．（2021·山東濱州·中考真題）如圖，在中，，，．若點(diǎn)P是內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值為____________．【答案】【分析】根據(jù)題意，首先以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△APB到△AP′B′，旋轉(zhuǎn)角是60°，作出圖形，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，可以得到PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可以得到PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，然后根據(jù)勾股定理可以求得CB′的值，從而可以解答本題．【詳解】解：以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△APB到△AP′B′，旋轉(zhuǎn)角是60°，連接BB′、PP′，，如圖所示，則∠PAP′=60°，AP=AP′，PB=P′B′，∴△APP′是等邊三角形，∴AP=PP′，∴PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC，∵PP′+P′B′+PC≥CB′，∴PP′+P′B′+PC的最小值就是CB′的值，即PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，∵∠BAC=30°，∠BAB′=60°，AB==2，∴∠CAB′=90°，AB′=2，AC=AB?cos∠BAC=2×cos30°=，∴CB′=，故答案為：．12．（2021·山東淄博·中考真題）兩張寬為的紙條交叉重疊成四邊形，如圖所示．若，則對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)到三點(diǎn)距離之和的最小值是__________．【答案】【分析】由題意易得四邊形是菱形，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，連接AC，交BD于點(diǎn)O，易得，，然后根據(jù)勾股定理可得，則，，進(jìn)而可得，要使為最小，即的值為最小，則可過(guò)點(diǎn)A作AM⊥AP，且使，連接BM，最后根據(jù)“胡不歸”問(wèn)題可求解．【詳解】解：∵紙條的對(duì)邊平行，即，∴四邊形是平行四邊形，∵兩張紙條的寬度都為，∴，∴，∴四邊形是菱形，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，連接AC，交BD于點(diǎn)O，如圖所示：∴，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴，，∴，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥AP，且使，連接BM，如圖所示：∴，要使的值為最小，則需滿足為最小，根據(jù)三角不等關(guān)系可得：，所以當(dāng)B、P、M三點(diǎn)共線時(shí)，取最小，即為BM的長(zhǎng)，如圖所示：∴，∴，∴的最小值為，即的最小值為；故答案為．13．（2021·山東濟(jì)寧·中考真題）如圖，中，，，，點(diǎn)O為的中點(diǎn)，以O為圓心，以為半徑作半圓，交于點(diǎn)D，則圖中陰影部分的面積是____．
 【答案】【分析】根據(jù)題意，作出合適的輔助線，即可求得DE的長(zhǎng)、的度數(shù)，然后根據(jù)圖形可知陰影部分的面積是的面積減去的面積和扇形的面積，從而可以解答本題．【詳解】解：連接OD，過(guò)點(diǎn)D作于E，
在中，∴，，∴，∴，∵，∴，∴陰影部分的面積是：，故答案為：．14．（2021·山東威海·中考真題）如圖，先將矩形紙片ABCD沿EF折疊（AB邊與DE在CF的異側(cè)），AE交CF于點(diǎn)G；再將紙片折疊，使CG與AE在同一條直線上，折痕為GH．若，紙片寬，則HE＝__________cm．【答案】【分析】根據(jù)題意，證明四邊形是平行四邊形，運(yùn)用的正弦和余弦的關(guān)系，求出HE．【詳解】如圖，分別過(guò)作， 垂足分別為則根據(jù)題意，，因?yàn)檎郫B，則四邊形ABCD是矩形同理四邊形是平行四邊形，中，故答案為：．15．（2021·山東東營(yíng)·中考真題）如圖，正方形中，，AB與直線l所夾銳角為，延長(zhǎng)交直線l于點(diǎn)，作正方形，延長(zhǎng)交直線l于點(diǎn)，作正方形，延長(zhǎng)交直線l于點(diǎn)，作正方形，…，依此規(guī)律，則線段________．【答案】【分析】利用tan30°計(jì)算出30°角所對(duì)直角邊，乘以2得到斜邊，計(jì)算3次，找出其中的規(guī)律即可.【詳解】∵AB與直線l所夾銳角為，正方形中，，∴∠=30°，∴=tan30°==1，∴；∵=1，∠=30°，∴=tan30°=，∴；∴線段,故答案為：. 三、解答題16．（2021·山東青島·中考真題）某校數(shù)學(xué)社團(tuán)開(kāi)展“探索生活中的數(shù)學(xué)”研學(xué)活動(dòng)，準(zhǔn)備測(cè)量一棟大樓的高度．如圖所示，其中觀景平臺(tái)斜坡的長(zhǎng)是20米，坡角為，斜坡底部與大樓底端的距離為74米，與地面垂直的路燈的高度是3米，從樓頂測(cè)得路燈項(xiàng)端處的俯角是．試求大樓的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【答案】96米【分析】延長(zhǎng)AE交CD延長(zhǎng)線于M，過(guò)A作AN⊥BC于N，則四邊形AMCN是矩形，得NC=AM，AN=MC，由銳角三角函數(shù)定義求出EM、DM的長(zhǎng)，得出AN的長(zhǎng)，然后由銳角三角函數(shù)求出BN的長(zhǎng)，即可求解．【詳解】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，由題意得，，∴四邊形為矩形，∴，.在中，，∴，，∴，，∴，∴.在中，，∴，∴，∴，∴.答：大樓的高度約為96米.17．（2021·山東濟(jì)南·中考真題）已知：如圖，是的直徑，，是上兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，連接，．（1）求證：；（2）若，，求的半徑．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)，已知條件可得，進(jìn)而根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)圓周角定理可得，等量代換即可得證；（2）連接，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，可得，進(jìn)而根據(jù)正切值以及已知條件可得的長(zhǎng)，勾股定理即可求得，進(jìn)而即可求得圓的半徑．【詳解】（1）連接，如圖，是的切線，，，，，，，．（2）連接是的直徑，，，，，，，，，．即的半徑為．18．（2021·山東濟(jì)南·中考真題）計(jì)算：．【答案】6【分析】根據(jù)負(fù)指數(shù)冪、零次冪及三角函數(shù)值可進(jìn)行求解．【詳解】解：原式=．

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