?考點15等腰、等邊及直角三角形
考點總結
知識點一：等腰和等邊三角形
關鍵點撥與對應舉例
1.等腰三角形
（1）性質
①等邊對等角：兩腰相等，底角相等，即AB＝AC∠B＝∠C；
②三線合一：頂角的平分線、底邊上的中線和底邊上的高
互相重合;
③對稱性：等腰三角形是軸對稱圖形，直線AD是對稱軸.
（2）判定
①定義：有兩邊相等的三角形是等腰三角形；
②等角對等邊：即若∠B＝∠C，則△ABC是等腰三角形.
（1）三角形中“垂線、角平分線、中線、等腰”四個條件中，只要滿足其中兩個，其余均成立. 如：如左圖，已知AD⊥BC,D為BC的中點，則三角形的形狀是等腰三角形.
失分點警示：當等腰三角形的腰和底不明確時，需分類討論. 如若等腰三角形ABC的一個內角為30°，則另外兩個角的度數為30°、120°或75°、75°.
2.等邊三角形
（1）性質
①邊角關系：三邊相等，三角都相等且都等于60°.
即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；
②對稱性：等邊三角形是軸對稱圖形，三條高線(或角平分線或中線)所在的直線是對稱軸.
（2）判定
①定義：三邊都相等的三角形是等邊三角形；
②三個角都相等（均為60°）的三角形是等邊三角形；
③任一內角為60°的等腰三角形是等邊三角形.即若AB＝AC，且∠B＝60°，則△ABC是等邊三角形.
（1）等邊三角形是特殊的等腰三角形，所以等邊三角形也滿足“三線合一”的性質.
（2）等邊三角形有一個特殊的角60°，所以當等邊三角形出現(xiàn)高時，會結合直角三角形30°角的性質，即BD=1/2AB.
例：△ABC中，∠B=60°，AB=AC，BC=3，則△ABC的周長為9.
知識點二 ：角平分線和垂直平分線
3.角平分線
（1）性質：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等．即若
∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，則PA＝PB.
（2）判定：角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的角平
分線上．
例：如圖，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分線交AC于D，交AB于E，CD=2，則AC=6.
4.垂直平分線圖形
（1）性質：線段的垂直平分線上的點到這條線段的兩端點距離相等．即若OP垂直且平分AB，則PA＝PB.
（2）判定：到一條線段兩端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上．
知識點三：直角三角形的判定與性質
5.直角三角形的性質
(1)兩銳角互余.即∠A＋∠B＝90°；
(2) 30°角所對的直角邊等于斜邊的一半.即若∠B＝30°則AC＝AB；
(3) 斜邊上的中線長等于斜邊長的一半．即若CD是中線，則CD＝AB.
(4) 勾股定理：兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方．即 a2＋b2＝c2 .
（1）直角三角形的面積S=1/2ch=1/2ab(其中a,b為直角邊，c為斜邊，h是斜邊上的高)，可以利用這一公式借助面積這個中間量解決與高相關的求長度問題.
（2）已知兩邊，利用勾股定理求長度，若斜邊不明確，應分類討論.
（3）在折疊問題中，求長度，往往需要結合勾股定理來列方程解決.

6.直角三角形的判定
(1) 有一個角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90°，則△ABC是Rt△；
(2) 如果三角形一條邊的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形．即若AD＝BD＝CD，則△ABC是Rt△
(3) 勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，則△ABC是Rt△.

真題演練

一、單選題
1．（2021·山東濟南·中考真題）如圖，在中，，，以點為圓心，以的長為半徑作弧交于點，連接，再分別以點，為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點，作射線交于點，連接，則下列結論中不正確的是（ ）


A． B．垂直平分線段
C． D．
【答案】C
【分析】
由題中作圖方法易證AP為線段BD的垂直平分線，點E在AP上，所以BE=DE，再根據，，得到是等邊三角形，由“三線合一”得AP平分，則，,且角所對的直角邊等于斜邊的一半，故，所以DE垂直平分線段，證明可得即可得到結論．
【詳解】
由題意可得：，點P在線段BD的垂直平分線上
，點A在線段BD的垂直平分線上
AP為線段BD的垂直平分線
點E在AP上，BE=DE，故A正確；
，，
且
為等邊三角形且
，
平分
，
，
垂直平分，故B正確；
，，
，
，
，故C錯誤；
，
，
，故D正確
故選C．
2．（2021·山東濱州·中考真題）在銳角中，分別以AB和AC為斜邊向的外側作等腰和等腰，點D、E、F分別為邊AB、AC、BC的中點，連接MD、MF、FE、FN．根據題意小明同學畫出草圖（如圖所示），并得出下列結論：①，②，③，④，其中結論正確的個數為（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】
根據直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半和三角形中位線定理判斷結論①，連接DF，EN，通過SAS定理證明△MDF≌△FEN判斷結論②，利用全等三角形的性質結合平行四邊形的判定和性質判斷結論③，利用相似三角形的判定和性質判定結論④．
【詳解】
解：∵D、E、F分別為邊AB、AC、BC的中點，且△ABM是等腰直角三角形，
∴DM=AB，EF=AB，EF∥AB，∠MDB=90°，
∴DM=EF，∠FEC=∠BAC，故結論①正確；
連接DF，EN，

∵D、E、F分別為邊AB、AC、BC的中點，且△ACN是等腰直角三角形，
∴EN=AC，DF=AC，DF∥AC，∠NEC=90°，
∴EN=DF，∠BDF=∠BAC，∠BDF=∠FEC，
∴∠BDF+∠MDB=∠FEC+∠NEC，
∴∠MDF=∠FEN，
在△MDF和△FEN中，
，
∴△MDF≌△FEN（SAS），
∴∠DMF=∠EFN，故結論②正確；
∵EF∥AB，DF∥AC，
∴四邊形ADFE是平行四邊形，
∴∠DFE=∠BAC，
?又∵△MDF≌△FEN，
∴∠DFM=∠ENF，
∴∠EFN+∠DFM
=∠EFN+∠ENF
=180°-∠FEN
=180°-（∠FEC+∠NEC）
=180°-（∠BAC+90°）
=90°-∠BAC，
∴∠MFN=∠DFE+∠EFN+∠DFM=∠BAC+90°-∠BAC=90°，
∴MF⊥FN，故結論③正確；
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴，
∴，
∴S△CEF=S四邊形ABFE，故結論④錯誤，
∴正確的結論為①②③，共3個，
故選：B．
3．（2021·山東濟寧·中考真題）如圖，已知．
（1）以點A為圓心，以適當長為半徑畫弧，交于點M，交于點N．
（2）分別以M，N為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧在的內部相交于點P．
（3）作射線交于點D．
（4）分別以A，D為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于G，H兩點．
（5）作直線，交，分別于點E，F(xiàn)．
依據以上作圖，若，，，則的長是（ ）

A． B．1 C． D．4
【答案】C
【分析】
連接，則，根據相似三角形對應邊成比例即可得出結果
【詳解】
如圖，連接
垂直平分
,
平分





同理可知
四邊形是平行四邊形
又
平行四邊形是菱形



又


，

解得：

故選C
4．（2021·山東威海·中考真題）如圖，在和中，，，．連接CD，連接BE并延長交AC，AD于點F，G．若BE恰好平分，則下列結論錯誤的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根據即可證明，再利用全等三角形的性質以及等腰三角形的性質，結合相似三角形的判定和性質，即可一一判斷
【詳解】



，故選項A正確；


平分




，故選項B正確；



即
，故選項C錯誤；







，故選項D正確；
故答案選：C．
5．（2021·山東泰安·中考真題）如圖，在平行四邊形中，E是的中點，則下列四個結論：①；②若，，則；③若，則；④若，則與全等．其中正確結論的個數為（ ）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】D
【分析】
依次分析各選項，進行推理論證即可；其中①可通過證明，進一步轉換后可以得到結論，②可先得到該平行四邊形是矩形，利用矩形的性質等得到MN垂直平分BC，即可完成求證，③可以先證明兩個三角形的共線邊上的高的關系，再利用三角形面積公式即可完成證明，④可以先證明后可進一步證明，即可完成求證．
【詳解】
解：∵平行四邊形中，E是的中點，
∴，，，
∴,,
∴,
∴，
∴，
故①正確；
若，
則平行四邊形是矩形，
由矩形的對角線相等，而點E是矩形的對角線的交點可知，
E點到B、C兩點的距離相等，
∴E點在BC的垂直平分線上，
由，可得BN=CN，
所以N點是BC的中點，
∴MN垂直平分BC，
∴，
故②正確；
若，則BN=2CN，
如圖1，分別過D、E兩點向BC作垂線，垂足分別為Q點和P點，
∵E點是BD中點，
∴DQ=2EP，
∵，

∴，
故③正確；
若，
因為，
所以，
分別過N、C兩點向AD作垂線，垂足分別為H、K，
由平行線間的距離處處相等可知：NH=CK，
∴，
∴，
∴,
∴，
又∵，
∴,
故④正確；
故選：D．

6．（2021·山東棗莊·中考真題）如圖，四邊形是菱形，對角線，相交于點，，，點是上一動點，點是的中點，則的最小值為（ ）

A． B． C．3 D．
【答案】A
【分析】
連接，先根據兩點之間線段最短可得當點共線時，取得最小值，再根據菱形的性質、勾股定理可得，然后根據等邊三角形的判定與性質求出的長即可得．
【詳解】
解：如圖，連接，

由兩點之間線段最短得：當點共線時，取最小值，最小值為，
四邊形是菱形，，，
，
，
，
是等邊三角形，
點是的中點，
，
，
即的最小值為，
故選：A．
7．（2021·山東東營·中考真題）如圖，是邊長為1的等邊三角形，D、E為線段AC上兩動點，且，過點D、E分別作AB、BC的平行線相交于點F，分別交BC、AB于點H、G．現(xiàn)有以下結論：①；②當點D與點C重合時，；③；④當時，四邊形BHFG為菱形，其中正確結論為（ ）

A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．②③④
【答案】B
【分析】
過A作AI⊥BC垂足為I，然后計算△ABC的面積即可判定①；先畫出圖形，然后根據等邊三角形的性質和相似三角形的性質即可判定②；如圖將△BCD繞B點逆時針旋轉60°得到△ABN，求證NE=DE；再延長EA到P使AP=CD=AN，證得∠P=60°，NP=AP=CD，然后討論即可判定③；如圖1，當AE=CD時，根據題意求得CH=CD、AG=CH，再證明四邊形BHFG為平行四邊形，最后再說明是否為菱形．
【詳解】
解：如圖1, 過A作AI⊥BC垂足為I
∵是邊長為1的等邊三角形
∴∠BAC=∠ABC=∠C=60°，CI=
∴AI=
∴S△ABC=,故①正確；

如圖2，當D與C重合時
∵∠DBE=30°，是等邊三角形
∴∠DBE=∠ABE=30°
∴DE=AE=
∵GE//BD
∴
∴BG=
∵GF//BD,BG//DF
∴HF=BG=,故②正確；

如圖3，將△BCD繞B點逆時針旋轉60°得到△ABN
∴∠1=∠2，∠5=∠6=60°，AN=CD,BD=BN
∵∠3=30°
∴∠2+∠4=∠1+∠4=30°
∴∠NBE=∠3=30°
又∵BD=BN，BE=BE
∴△NBE≌△DBE（SAS）
∴NE=DE
延長EA到P使AP=CD=AN
∵∠NAP=180°-60°-60°=60°
∴△ANP為等邊三角形
∴∠P=60°，NP=AP=CD
如果AE+CD=DE成立，則PE=NE,需∠NEP=90°，但∠NEP不一定為90°，故③不成立；

如圖1，當AE=CD時，
∵GE//BC
∴∠AGE=∠ABC=60°，∠GEA=∠C=60°
∴∠AGE=∠AEG=60°，
∴AG=AE
同理：CH=CD
∴AG=CH
∵BG//FH,GF//BH
∴四邊形BHFG是平行四邊形
∵BG=BH
∴四邊形BHFG為菱形，故④正確．
故選B．
8．（2021·山東泰安·中考真題）如圖，在中，，以點A為圓心，3為半徑的圓與邊相切于點D，與，分別交于點E和點G，點F是優(yōu)弧上一點，，則的度數是（ ）

A．50° B．48° C．45° D．36°
【答案】B
【分析】
連接AD，由切線性質可得∠ADB=∠ADC=90°，根據AB=2AD及銳角的三角函數可求得∠BAD=60°，易求得∠ADE=72°，由AD=AE可求得∠DAE=36°，則∠GAC=96°，根據圓周角定理即可求得∠GFE的度數．
【詳解】
解：連接AD，則AD=AG=3，
∵BC與圓A相切于點D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ADB中，AB=6，則cos∠BAD==，
∴∠BAD=60°，
∵∠CDE=18°，
∴∠ADE=90°﹣18°=72°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=72°，
∴∠DAE=180°﹣2×72°=36°，
∴∠GAC=36°+60°=96°，
∴∠GFE=∠GAC=48°，
故選：B．

9．（2020·山東煙臺·中考真題）量角器測角度時擺放的位置如圖所示，在中，射線OC交邊AB于點D，則∠ADC的度數為（ ）

A．60° B．70° C．80° D．85°
【答案】C
【分析】
根據等腰三角形的性質，三角形的外角的性質即可得到結論．
【詳解】
解：∵OA＝OB，∠AOB＝140°，
∴∠A＝∠B＝(180°﹣140°)＝20°，
∵∠AOC＝60°，
∴∠ADC＝∠A+∠AOC＝20°+60°＝80°，
故選：C．
10．（2020·山東煙臺·中考真題）如圖，為等腰直角三角形，OA1＝1，以斜邊OA2為直角邊作等腰直角三角形OA2A3，再以OA3為直角邊作等腰直角三角形OA3A4，…，按此規(guī)律作下去，則OAn的長度為（ ）

A．（）n B．（）n﹣1 C．（）n D．（）n﹣1
【答案】B
【分析】
利用等腰直角三角形的性質以及勾股定理分別求出各邊長，依據規(guī)律即可得出答案．
【詳解】
解：∵△OA1A2為等腰直角三角形，OA1＝1，
∴OA2＝；
∵△OA2A3為等腰直角三角形，
∴OA3＝2＝；
∵△OA3A4為等腰直角三角形，
∴OA4＝2＝．
∵△OA4A5為等腰直角三角形，
∴OA5＝4＝，
……
∴OAn的長度為（）n﹣1，
故選：B．

二、填空題
11．（2021·山東濱州·中考真題）如圖，在中，點D是邊BC上的一點．若，，則∠C的大小為____________．

【答案】34°
【分析】
根據等腰三角形的性質和三角形內角和，可以先計算出∠ADB的度數，然后再根據AD=DC，∠ADB=∠C+∠DAC，即可得到∠C的度數．
【詳解】
解：∵AB=AD，
∴∠B=∠ADB，
∵∠BAD=44°，
∴∠ADB==68°，
∵AD=DC，∠ADB=∠C+∠DAC，
∴∠C=∠DAC=∠ADB=34°，
故答案為：34°．
12．（2021·山東威?！ぶ锌颊骖}）如圖，在中，，分別以點A，B為圓心，以大于長為半徑畫弧，兩弧交于點D，E．作直線DE，交BC于點M．分別以點A，C為圓心，以大于長為半徑畫弧，兩弧交于點F，G．作直線FG，交BC于點N．連接AM，AN．若，則____________．

【答案】2-180°
【分析】
先根據作圖可知DE和FG分別垂直平分AB和AC，再利用線段的垂直平分線的性質得到∠B＝∠BAM，∠C＝∠CAN，即可得到∠MAN的度數．
【詳解】
解：由作圖可知，DE和FG分別垂直平分AB和AC，
∴MB＝MA，NA＝NC，
∴∠B＝∠MAB，∠C＝∠NAC，
在△ABC中，，
∴∠B＋∠C＝180°?∠BAC＝180°?，
即∠MAB＋∠NAC＝180°?，
則∠MAN＝∠BAC?（∠MAB＋∠NAC）＝?（180°?）＝2-180°．
故答案是：2-180°．
13．（2021·山東棗莊·中考真題）如圖，，，點在上，四邊形是矩形，連接，交于點，連接交于點．下列4個判斷：①；②；③；④若點是線段的中點，則為等腰直角三角形，其中，判斷正確的是______．（填序號）

【答案】①③④
【分析】
先根據矩形的性質可得，再根據等腰三角形的三線合一可判斷①；先根據等腰三角形的性質可得，再根據等腰直角三角形的判定與性質可得，然后根據角的和差即可判斷②；先證出，從而可得，再設，從而可得，由此即可判斷③；先證出，從而可得，再根據等腰三角形的定義可得為等腰三角形，然后根據角的和差可得，由此即可得判斷④．
【詳解】
解：四邊形是矩形，
，
，
（等腰三角形的三線合一），則①正確；
，
，
又，
是等腰直角三角形，
，
，則②錯誤；
，
（等腰三角形的三線合一），
在和中，，
，
，
設，
，
，
，
，
，則③正確；
，
，
點是線段的中點，
，
在和中，，
，
，
為等腰三角形，
，
，即，
為等腰直角三角形，則④正確；
綜上，判斷正確的是①③④，
故答案為：①③④．

14．（2021·山東濟南·中考真題）如圖，一個由8個正方形組成的“”型模板恰好完全放入一個矩形框內，模板四周的直角頂點，，，，都在矩形的邊上，若8個小正方形的面積均為1，則邊的長為__________．

【答案】
【分析】
如圖，延長交于點，連接，根據題意求得的長，設，先證明，再證明，，分別求出矩形的四邊，根據矩形對邊相等列方程組求得的值，進而求得的值．
【詳解】
小正方形的面積為1，則小正方形的邊長為，
如圖，延長交于點，連接，

，，
四邊形是正方形，
，
，

設，
四邊形是矩形，
，
，
，
，
，，
，
，，
，














即①

②
聯(lián)立
解得

故答案為：
15．（2021·山東日照·中考真題）如圖，在矩形中，，，點從點出發(fā)，以的速度沿邊向點運動，到達點停止，同時，點從點出發(fā)，以的速度沿邊向點運動，到達點停止，規(guī)定其中一個動點停止運動時，另一個動點也隨之停止運動．當為_____時，與全等．

【答案】2或
【分析】
可分兩種情況：①得到，，②得到，，然后分別計算出的值，進而得到的值．
【詳解】
解：①當，時，，
，
，
，
，解得：，
，
，
解得：；
②當，時，，
，
，
，解得：，
，
，
解得：，
綜上所述，當或時，與全等，
故答案為：2或．

三、解答題
16．（2021·山東青島·中考真題）已知：及其一邊上的兩點，．
求作：，使，且點在內部，．

【答案】見解析
【分析】
先在∠O的內部作∠DAB=∠O，再過B點作AD的垂線，垂足為C點．
【詳解】
解：如圖，Rt△ABC為所作．

17．（2021·山東青島·中考真題）如圖，在中，為邊的中點，連接并延長，交的延長線于點，延長至點，使，分別連接，，．

（1）求證：；
（2）當平分時，四邊形是什么特殊四邊形？請說明理由．
【答案】（1）見解析；（2）矩形，見解析
【分析】
（1）利用平行四邊形的性質證明，利用中點的性質證明，結合對頂角相等，從而可得結論；
（2）先證明 結合 證明四邊形是平行四邊形，再利用等腰三角形的性質證明 從而可得結論.
【詳解】
（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，∴
又∵為邊的中點，
∴
∵，，，
∴
（2）答：四邊形是矩形，理由如下：
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形.
∵平分，
∴.
又∵，
∴，
∴
又∵，
∴，
∴，
∴是矩形
18．（2021·山東威?！ぶ锌颊骖}）（1）已知，如圖①擺放，點B，C，D在同一條直線上，，．連接BE，過點A作，垂足為點F，直線AF交BE于點G．求證：．
（2）已知，如圖②擺放，，．連接BE，CD，過點A作，垂足為點F，直線AF交CD于點G．求的值．

【答案】（1）見解析；（2）1
【分析】
（1）作于H，根據題意證明，然后再證明，即可證明結論；
（2）作于M，CN垂直AG于N，根據題意證明，再證明，從而得出和的數量關系，最后證明，即可得出結論．
【詳解】
解：（1）如圖，作于H，


根據題意可知為等腰直角三角形，
∴，
∵
∴，
在和中，
,
∴
∴，
∵為等腰三角形，，
∴，
∴，
在和中：
，
∴，
∴；
（2）作于M，CN垂直AG于N，

∵，
∴，
∵,
∵
∴，
∴，即，
同理可證，
∴，即，
∴，
在和中：
，
∴，
∴，
即．

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