?考點18多邊形與平行四邊形
考點總結
知識點一：多邊形
關鍵點撥與對應舉例
1.多邊形的相關概念
（1）定義：在平面內，由一些段線首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形．
（2）對角線：從n邊形的一個頂點可以引(n－3)條對角線，并且這些對角線把多邊形分成了(n－2)個三角形；n邊形對角線條數為．
多邊形中求度數時，靈活選擇公式求度數，解決多邊形內角和問題時，多數列方程求解.
例：
(1)若一個多邊形的內角和為1440°，則這個多邊形的邊數為10．
(2)從多邊形的一個頂點出發(fā)引對角線，可以把這個多邊形分割成7個三角形，則該多邊形為九邊形．
2.多邊形的內角和、外角和
( 1 ) 內角和：n邊形內角和公式為(n－2)·180°

（2）外角和：任意多邊形的外角和為360°.

3.正多邊形
（1）定義：各邊相等，各角也相等的多邊形.
（2）正n邊形的每個內角為，每一個外角為360°/n.
( 3 ) 正n邊形有n條對稱軸.
（4）對于正n邊形，當n為奇數時，是軸對稱圖形；當n為偶數時，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.
知識點二 ：平行四邊形的性質
4.平行四邊形的定義
兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形，平行四邊形用“□”表示.
利用平行四邊形的性質解題時的一些常用到的結論和方法：
（1）平行四邊形相鄰兩邊之和等于周長的一半.
（2）平行四邊形中有相等的邊、角和平行關系，所以經常需結合三角形全等來解題.
（3）過平行四邊形對稱中心的任一直線等分平行四邊形的面積及周長.
例：
如圖，□ABCD中，EF過對角線的交點O，AB=4，AD=3，OF=1.3，則四邊形BCEF的周長為9.6.

5.平行四邊形的性質
（1） 邊：兩組對邊分別平行且相等.
即AB∥CD 且AB＝CD，BC∥AD且AD＝BC.
（2）角：對角相等，鄰角互補.
即∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，
∠ABC＋∠BCD＝180°，∠BAD＋∠ADC＝180°.
（3）對角線：互相平分.即OA＝OC，OB＝OD
（4）對稱性：中心對稱但不是軸對稱.
6.平行四邊形中的幾個解題模型
（1）如圖①，AF平分∠BAD，則可利用平行線的性質結合等角對等邊得到△ABF為等腰三角形，即AB=BF.
（2）平行四邊形的一條對角線把其分為兩個全等的三角形，如圖②中△ABD≌△CDB；
兩條對角線把平行四邊形分為兩組全等的三角形，如圖②中△AOD≌△COB,△AOB≌△COD；
根據平行四邊形的中心對稱性，可得經過對稱中心O的線段與對角線所組成的居于中心對稱位置的三角形全等，如圖②△AOE≌△COF.圖②中陰影部分的面積為平行四邊形面積的一半.
（3） 如圖③，已知點E為AD上一點，根據平行線間的距離處處相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE.
（4） 根據平行四邊形的面積的求法，可得AE·BC=AF·CD.

知識點三 ：平行四邊形的判定
7.平行四邊形的判定

（1）方法一（定義法）：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.
即若AB∥CD，AD∥BC，則四邊形ABCD是□.
（2）方法二：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.
即若AB＝CD，AD＝BC，則四邊形ABCD是□.
（3）方法三：有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.
即若AB＝CD，AB∥CD，或AD=BC,AD∥BC,則四邊形ABCD是□.
（4）方法四：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
即若OA＝OC，OB＝OD，則四邊形ABCD是□.
（5）方法五：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形
若∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD，則四邊形ABCD是□.
例：如圖四邊形ABCD的對角線相交于點O,AO=CO，請你添加一個條件BO=DO或AD∥BC或AB∥CD（只添加一個即可），使四邊形ABCD為平行四邊形.


真題演練

一、單選題
1．（2021·山東濱州·中考真題）在銳角中，分別以AB和AC為斜邊向的外側作等腰和等腰，點D、E、F分別為邊AB、AC、BC的中點，連接MD、MF、FE、FN．根據題意小明同學畫出草圖（如圖所示），并得出下列結論：①，②，③，④，其中結論正確的個數為（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】
根據直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半和三角形中位線定理判斷結論①，連接DF，EN，通過SAS定理證明△MDF≌△FEN判斷結論②，利用全等三角形的性質結合平行四邊形的判定和性質判斷結論③，利用相似三角形的判定和性質判定結論④．
【詳解】
解：∵D、E、F分別為邊AB、AC、BC的中點，且△ABM是等腰直角三角形，
∴DM=AB，EF=AB，EF∥AB，∠MDB=90°，
∴DM=EF，∠FEC=∠BAC，故結論①正確；
連接DF，EN，

∵D、E、F分別為邊AB、AC、BC的中點，且△ACN是等腰直角三角形，
∴EN=AC，DF=AC，DF∥AC，∠NEC=90°，
∴EN=DF，∠BDF=∠BAC，∠BDF=∠FEC，
∴∠BDF+∠MDB=∠FEC+∠NEC，
∴∠MDF=∠FEN，
在△MDF和△FEN中，
，
∴△MDF≌△FEN（SAS），
∴∠DMF=∠EFN，故結論②正確；
∵EF∥AB，DF∥AC，
∴四邊形ADFE是平行四邊形，
∴∠DFE=∠BAC，
?又∵△MDF≌△FEN，
∴∠DFM=∠ENF，
∴∠EFN+∠DFM
=∠EFN+∠ENF
=180°-∠FEN
=180°-（∠FEC+∠NEC）
=180°-（∠BAC+90°）
=90°-∠BAC，
∴∠MFN=∠DFE+∠EFN+∠DFM=∠BAC+90°-∠BAC=90°，
∴MF⊥FN，故結論③正確；
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴，
∴，
∴S△CEF=S四邊形ABFE，故結論④錯誤，
∴正確的結論為①②③，共3個，
故選：B．
2．（2021·山東濱州·中考真題）如圖，在中，BE平分∠ABC交DC于點E．若，則∠DEB的大小為（ ）

A．130° B．125° C．120° D．115°
【答案】C
【分析】
根據平行四邊形的性質，可以得到AD∥BC，DC∥AB，然后即可得到∠A+∠ABC=180°，∠ABE+∠DEB=180°，再根據∠A=60°，BE平分∠ABC，即可得到∠DEB的度數．
【詳解】
解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，DC∥AB，
∴∠A+∠ABC=180°，∠ABE+∠DEB=180°，
∵∠A=60°，
∴∠ABC=120°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=60°，
∴∠DEB=120°，
故選：C．
3．（2021·山東濰坊·中考真題）若菱形兩條對角線的長度是方程x2﹣6x+8＝0的兩根，則該菱形的邊長為（ ）
A． B．4 C．25 D．5
【答案】A
【分析】
先求出方程的解，即可得到，根據菱形的性質求出和 ，根據勾股定理求出即可．
【詳解】
解：解方程，得，
即，
∵四邊形是菱形，
∴，
由勾股定理得，
即菱形的邊長為，

故選：．
4．（2021·山東濰坊·中考真題）古希臘數學家歐幾里得在《幾何原本》中記載了用尺規(guī)作某種六邊形的方法，其步驟是：①在⊙O上任取一點A，連接AO并延長交⊙O于點B；②以點B為圓心，BO為半徑作圓弧分別交⊙O于C，D兩點；③連接CO，DO并延長分別交⊙O于點E，F；④順次連接BC，CF，FA，AE，ED，DB，得到六邊形AFCBDE．連接AD，EF，交于點G，則下列結論錯誤的是 ．

A．△AOE的內心與外心都是點G B．∠FGA＝∠FOA
C．點G是線段EF的三等分點 D．EF＝AF
【答案】D
【分析】
證明△AOE是等邊三角形，EF⊥OA，AD⊥OE，可判斷A；．證明∠AGF=∠AOF=60°，可判斷B；證明FG=2GE，可判斷C；證明EF=AF，可判斷D．
【詳解】
解：如圖，

在正六邊形AEDBCF中，∠AOF=∠AOE=∠EOD=60°，
∵OF=OA=OE=OD，
∴△AOF，△AOE，△EOD都是等邊三角形，
∴AF=AE=OE=OF，OA=AE=ED=OD，
∴四邊形AEOF，四邊形AODE都是菱形，
∴AD⊥OE，EF⊥OA，
∴△AOE的內心與外心都是點G，故A正確，
∵∠EAF=120°，∠EAD=30°，
∴∠FAD=90°，
∵∠AFE=30°，
∴∠AGF=∠AOF=60°，故B正確，
∵∠GAE=∠GEA=30°，
∴GA=GE，
∵FG=2AG，
∴FG=2GE，
∴點G是線段EF的三等分點，故C正確，
∵AF=AE，∠FAE=120°，
∴EF=AF，故D錯誤，
故答案為：D．
5．（2021·山東威?！ぶ锌颊骖}）如圖，在平行四邊形中，，．連接AC，過點B作，交DC的延長線于點E，連接AE，交BC于點F．若，則四邊形ABEC的面積為（ ）

A． B． C．6 D．
【答案】B
【分析】
先證明四邊形ABEC為矩形，再求出AC，即可求出四邊形ABEC的面積．
【詳解】
解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=CD=2，BC=AD=3，∠D=∠ABC，
∵，
∴四邊形ABEC為平行四邊形，
∵，
∴，
∵∠AFC=∠ABF+∠BAF，
∴∠ABF=∠BAF，
∴AF=BF，
∴2AF=2BF，
即BC=AE，
∴平行四邊形ABEC是矩形，
∴∠BAC=90°，
∴,
∴矩形ABEC的面積為．
故選：B
6．（2021·山東棗莊·中考真題）如圖，四邊形是菱形，對角線，相交于點，，，點是上一動點，點是的中點，則的最小值為（ ）

A． B． C．3 D．
【答案】A
【分析】
連接，先根據兩點之間線段最短可得當點共線時，取得最小值，再根據菱形的性質、勾股定理可得，然后根據等邊三角形的判定與性質求出的長即可得．
【詳解】
解：如圖，連接，

由兩點之間線段最短得：當點共線時，取最小值，最小值為，
四邊形是菱形，，，
，
，
，
是等邊三角形，
點是的中點，
，
，
即的最小值為，
故選：A．
7．（2021·山東濟寧·中考真題）如圖，正五邊形中，的度數為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
首先由正五邊形的性質得到≌， ，，然后由正五邊形 內角度數，求出和 的度數，進而求出 的度數．

【詳解】
解：∵五邊形為正五邊形，
∴，，
∴，
∴，，
∴．
故選：
8．（2021·山東威?！ぶ锌颊骖}）如圖，在菱形ABCD中，，，點P，Q同時從點A出發(fā)，點P以1cm/s的速度沿A﹣C﹣D的方向運動，點Q以2cm/s的速度沿A﹣B﹣C﹣D的方向運動，當其中一點到達D點時，兩點停止運動．設運動時間為x（s），的面積為y（cm2），則下列圖象中能大致反映y與x之間函數關系的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
先證明∠CAB=∠ACB=∠ACD=60°，再分0≤x≤1、1＜x≤2、2＜x≤3三種情況畫出圖形，求出函數解析式，根據二次函數、一次函數圖象與性質逐項排除即可求解．
【詳解】
解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，
∴△ABC，ACD都是等邊三角形，
∴∠CAB=∠ACB=∠ACD=60°．
如圖1，當0≤x≤1時，AQ=2x，AP=x，
作PE⊥AB于E，
∴，
∴，
故D選項不正確；

如圖2，當1＜x≤2時，CP=2-x，CQ=4-2x，BQ=2x-2，
作PF⊥BC與F，作QH⊥AB于H，
∴，
，
∴，
故B選項不正確；

當2＜x≤3時，CP=x-2，CQ=2x-4，
∴PQ=x-2，
作AG⊥CD于G，
∴，
∴，
故C不正確．

故選：A
9．（2021·山東東營·中考真題）如圖，是邊長為1的等邊三角形，D、E為線段AC上兩動點，且，過點D、E分別作AB、BC的平行線相交于點F，分別交BC、AB于點H、G．現有以下結論：①；②當點D與點C重合時，；③；④當時，四邊形BHFG為菱形，其中正確結論為（ ）

A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．②③④
【答案】B
【分析】
過A作AI⊥BC垂足為I，然后計算△ABC的面積即可判定①；先畫出圖形，然后根據等邊三角形的性質和相似三角形的性質即可判定②；如圖將△BCD繞B點逆時針旋轉60°得到△ABN，求證NE=DE；再延長EA到P使AP=CD=AN，證得∠P=60°，NP=AP=CD，然后討論即可判定③；如圖1，當AE=CD時，根據題意求得CH=CD、AG=CH，再證明四邊形BHFG為平行四邊形，最后再說明是否為菱形．
【詳解】
解：如圖1, 過A作AI⊥BC垂足為I
∵是邊長為1的等邊三角形
∴∠BAC=∠ABC=∠C=60°，CI=
∴AI=
∴S△ABC=,故①正確；

如圖2，當D與C重合時
∵∠DBE=30°，是等邊三角形
∴∠DBE=∠ABE=30°
∴DE=AE=
∵GE//BD
∴
∴BG=
∵GF//BD,BG//DF
∴HF=BG=,故②正確；

如圖3，將△BCD繞B點逆時針旋轉60°得到△ABN
∴∠1=∠2，∠5=∠6=60°，AN=CD,BD=BN
∵∠3=30°
∴∠2+∠4=∠1+∠4=30°
∴∠NBE=∠3=30°
又∵BD=BN，BE=BE
∴△NBE≌△DBE（SAS）
∴NE=DE
延長EA到P使AP=CD=AN
∵∠NAP=180°-60°-60°=60°
∴△ANP為等邊三角形
∴∠P=60°，NP=AP=CD
如果AE+CD=DE成立，則PE=NE,需∠NEP=90°，但∠NEP不一定為90°，故③不成立；

如圖1，當AE=CD時，
∵GE//BC
∴∠AGE=∠ABC=60°，∠GEA=∠C=60°
∴∠AGE=∠AEG=60°，
∴AG=AE
同理：CH=CD
∴AG=CH
∵BG//FH,GF//BH
∴四邊形BHFG是平行四邊形
∵BG=BH
∴四邊形BHFG為菱形，故④正確．
故選B．
10．（2021·山東棗莊·中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長為2，O為對角線的交點，點E、F分別為BC、AD的中點．以C為圓心，2為半徑作圓弧，再分別以E、F為圓心，1為半徑作圓弧、，則圖中陰影部分的面積為（　?。?br />
A．π﹣1 B．π﹣2 C．π﹣3 D．4﹣π
【答案】B
【分析】
根據題意和圖形，可知陰影部分的面積是以2為半徑的四分之一個圓（扇形）的面積減去以1為半徑的半圓（扇形）的面積再減去2個以邊長為1的正方形的面積減去以1半徑的四分之一個圓（扇形）的面積，本題得以解決．
【詳解】
解：由題意可得，
陰影部分的面積是：?π×22﹣﹣2（1×1﹣?π×12）＝π﹣2，
故選：B．

二、填空題
11．（2021·山東青島·中考真題）如圖，正方形內接于，，分別與相切于點和點，的延長線與的延長線交于點．已知，則圖中陰影部分的面積為___________．

【答案】
【分析】
連接AC，OD，根據已知條件得到AC是⊙O的直徑，∠AOD=90°，根據切線的性質得到∠PAO=∠PDO=90°，得到△CDE是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質得到PE=，根據梯形和圓的面積公式即可得到答案．
【詳解】
解：連接AC，OD，
∵四邊形BCD是正方形，
∴∠B=90°，
∴AC是⊙O的直徑，∠AOD=90°，
∵PA，PD分別與⊙O相切于點A和點D，
∴∠PAO=∠PDO=90°，
∴四邊形AODP是矩形，
∵OA=OD，
∴矩形AODP是正方形，
∴∠P=90°，AP=AO，AC∥PE，
∴∠E=∠ACB=45°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∵AB=2，
∴AC=2AO=2，DE=CD=2，
∴AP=PD=AO=，
∴PE=3，
∴圖中陰影部分的面積
故答案為：5-π．

12．（2021·山東濟南·中考真題）如圖，正方形的邊在正五邊形的邊上，則__________．

【答案】18
【分析】
由正方形的性質及正五邊形的內角可直接進行求解．
【詳解】
解：∵四邊形是正方形，五邊形是正五邊形，
∴，
∴；
故答案為18．
13．（2021·山東聊城·中考真題）有四張大小和背面完全相同的不透明卡片，正面分別印有等邊三角形、平行四邊形、菱形和圓，將這四張卡片背面朝上洗勻，從中隨機抽取兩張卡片，所抽取的卡片正面上的圖形都既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的概率是__________．
【答案】
【分析】
由等邊三角形、平行四邊形、菱形、圓中，既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的有菱形、圓，再畫出樹狀圖展示所有等可能的結果，進而即可求得答案．
【詳解】
解：設等邊三角形、平行四邊形、菱形、圓分別為A，B，C，D，
根據題意畫出樹狀圖如下：

一共有12種情況，抽出的兩張卡片的圖形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形為C、D共有2種情況，
∴P（既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形）＝2÷12＝．
故答案是：．
14．（2021·山東菏澤·中考真題）如圖，在中，，，分別為、的中點，，過點作，交的延長線于點，則四邊形的面積為______．

【答案】
【分析】
先根據，分別為、的中點求得AB＝4，再根據求得AC＝8，BC＝，進而可求得BE＝，最后證明四邊形ABFD為平行四邊形即可求得四邊形ABFD的面積．
【詳解】
解：∵，分別為、的中點，，
∴AB＝2DE＝4，，
∵在中，，
∴AC＝2AB＝8，
∴BC＝＝＝，
又∵點E為BC中點，
∴BE＝BC＝，
∵，，
∴四邊形ABFD為平行四邊形，
∴四邊形的面積＝AB×BE＝4×＝，
故答案為：．
15．（2021·山東威?！ぶ锌颊骖}）如圖，在正方形ABCD中，，E為邊AB上一點，F為邊BC上一點．連接DE和AF交于點G，連接BG．若，則BG的最小值為__________________．

【答案】．
【分析】
根據SAS證明△DEA≌△AFB，得∠ADE=∠BAF，再證明∠DGA=90°，進一步可得點G在以AD為直徑的半圓上，且O，G，B三點共線時BG取得最小值．
【詳解】
解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC-∠DAE，AD=AB，
∵AE=BF
∴△DEA≌△AFB，

∴∠DAF+∠BAF=∠DAB=90°，
∠ADE+∠DAF=90°
∴∠DGA=90°
∴點G在以AD為直徑的圓上移動，連接OB，OG，如圖：

∴
在Rt△AOB中，∠OAB=90°
∴OB=
∵
∴當且公當O，G，B三點共線時BG取得最小值．
∴BC的最小值為：．

三、解答題
16．（2021·山東日照·中考真題）問題背景：
如圖1，在矩形中，，，點是邊的中點，過點作交于點．

實驗探究：
（1）在一次數學活動中，小王同學將圖1中的繞點按逆時針方向旋轉，如圖2所示，得到結論：①_____；②直線與所夾銳角的度數為______．
（2）小王同學繼續(xù)將繞點按逆時針方向旋轉，旋轉至如圖3所示位置.請問探究（1）中的結論是否仍然成立？并說明理由．
拓展延伸：
在以上探究中，當旋轉至、、三點共線時，則的面積為______．
【答案】（1），30°；（2）成立，理由見解析；拓展延伸：或
【分析】
（1）通過證明，可得，，即可求解；
（2）通過證明，可得，，即可求解；
拓展延伸：分兩種情況討論，先求出，的長，即可求解．
【詳解】
解：（1）如圖1，，，，
，
如圖2，設與交于點，與交于點，

繞點按逆時針方向旋轉，
，
，
，，
又，
，
直線與所夾銳角的度數為，
故答案為：，；
（2）結論仍然成立，
理由如下：如圖3，設與交于點，與交于點，

將繞點按逆時針方向旋轉，
，
又，
，
，，
又，
，
直線與所夾銳角的度數為．
拓展延伸：如圖4，當點在的上方時，過點作于，

，，點是邊的中點，，
，，，
，，
，
、、三點共線，
，
，
，
，
由（2）可得：，
，
，
的面積；
如圖5，當點在的下方時，過點作，交的延長線于，

同理可求：的面積；
故答案為：或．
17．（2021·山東濟南·中考真題）在中，，，點在邊上，，將線段繞點順時針旋轉至，記旋轉角為，連接，，以為斜邊在其一側制作等腰直角三角形．連接．

（1）如圖1，當時，請直接寫出線段與線段的數量關系；
（2）當時，
①如圖2，（1）中線段與線段的數量關系是否仍然成立？請說明理由；
②如圖3，當，，三點共線時，連接，判斷四邊形的形狀，并說明理由．
【答案】（1）；（2）①成立，理由見解析；②平行四邊形，理由見解析；
【分析】
（1）如圖1，證明，由平行線分線段成比例可得，由的余弦值可得；
（2）①根據兩邊成比例，夾角相等，證明，即可得；
②如圖3，過作，連接, 交于點，根據已知條件證明，根據平行線分線段成比例可得，根據銳角三角函數以及①的結論可得,
根據三角形內角和以及可得，進而可得，即可證明四邊形是平行四邊形．
【詳解】
（1）如圖1，

，，
，
是以為斜邊等腰直角三角形，
,，
，
，
，
，
，
即；
（2）①仍然成立，理由如下：
如圖2，

，，
，
是以為斜邊等腰直角三角形，
,，
，
，
即，
，
，
，
，
，
即；
②四邊形是平行四邊形，理由如下：
如圖3，過作，連接, 交于點，

，，
，
，
，
，
是以為斜邊等腰直角三角形，
，
，，三點共線，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由①可知，
，
是以為斜邊等腰直角三角形，
,，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，
，
四邊形是平行四邊形．
18．（2021·山東日照·中考真題）如圖，的對角線相交于點，經過、兩點，與的延長線相交于點，點為上一點，且．連接、相交于點，若，．

（1）求對角線的長；
（2）求證：為矩形．
【答案】（1）；（2）見解析
【分析】
（1）利用弧相等，圓周角定理推出，可求的長度進而求的長度；
（2）利用對角線相等的平行四邊形是矩形可得．
【詳解】
解：是直徑，
，
，
，
又，
，
，
，
，
．
（2），
是平行四邊形
，
∴AC=OB
為矩形．

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