1 要求大家掌握角平分線的性質定理和逆定理，會用這兩個定理解決一些簡單問題.2 理解角平分線的性質定理和逆定理的證明.3 進一步發(fā)展大家的推理證明意識和能力.
1 什么叫角平分線？
如果一條射線把一個角分成兩個相等的角，那么這條射線叫角的平分線.
2 還記得角平分線上的點有什么性質嗎? 你是怎樣得到的?
角平分線上的點到角兩邊的距離相等.
角平分線上的點到角兩邊的距離相等。已知：如圖，OC是∠AOB的平分線，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D、E． 求證：PD=PE．
證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO =∠PEO = 90°.∵ ∠1 =∠2，OP = OP，∴△PDO ≌△PEO（AAS）.∴ PD = PE（全等三角形的對應邊相等）.
1 定理：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．2 書寫格式：如圖，∵OP平分∠AOB，PD⊥ OA于點D，PE⊥OB于點E, ∴PD＝PE.
3 定理應用所具備的條件：
(2)點在該平分線上；
例1 如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，點D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，且DE=DF，求DE的長.
∵DE丄AB, DF丄AC，垂足分分別為E，F(xiàn),且DE＝DF，∴AD平分∠BAC (在一個角的內部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上）.又∵∠BAC＝60°，∴∠BAD＝30°. 在 Rt△ADE中，∠AED＝90°，AD＝10，∴DE＝ AD＝ ×10＝5 (在直角三角形中，如果一個銳角等于30°. 那么它所對的直角邊等于斜邊的一半).
你能寫出這個定理的逆命題嗎？它是真命題嗎？
角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.
如果有一個點到角兩邊的距離相等，那么這個點必在這個角的平分線上．簡寫
這個命題是假命題．角平分線是角內部的一條射線，而角的外部也存在到角兩邊距離相等的點．
到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上
定理 在一個角的內部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上.
書寫格式：如圖，∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE, ∴點P在∠AOB的平分線上(或∠AOC＝∠BOC)
已知：如圖，點 P 為∠AOB 內一點，且 PD⊥OA，PE⊥OB，D、E 為垂足且 PD = PE. 求證：OP平分∠AOB.
證明：∵PD丄OA, PE丄OB,垂足分別為D，E，?∴∠ODP＝∠OEP＝90°，∵PD＝PE，OP＝OP，∴Rt△DOP≌ Rt△EOP ( HL ).∴∠1＝∠2 (全等三角形的對應角相等).∴OP平分∠AOB.
例2 如圖，已知BE＝CF，DF⊥AC于點F，DE⊥AB于點E，BF和CE相交于點D.求證：AD平分∠BAC.
證明：∵DF⊥AC于點F，DE⊥AB于點E， ∴∠DEB＝∠DFC＝90°. 在△BDE和△CDF中， ∴△BDE≌△CDF(AAS)． ∴DE＝DF.又∵DF⊥AC于點F，DE⊥AB于點E， ∴AD平分∠BAC.
1 如圖，OP是∠AOB的平分線，點C，D分別在角的兩邊OA，OB上，添加下列條件，不能判定△POC≌△POD的選項是(　　)A．PC⊥OA，PD⊥OB B．OC＝ODC．∠OPC＝∠OPD D．PC＝PD
2 如圖，在CD上求一點P，使它到邊OA，OB的距離相等，則點P是(　　)A．線段CD的中點B．CD與過點O作CD的垂線的交點C．CD與∠AOB的平分線的交點D．以上均不對
3 如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝6 cm，則△DBE的周長是(　　)A．6 B．7 cm C．8 cm D．9 cm
4 如圖，在△ABC中，與∠ABC，∠ACB相鄰的外角的平分線相交于點F，連接AF，則下列結論正確的是(　　)A．AF平分BC B．AF平分∠BACC．AF⊥BC D．以上結論都正確
5 如圖，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分線， BD = CD， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為 E，F(xiàn). 求證：EB = FC.

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初中數(shù)學北師大版八年級下冊電子課本

4 角平分線

版本： 北師大版

年級： 八年級下冊

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