1. 能夠證明角平分線的性質(zhì)定理、判定定理及其相關(guān)結(jié)論.2. 角的平分線相關(guān)定理的推理證明及對(duì)知識(shí)的綜合應(yīng)用.
1.線段垂直平分線的性質(zhì)？2.線段垂直平分線的判定定理？
線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。
到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。
3、什么是角平分線的定義？
從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出一條射線，把這個(gè)角分成兩個(gè)完全相等的角，這條射線就叫這個(gè)角的角平分線.
4、角平分線的性質(zhì)是什么？
角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等
觀察視頻中角平分線上的點(diǎn)有什么性質(zhì)嗎？
猜想：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。
點(diǎn)與點(diǎn)—兩點(diǎn)之間的距離
請(qǐng)你嘗試證明這一性質(zhì)，并與同伴交流.
已知：如圖，OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P在OC上，PD丄OA, PE丄OB,垂足分別為D，E.求證：PD＝PE.
證明：∵PD丄OA，PE丄OB,垂足分別為D，E， ∴∠PDO＝∠PEO＝90°. ∵∠1＝∠2, OP＝OP ∴△PDO≌△PEO ( AAS ). ∴PD＝PE (全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等).
幾何語(yǔ)言：∵OP平分∠AOB， PD⊥ OA于點(diǎn)D，PE⊥OB于點(diǎn)E, ∴PD＝PE.
角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。
定理應(yīng)用所具備的條件：
(2)點(diǎn)在該平分線上；
例：如圖,在△ABC中，∠BAC＝60°，點(diǎn)D在BC上， AD＝10，DE丄AB， DF丄AC ，垂足分別為E，F(xiàn)，DE＝DF，求DE的長(zhǎng).
解：∵DE丄AB, DF丄AC，垂足分分別為E，F(xiàn),且DE＝DF，∴AD平分∠BAC (在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上）.又∵∠BAC＝60°，∴∠BAD＝30°. 在 Rt△ADE中，∠AED＝90°，AD＝10，∴DE＝　AD＝ ×10＝5 (在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°. 那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半).
想一想：你能寫出這個(gè)定理的逆命題嗎？它是真命題嗎？
如果有一個(gè)點(diǎn)到角兩邊的距離相等，那么這個(gè)點(diǎn)必在這個(gè)角的平分線上.
假命題。在角的外部，也存在到角兩邊距離相等的點(diǎn)，但是這個(gè)點(diǎn)不在這個(gè)角的平分線上．
一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上。
已知：如圖，點(diǎn)P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，PD丄OA，PE丄OB，垂足分別為D，E，且PD＝PE．求證：OP平分∠AOB.
證明：∵PD丄OA, PE丄OB,垂足分別為D，E，∴∠ODP＝∠OEP＝90°，∵PD＝PE，OP＝OP，∴Rt△DOP≌ Rt△EOP ( HL ).∴∠1＝∠2 (全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等).∴OP平分∠AOB.
在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上.
幾何語(yǔ)言：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE, ∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上(或∠AOC＝∠BOC)．
角平分線的判定所具備的條件：
判斷點(diǎn)是否在角平分線上.
例：已知：如圖，已知BE＝CF，DF⊥AC于點(diǎn)F，DE⊥AB于點(diǎn)E，BF和CE相交于點(diǎn)D.求證：AD平分∠BAC.
證明：∵DF⊥AC于點(diǎn)F，DE⊥AB于點(diǎn)E，∴∠DEB＝∠DFC＝90°. 在△BDE和△CDF中， ∴△BDE≌△CDF(AAS)．∴DE＝DF.又∵DF⊥AC于點(diǎn)F，DE⊥AB于點(diǎn)E，∴AD平分∠BAC.
1.如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，AD＝3，BC＝10，則△BDC的面積是(　　)A．10B．15C．20D．30
2.如圖，在△ABC中，與∠ABC，∠ACB相鄰的外角的平分線相交于點(diǎn)F，連接AF，則下列結(jié)論正確的是(　　)A．AF平分BC B．AF平分∠BACC．AF⊥BC D．以上結(jié)論都正確
3.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，且DE＝3 cm，BC＝8 cm，則BD＝________cm.
4.如圖，OC是∠AOB的平分線，AC⊥OB于D，BC⊥OA于E.求證：AC＝BC.
證明：∵OC是∠AOB的平分線，AC⊥OB，BC⊥OA∴CE＝CD，∠AEC＝∠BDC＝90°又∠ACE＝∠BCD∴△ACE≌△BCD(ASA)∴AC＝BC
5.如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn)，BE＝CF.求證：AD平分∠BAC.
證明：∵D是BC的中點(diǎn)，∴DB＝DC∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°又∵BE＝CF∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL)∴DE＝DF又DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC
6.如圖，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分線．求證：BD＝2CD.
證明：如圖，過(guò)D作DE⊥AB于E∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°∴DE＝DC在Rt△BDE中，∠BED＝90°，∠B＝30°∴BD＝2DE，∴BD＝2CD
7.如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.若△ABC的面積是36 cm2，AB＝10 cm，AC＝8 cm，求DE的長(zhǎng).

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4 角平分線

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