第十八章 平行四邊形一、選擇題                                                         1.如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E是BC延長線上一點(diǎn)，且∠A＝120°，則∠DCE的度數(shù)是(　　)  A． 120°B． 60°C． 45°D． 30°2.如圖，已知四邊形ABCD的四邊相等，等邊△AMN的頂點(diǎn)M、N分別在BC、CD上，且AM＝AB，則∠C為(　　)A． 100°B． 105°C． 110°D． 120°3.如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AF＝6，則四邊形AEDF的周長是(　　)A． 24B． 28C． 32D． 364.如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E、F是對角線AC上的兩點(diǎn)，給出下列四個條件：①AE＝CF；②DE＝BF；③∠ADE＝∠CBF；④∠ABE＝∠CDF.其中不能判定四邊形DEBF是平行四邊形的有(　　)A． 0個B． 1個C． 2個D． 3個5.正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是(　　)A． 對角線互相垂直B． 對角線相等C． 對角線互相平分D． 對角相等6.菱形的周長為8 cm，高為1 cm，則菱形兩鄰角度數(shù)比為(　　)A． 4∶1B． 5∶1C． 6∶1D． 7∶17.如圖，在周長為12的菱形ABCD中，AE＝1，AF＝2，若P為對角線BD上一動點(diǎn)，則EP＋FP的最小值為(　　)A． 1B． 2C． 3D． 48.如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，且AB⊥AC，AB＝3，OC＝4，則BD的長為(　　)A． 4B． 5C． 10D． 12二、填空題                                               9.如圖，在矩形ABCD中，橫向陰影部分是矩形，另一陰影部分是平行四邊形．依照圖中標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計算圖中空白部分的面積，已知a＝2b＝6c，其面積是__________．(用含c的代數(shù)式表示)10.在平行四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝6，若AC＝BD，則平行四邊形ABCD的面積為__________．11.如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD交于一點(diǎn)O，AB＝11，△OCD的周長為27，則AC＋BD＝________.12.在四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，從 ①AB＝CD；②AB∥CD；③OA＝OC；④OB＝OD；⑤AC＝BD；⑥∠ABC＝90°這六個條件中，可選取三個推出四邊形ABCD是矩形，如①②⑤→四邊形ABCD是矩形．請再寫出符合要求的兩個：__________；______________.13.如圖，直線AE∥BD，點(diǎn)C在BD上，若AE＝5，BD＝8，△ABD的面積為16，則△ACE的面積為________．14.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，將邊BC沿斜邊上的中線CD折疊到CB′，若∠B＝50°，則∠ACB′＝____________.15.如圖是一張長方形紙片ABCD，已知AB＝8，AD＝7，E為AB上一點(diǎn)，AE＝5，現(xiàn)要剪下一張等腰三角形紙片(△AEP)，使點(diǎn)P落在長方形ABCD的某一條邊上，則等腰三角形AEP的底邊長是____________．16.在學(xué)習(xí)了平行四邊形的相關(guān)內(nèi)容后，老師提出這樣一個問題：“四邊形ABCD是平行四邊形，請?zhí)砑右粋€條件，使得?ABCD是矩形．”經(jīng)過思考，小明說：“添加AC＝BD.”小紅說：“添加AC⊥BD.”你同意__________的觀點(diǎn)，理由是__________________．三、解答題                                                        17.如圖，四邊形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足為點(diǎn)F，E為四邊形ABCD外一點(diǎn)，且∠ADE＝∠BAD，AE⊥AC.(1)求證：四邊形ABDE是平行四邊形；(2)如果DA平分∠BDE，AB＝5，AD＝6，求AC的長．18.如圖，在△ABC中，AB＝6 cm，AC＝10 cm，AD平分∠BAC，BD⊥AD于點(diǎn)D，BD的延長線交AC于 點(diǎn)F，E為BC的中點(diǎn)，求DE的長．19.如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD，相交于點(diǎn)O，EF過點(diǎn)O且與AB、CD分別相交于點(diǎn)E、F，求證：AE＝CF.20.如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在AB、CD上，AE＝CF，連接AF，BF，DE，CE，分別交于H、G.求證：(1)四邊形AECF是平行四邊形．(2)EF與GH互相平分．21.如圖，已知：AB∥CD，BE⊥AD，垂足為點(diǎn)E，CF⊥AD，垂足為點(diǎn)F，并且AE＝DF.求證：(1)BE＝CF；(2)四邊形BECF是平行四邊形．
答案解析1.【答案】B【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB∥CD，AD∥BE∴∠B＝180°－∠A＝60°∴∠DCE＝∠B＝60°.故選B.2.【答案】A【解析】∵四邊形ABCD的四邊都相等，∴四邊形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，∠DAB＝∠C，AD∥BC，∴∠DAB＋∠B＝180°，∵△AMN是等邊三角形，AM＝AB，∴∠AMN＝∠ANM＝60°，AM＝AD，∴∠B＝∠AMB，∠D＝∠AND，由三角形的內(nèi)角和定理，得∠BAM＝∠NAD，設(shè)∠BAM＝∠NAD＝x，則∠D＝∠AND＝180°－60°－2x，∵∠NAD＋∠D＋∠AND＝180°，∴x＋2(180°－60°－2x)＝180°，解得x＝20°，∴∠C＝∠BAD＝2×20°＋60°＝100°.故選A.3.【答案】解　∵DE∥AC，DF∥AB，  ∴四邊形AEDF為平行四邊形，∠EAD＝∠FDA.  ∵AD平分∠BAC，  ∴∠EAD＝∠FAD＝∠FDA，  ∴FA＝FD，  ∴平行四邊形AEDF為菱形．  ∵AF＝6，  ∴C菱形AEDF＝4AF＝4×6＝24.  故選A.【解析】根據(jù)DE∥AC、DF∥AB，即可得出四邊形AEDF為平行四邊形，再根據(jù)AD平分∠BAC即可得出∠FAD＝∠FDA，即FA＝FD，從而得出平行四邊形AEDF為菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合AF＝6即可求出四邊形AEDF的周長．4.【答案】B【解析】由平行四邊形的判定方法可知：若是四邊形的對角線互相平分，可證明這個四邊形是平行四邊形，②不能證明對角線互相平分，只有①③④可以，故選B.5.【答案】B【解析】菱形的性質(zhì)有①菱形的對邊互相平行，且四條邊都相等，②菱形的對角相等，鄰角互補(bǔ)，③菱形的對角線分別平分且垂直，并且每條對角線平分一組對角；正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是矩形的特殊性質(zhì)(①矩形的四個角都是直角，②矩形的對角線相等)，A．菱形和正方形的對角線都互相垂直，故本選項錯誤；B．菱形的對角線不一定相等，正方形的對角線一定相等，故本選項正確；C．菱形和正方形的對角線互相平分，故本選項錯誤；D．菱形和正方形的對角都相等，故本選項錯誤；故選B.6.【答案】B【解析】如圖所示：∵四邊形ABCD是菱形，菱形的周長為8，∴AB＝BC＝CD＝DA＝2，∠DAB＋∠B＝180°，∵AE＝1，AE⊥BC，∴AE＝AB，∴∠B＝30°，∴∠DAB＝150°，∴∠DAB∶∠B＝5∶1；故選B.7.【答案】C【解析】作F點(diǎn)關(guān)于BD的對稱點(diǎn)F′，則PF＝PF′，連接EF′交BD于點(diǎn)P.∴EP＋FP＝EP＋F′P.由兩點(diǎn)之間線段最短可知：當(dāng)E、P、F′在一條直線上時，EP＋FP的值最小，此時EP＋FP＝EP＋F′P＝EF′.∵四邊形ABCD為菱形，周長為12，∴AB＝BC＝CD＝DA＝3，AB∥CD，∵AF＝2，AE＝1，∴DF＝AE＝1，∴四邊形AEF′D是平行四邊形，∴EF′＝AD＝3.∴EP＋FP的最小值為3.故選C.8.【答案】C【解析】∵?ABCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，∴BO＝DO，AO＝OC＝4，∵AB⊥AC，AB＝3，∴∠BAO＝90°，在Rt△ABO中，由勾股定理，得BO＝＝5，∴BD＝2BO＝10，故選C.9.【答案】10c2【解析】本題中空白部分的面積＝矩形ABCD的面積－陰影部分的面積．矩形ABCD的面積為a×b＝ab；陰影部分的面積為a×c＋b×c－c×c＝ac＋bc－c2；那么空白部分的面積為ab－ac－bc＋c2；因為a＝2b＝6c，所以ab－ac－bc＋c2＝6c·3c－6c·c－3c·c＋c2＝18c2－6c2－3c2＋c2＝10c2.10.【答案】30【解析】∵平行四邊形ABCD中，AC＝BD，∴四邊形ABCD是矩形．∴矩形ABCD的面積是5×6＝30.11.【答案】32【解析】∵平行四邊形ABCD的對角線AC、BD交于一點(diǎn)O，AB＝11，∴CD＝11，∵△OCD的周長為27，∴CO＋DO＝27－11＝16，∴AC＋BD＝32.12.【答案】①②⑥　③④⑥【解析】①②⑥或③④⑥，理由是∵AB＝CD，AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵∠ABC＝90°，∴平行四邊形ABCD是矩形．∵OA＝OC，OB＝OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵∠ABC＝90°，∴平行四邊形ABCD是矩形，13.【答案】10【解析】過點(diǎn)A作AF⊥BD于點(diǎn)F，∵△ABD的面積為16，BD＝8，∴BD·AF＝×8×AF＝16，解得AF＝4，∵AE∥BD，∴AF的長是△ACE的高，∴S△ACE＝×AE×4＝×5×4＝10.14.【答案】10°【解析】∵∠ACB＝90°，∠B＝50°，∴∠A＝40°，∵∠ACB＝90°，CD是斜邊上的中線，∴CD＝BD，CD＝AD，∴∠BCD＝∠B＝50°，∠DCA＝∠A＝40°，由翻折變換的性質(zhì)可知，∠B′CD＝∠BCD＝50°，∴∠ACB′＝∠B′CD－∠DCA＝10°，15.【答案】5或4或5【解析】如圖所示：①當(dāng)AP＝AE＝5時，∵∠BAD＝90°，∴△AEP是等腰直角三角形，∴底邊PE＝AE＝5；②當(dāng)PE＝AE＝5時，∵BE＝AB－AE＝8－5＝3，∠B＝90°，∴PB＝＝4，∴底邊AP＝＝＝4；③當(dāng)PA＝PE時，底邊AE＝5；綜上所述：等腰三角形AEP的對邊長為5或4或5.16.【答案】小明　對角線相等的平行四邊形是矩形【解析】根據(jù)是對角線相等的平行四邊形是矩形，故小明的說法是正確的，根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故小紅的說法是錯誤的．17.【答案】(1)證明　∵AE⊥AC，BD垂直平分AC，∴AE∥BD，∵∠ADE＝∠BAD，∴DE∥AB，∴四邊形ABDE是平行四邊形；(2)解　∵DA平分∠BDE，∴∠BAD＝∠ADB，∴AB＝BD＝5，設(shè)BF＝x，則52－x2＝62－(5－x)2，解得x＝，∴AF＝＝，∴AC＝2AF＝.【解析】(1)根據(jù)已知和角平分線的定義證明∠ADE＝∠BAD，得到DE∥AB，又AE∥BD，根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形證明即可；(2)設(shè)BF＝x，根據(jù)勾股定理求出x的值，再根據(jù)勾股定理求出AF，根據(jù)AC＝2AF得到答案．18.【答案】解　∵AD平分∠BAC，BD⊥AD，∴AB＝AF＝6，BD＝DF，∴CF＝AC－AF＝4，∵BD＝DF，E為BC的中點(diǎn)，∴DE＝CF＝2.【解析】根據(jù)等腰三角形的判定和性質(zhì)定理得到AB＝AF＝6，BD＝DF，求出CF，根據(jù)三角形中位線定理計算即可．19.【答案】證明　∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，OA＝OC，∴∠OAE＝∠OCF，在△OAE和△OCF中，∴△AOE≌△COF(ASA)，∴AE＝CF.【解析】由四邊形ABCD是平行四邊形，可得AB∥CD，OA＝OC，繼而證得△AOE≌△COF，則可證得結(jié)論．20.【答案】證明　(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵AE＝CF，∴四邊形AECF是平行四邊形．(2)由(1)得：四邊形AECF是平行四邊形，∴AF∥CE，∵AE＝CF，AB∥CD，AB＝CD，∴BE∥DF，BE＝DF，∴四邊形BFDE是平行四邊形，∴BF∥DE，∴四邊形EGFH是平行四邊形，∴EF與GH互相平分．【解析】(1)由平行四邊形的性質(zhì)得出AB∥CD，AB＝CD，由AE＝CF，即可得出結(jié)論；(2)由平行四邊形的性質(zhì)得出AF∥CE，再證明四邊形BFDE是平行四邊形，得出BF∥DE，證出四邊形EGFH是平行四邊形，即可得出結(jié)論．21.【答案】證明　(1)∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠AEB＝∠DFC＝90°，∵AB∥CD，∴∠A＝∠D，在△AEB與△DFC中，∴△AEB≌△DFC(ASA)，∴BE＝CF；(2)∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴BE∥CF，∵BE＝CF，∴四邊形BECF是平行四邊形．【解析】(1)通過全等三角形(△AEB≌△DFC)的對應(yīng)邊相等證得BE＝CF；(2)由“在同一平面內(nèi)，同垂直于同一條直線的兩條直線相互平行”證得BE∥CF.易得四邊形BECF是平行四邊形．

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