1．已知，若，則的值為（ ）
A．B．2C．6D．8
2．已知平面α和平面β的法向量分別為，，則（ ）
A．α⊥βB．α∥β
C．α與β相交但不垂直D．以上都不對(duì)
3．若向量＝(1,λ,0),＝(2,－1,2)，且與的夾角余弦值為，則實(shí)數(shù)λ等于( )
A．0B．－C．0或－D．0或
4．向量，其中為線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A．B．
C．D．
5．若與共線，則（ ）
A．2B．C．4D．
6．若、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
7．《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計(jì)算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱.如圖，在塹堵中，M是的中點(diǎn)，，，，若，則（ ）
A．B．C．D．
8．如圖，空間四邊形OABC中，，，，點(diǎn)M在上，且，點(diǎn)N為BC中點(diǎn)，則（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題
9．已知點(diǎn) 在平面內(nèi)，平面法向量， 則下列點(diǎn)在內(nèi)的是（ ）
A．B．C．D．
10．在平行六面體ABCD﹣A′B′C′D′中，與向量相等的向量有（ ）
A．B． C． D．
11．已知二面角α－l－β的兩個(gè)半平面α與β的法向量分別為，，若〈，〉＝，則二面角α－l－β的大小為（ ）
A．B．C．D．
12．如圖，在正三棱柱中，已知的邊長(zhǎng)為2，三棱柱的高為的中點(diǎn)分別為，以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S?軸?軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則下列空間點(diǎn)及向量坐標(biāo)表示正確的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題
13．已知向量，，若與垂直，則___________.
14．在單位正方體中，分別為的中點(diǎn)，則___________.
15．在正三棱柱中，，則異面直線與所成角的余弦值為___________.
16．如圖四棱錐中，四邊形為菱形，，則______．
四、解答題
17．已知平行六面體，底面是正方形，，，，，，設(shè)，，.
（1）試用、、表示；
（2）求的長(zhǎng)度.
18．如圖，已知在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分別是AD1，BD，B1C的中點(diǎn)，利用向量法證明：
（1）MN∥平面CC1D1D；
（2）平面MNP∥平面CC1D1D．
19．如圖在邊長(zhǎng)是2的正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，的中點(diǎn)．
（1）求異面直線EF與所成角的大小．
（2）證明：平面．
20．如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，，．
（1）求二面角的余弦值；
（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
21．如圖，已知平面，底面為矩形，，分別為，的中點(diǎn)．
（1）求證：平面；
（2）求與平面所成角的正弦值．
22．如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，．是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點(diǎn)，．
（1）證明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
參考答案
1．C
【分析】
根據(jù)向量垂直的性質(zhì)計(jì)算得到答案.
【詳解】
，，
則，解得.
故選：C.
2．B
【分析】
由法向量的坐標(biāo)可判斷法向量的關(guān)系，進(jìn)而確定平面α和平面β的位置關(guān)系.
【詳解】
解：∵，
∴，
∴，
∴
故選：B.
3．C
【分析】
利用向量夾角的數(shù)量積公式計(jì)算即可得出結(jié)果.
【詳解】
向量＝(1,λ,0),＝(2,－1,2)，且與的夾角余弦值為，
,解得：0或－.
故選：C
4．C
【分析】
直接用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得出結(jié)論.
【詳解】
∵，
∴由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為.
故選：.
5．D
【分析】
根據(jù)與共線，由求解.
【詳解】
∴與共線，
∴，即，
∴，.
故選：D
6．B
【分析】
利用向量模的坐標(biāo)運(yùn)算求得的表達(dá)式，結(jié)合三角函數(shù)的知識(shí)求得的取值范圍.
【詳解】
，
，
，
所以.
故選：B
7．C
【分析】
建立坐標(biāo)系，坐標(biāo)表示向量，求出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出結(jié)果.
【詳解】
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.
不妨令，則，，，，，.因?yàn)?，所以，則，，，，則解得，，，故.
故選：C
8．B
【分析】
利用空間向量運(yùn)算求得正確答案.
【詳解】
.
故選：B
9．AC
【分析】
驗(yàn)證各選項(xiàng)中的點(diǎn)與點(diǎn)連線的方向向量是否與垂直，由此可得出合適的選項(xiàng).
【詳解】
對(duì)于A選項(xiàng)，記點(diǎn)，，，點(diǎn)在平面內(nèi)；
對(duì)于B選項(xiàng)，記點(diǎn)，，，點(diǎn)不在平面內(nèi)；
對(duì)于C選項(xiàng)，記點(diǎn)，，，點(diǎn)在平面內(nèi)；
對(duì)于D選項(xiàng)，記點(diǎn)，，，點(diǎn)不在平面內(nèi).
故選：AC.
10．BC
【分析】
直接利用相等向量的定義即可求解．
【詳解】
解：在平行六面體ABCD﹣A′B′C′D′中，與向量相等的向量有3個(gè)，
分別是，，．
故選：BC．
11．AB
【分析】
由二面角的定義可以得出結(jié)論.
【詳解】
解：由于二面角的范圍是[0，π]，而二面角的兩個(gè)半平面α與β的法向量都有兩個(gè)方向，因此二面角α－l－β的大為或.
故選：AB.
12．ABC
【分析】
求出等邊三角形的高的長(zhǎng)，根據(jù)三棱柱的棱長(zhǎng)可得各點(diǎn)坐標(biāo)，然后求得向量的坐標(biāo)即可判斷．
【詳解】
在等邊中，，所以，則，，則.
故選：ABC
13．
【分析】
根據(jù)與垂直，可知，根據(jù)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算可求出的值，結(jié)合向量坐標(biāo)求向量模的求法，即可得出結(jié)果.
【詳解】
解：與垂直，，
則，解得：，
，
則，
.
故答案為：.
14．##
【分析】
建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法計(jì)算.
【詳解】
正方體的棱長(zhǎng)為，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，
，
.
故答案為：
15．
【分析】
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求異面直線所成的角．
【詳解】
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線為軸的正半軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，則，
所以異面直線與所成角的余弦值為.
故答案為：．
16．
【分析】
根據(jù)題意得，進(jìn)而得，即，再結(jié)合題意求解即可.
【詳解】
解：因?yàn)樗睦忮F中，四邊形為菱形，
所以，所以，所以．
所以，，，故．
故答案為：
17．（1）；（2）.
【分析】
（1）利用向量線性運(yùn)算的幾何意義，結(jié)合幾何體確定與、、的線性關(guān)系；
（2）由（1），結(jié)合空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律及已知條件求的長(zhǎng)度.
【詳解】
（1）.
（2），，
∴.
18．（1）證明見解析；（2）證明見解析.
【分析】
（1）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線的方向向量和平面的法向量，利用直線的方向向量和平面的法向量的數(shù)量積為0進(jìn)行證明；（2）證明兩個(gè)平面有相同的一個(gè)法向量即可..
【詳解】
（1）證明：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向
分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則A(2，0，0)，C(0，2，0)，
D(0，0，0)，M(1，0，1)，N(1，1，0)，P(1，2，1).
由正方體的性質(zhì)，知AD⊥平面CC1D1D，
所以＝(2，0，0)為平面CC1D1D的一個(gè)法向量.
由于＝(0，1，－1)，
則＝0×2＋1×0＋(－1)×0＝0，
所以⊥.
又MN?平面CC1D1D，
所以MN∥平面CC1D1D.
（2）證明：因?yàn)椋?2，0，0)為平面CC1D1D的一個(gè)法向量，
由于＝(0，2，0)，＝(0，1，－1)，
則，
即＝(2，0，0)也是平面MNP的一個(gè)法向量，
所以平面MNP∥平面CC1D1D.
19．（1）；（2）證明見解析．
【分析】
（1）通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用可得解；
（2）利用和，可證得線線垂直，進(jìn)而得線面垂直.
【詳解】
據(jù)題意，建立如圖坐標(biāo)系．于是：
，，，，，
∴，，，．
（1），
∴
∴異面直線EF和所成的角為．
（2）
∴，即
，
∴即．
又∵，平面且
∴平面．
20．（1）；（2）在線段上不存在點(diǎn)，使得平面，理由見解析.
【分析】
（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解平面與平面的夾角的余弦值；
（2）假設(shè)在線段上存在一點(diǎn)，使得平面，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由（1）可知平面的一個(gè)法向量為，證明與不平行，故可得出不存在點(diǎn)滿足條件.
【詳解】
（Ⅰ）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，，為分別軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)辄c(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，，，
所以，，2，，，．
所以，．
設(shè)平面的法向量為，
所以即
令，則，．所以．
由題知，平面的一個(gè)法向量為，
所以．
又因?yàn)槎娼菫殇J角，所以二面角的余弦值是．
（Ⅱ）解：假設(shè)在線段上存在一點(diǎn)，使得平面．
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，．所以．
因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量為，
所以與不平行．
所以在線段上不存在點(diǎn)，使得平面．
21．
（1）證明見解析；
（2）
【分析】
（1）取的中點(diǎn)，連接，，證明四邊形為平行四邊形，從而得，進(jìn)而可證明平面；（2）由題意，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，對(duì)應(yīng)的平面向量，求出平面的法向量，由向量的夾角公式代入求解.
（1）
取的中點(diǎn)，連接，，∵，分別為，的中點(diǎn)，∴且，又為的中點(diǎn)，底面為矩形，∴且，∴且，故四邊形為平行四邊形，∴，又∵平面，平面，∴平面
（2）
由題意，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，∵，所以，故，設(shè)平面的法向量，則，得，設(shè)與平面所成角為，則，故與平面所成角的正弦值為.
22．（1）證明見解析；（2）.
【分析】
（1）要證明平面，只需證明，即可；
（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸，ON為y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別算出平面的法向量為，平面的法向量為，利用公式計(jì)算即可得到答案.
【詳解】
（1）由題設(shè)，知為等邊三角形，設(shè)，
則，，所以，
又為等邊三角形，則，所以，
，則，所以，
同理，又，所以平面；
（2）過O作∥BC交AB于點(diǎn)N，因?yàn)槠矫?，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸，ON為y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
由，得，令，得，
所以，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為
由，得，令，得，
所以
故，
設(shè)二面角的大小為，則.
【點(diǎn)晴】
本題主要考查線面垂直的證明以及利用向量求二面角的大小，考查學(xué)生空間想象能力，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題.

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