專題02  空間向量與立體幾何大題專項練習(xí)一、鞏固基礎(chǔ)知識1．如圖所示，已知空間四邊形的各邊和對角線的長都等于，點、分別是、的中點。(1)求證：，；(2)求的長；(3)求異面直線與夾角的余弦值。   【解析】(1)由題意可知三棱錐為正四面體，過做底面的垂線，垂足為，連接，則在上，過做直線，分別交、于、兩點，則、、相互垂足，以為原點，為軸，為軸，為軸，建系，則，，，，，，，則，，，，，∴，；(2)；(3)，，，從而異面直線與夾角的余弦值為。2．如圖所示，在三棱錐中，和所在平面互相垂直，且，， ，，、分別為、的中點。(1)求證：平面平面；(2)求二面角的正弦值。        【解析】(1)證明：由，，，則：，∴，則，，又平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，故平面平面；(2)解：由，點為的中點，知，∵知，則，∴，則， 如圖所示以點為坐標(biāo)原點，以平面內(nèi)與垂直的直線為軸，以為軸，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，∴，，平面一個法向量為，設(shè)平面的法向量為，由得，設(shè)，得一個法向量，設(shè)二面角的平面角為，則，∴，則二面角的正弦值為。3．如圖所示，在三棱柱中，底面為正三角形，在底面上的射影是棱的中點，于點。(1)證明平面；(2)若，求與平面所成角的正弦值。      【解析】(1)證明：連接，∵為正三角形，為中點，∴，∵，，∴平面，∴，又，，∴，又，∴平面；(2)解：由(1)可知，，，，故分別以、、為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，則，，，設(shè)平面的法向量為，則即，設(shè)，則、，則，設(shè)與平面所成角為，則，∴與平面所成角的正弦值為。4．直三棱柱，，，，，點在線段上。(1)若平面，確定點的位置并證明；(2)當(dāng)時，求二面角的余弦值。     【解析】(1)當(dāng)是中點時，平面，證明如下：連接，交于，連接，∵三棱柱是直三棱柱，∴側(cè)面為矩形，為的中位線，∴，∵平面，平面，∴平面；(2)由，，，得，則，以為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，設(shè)(，)，∵點在線段上，且，即，∴，∴，，∴，，∴平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，由得：，設(shè)，則，，，，∴，設(shè)二面角的大小為，經(jīng)觀察為銳角，∴二面角的余弦值為。二、擴(kuò)展思維視野5．如圖，在四棱錐中，已知是平行四邊形，，，，。(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值。      【解析】(1)證明：設(shè)，，連接，則∵，且，∴四邊形為菱形，∴，且，，，又∵，，∴是等腰，∴，，，在中，，，，有，∴，即，又，∴平面；(2)以為坐標(biāo)原點，如圖建系，則，，，，，則，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則、，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則、，則，∴，設(shè)二面角的平面角為，經(jīng)觀察為鈍角，則。6．如圖所示，在四棱錐中，，，，為棱的中點，異面直線與所成的角為。(1)在平面內(nèi)找一點，使得直線平面，并說明理由；(2)若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值。        【解析】(1)由題意可知，在梯形中，與不平行，如圖，延長、，相交于點(平面)，點即為所求的一個點，理由如下：由已知，知，且，∴四邊形是平行四邊形，∴，又平面，平面，∴平面； (2)如圖，由已知，，，，∴平面，于是，是二面角的平面角，∴，又，∴平面， 設(shè)，則在中，，作平面，以為原點，以，的方向分別為軸、軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，∴，，，設(shè)平面法向量為，由得，設(shè)，得，設(shè)直線與平面所成角為，則，∴直線與平面所成角的正弦值為。三、提升綜合素質(zhì)7．如圖，已知矩形中，，為的中點，沿將折起，使。(1)求證：平面平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值。      【解析】(1)∵在矩形中，，為的中點，∴、為等腰直角三角形，∴，即，取中點，連接、，則，在中，，在中，，又，∴，∴，又，，∴平面，而平面，∴平面平面；(2)以為原點如圖建系，則，，，，∴，，，設(shè)平面的法向量為，由得，令，則、，取，設(shè)直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為。8．如圖1，點、分別是正的邊、的中點，點是的中點，將沿折起，使得平面平面，得到四棱錐，如圖2。(1)試在四棱錐的棱上確定一點，使得平面；(2)在(1)的條件下，求直線與平面所成角的正弦值。        【解析】(1)點在棱上，時，平面，在棱上取一點，使，連接、，如圖，∵在中，、，∴，由題意可知，，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵、，，，∴平面平面，又平面，故平面；(2)取棱的中點，連接、，則，，∵平面平面，平面平面，又∵平面，，∴平面，以為坐標(biāo)原點，、、為、、、軸如圖建系，設(shè)，則、、、，∴，，設(shè)平面的法向量為，∴則，即，取，則、，∴，設(shè)點，∵，，∴，∴，，設(shè)直線與平面所成角的平面角為，則，∴直線與平面所成角的正弦值為。

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