平行四邊形的判定方法有哪些？
在筆直的鐵軌上,夾在鐵軌之間的平行枕木是否一樣長?你能說明理由嗎?
活動探究1：做一做 :小組活動，回答下列問題。（小組討論，3min）
一樣長，在鐵軌之間的平行枕木之間構(gòu)成許多平行四邊形，平行四邊形對邊相等
例3 已知：如圖，直線a∥b，A、B是直線a上任 意兩點，AC⊥b，BD⊥b，垂足分別 為C、D。 求證：AC=BD.
證明：∵ AC⊥CD，BD⊥CD， ∴∠1=∠2=90° ∴AC∥BD ∵AB∥CD ∴四邊形ACDB是平行四邊形 （平行四邊形的定義） ∴AC=BD（平行四邊形的對邊相等）
如果兩條直線互相平行，則其中一條直線上任兩點到另一條直線的距離，這個距離稱為平行線之間的距離。
夾在兩條平行線間的平行線段相等。
夾在兩條平行線間的平行線段一定相等嗎？
從上例得到：如果兩條直線互相平行，則其中一條直線上的任意兩點到另一條直線的距離相等，這個距離稱為平行線之間的距離
兩條平行線間的距離處處相等。
思考：若垂線段改為夾在兩條平行線段間的平行線段呢？它們是否相等呢？
兩條平行線段間的平行線段相等
活動探究2：做一做 :以方格紙的格點為頂點畫出幾個平行四邊形，說出你畫圖的道理。（小組討論，3min）
例1 ．如圖6-16,在平行四邊形ABCD中,點M、N分別是AD、BC上的兩點，點E、F在對角線BD上，且DM=BN，BE=DF.求證：四邊形MENF是平行四邊形.
證明: ∵四邊形ABCD是平行四邊形 ∴AD∥CB ∴∠MDF=∠NBE 又∵DM=BN DF=BE ∴△MDF≌△NBE ∴MF=EN ∠MFD=∠NEB ∴∠MFE=∠NEF ∴MF∥EN ∴四邊形MENF是平行四邊形
例2 ：如圖,直線AE//BD,點C在BD上，若AE=5，BD=8，三角形ABD的面積是16，則三角形ACE的面積是多少？
解:過點A作AF垂直于BD于點F，所以三角形SABD =16，BD=8所以，1/2BD.AF=1/2X8XAF=16解得，AF=4因為AE//BD所以AF的長是三角形ACE的高，所以三角形SACE=1/2XAEX4=1/2X5X4=10
變式1：在 ABCD 中，AD=40，CD=30，∠B=60°，則BC=_____ ;AB= _______;∠A=_______, ∠C=______ , ∠D=_______.
變式2：如圖：平行四邊形ABCD中，∠ABC=700，∠ABC的平分線交AD于點E,過 D作BE的平行線交BC于點F ,求∠CDF的度數(shù).
證明: ∵四邊形ABCD是平行四邊形∴ ∠ABC+ ∠DCB=1800∴ ∠DCB=1100∵BE平分∠ABC∴∠ABE=∠EBC=350∵ FD∥EB ∴∠EBC=∠DFC=350 ∴∠FDC=350
如圖所示，（1）已知D是等腰△ABC底邊BC上一點，DE∥AC，交AB于點E．DF∥AB，交AC于點F．請你探究DE、DF、AB之間的關系，并說明理由．（2）如圖2所示，已知D是等腰△ABC底邊BC延長線上一點，DE∥AC，交BA的延長線于點E．DF∥AB，交AC的延長線于點F．請你探究DE、DF、AB之間的關系，并說明理由． 　　　　　　　　　　　
解：（1）DE＋DF＝AB． 　　　　 理由如下：因為DE∥AC，DF∥AB， 　　　　 所以由平行四邊形的定義可得四邊形AEDF是平行四邊形， 　　　　 所以DF＝AE． 　　　　 又因為△ABC是等腰三角形，所以∠B＝∠C． 　　　　 因為DE∥AF，所以∠C＝∠EDB． 　　　　 所以∠B＝∠EDB．所以△BDE是等腰三角形，所以BE＝DE， 　　　　 所以DE＋DF＝BE＋AE＝AB． 　　　　
（2）若D在BC的延長線上，則(1)中的結(jié)論不成立，正確結(jié)論是DE－DF＝AB 　　　　 理由如下：因為DE∥AC，DF∥AB， 　　　　 所以四邊形AFDE是平行四邊形． 　　　　 所以DF＝AE，DE＝AF． 　　　　 因為△ABC是等腰三角形，所以∠B＝∠ACB． 　　　　 又因為∠ACB＝∠FCD，所以∠B＝∠FCD． 　　　　 又因為AB∥DF，所以∠B＝∠FDC．所以∠FCD＝∠FDC， 所以DF＝FC， 　　　　 所以DE－DF＝AF－CF＝AC＝AB．
1、邊：對邊相等且平行
4、對稱性：是中心對稱圖形.
3、對角線：對角線互相平分
2、角：對角相等，鄰角互補
5、夾在兩條平行線間的平行線段相等。6、兩條平行線間的距離處處相等。
6.2.3 平行四邊形的判定（三）
1、如果兩條直線互相平行，則其中一條直線上任兩點到另一條直線的距離，這個距離稱為平行線之間的距離。2、夾在兩條平行線間的平行線段相等。3、兩條平行線間的距離處處相等。

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初中數(shù)學北師大版（2024）八年級下冊電子課本

2 平行四邊形的判定

版本： 北師大版（2024）

年級： 八年級下冊

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