判定四邊形是平行四邊形的方法有哪些？
（1）兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形.（2）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形. （3）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形.
活動(dòng)：有一名同學(xué)將兩根木條的中點(diǎn)重疊，并用釘子固定，得到如圖的四邊形，你認(rèn)為這個(gè)四邊形是平行四邊形嗎？
活動(dòng)探究：做一做 :小組活動(dòng)，回答下列問題。（小組討論，3min）
現(xiàn)在將你手中兩根長(zhǎng)度不等的細(xì)木條擺放在一張紙上，能否使得這兩根細(xì)木條的四個(gè)端點(diǎn)恰好是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)呢?做一做，與同伴交流．
已知:如圖6-12,四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,并且OA=OC,OB=OD.求證:四邊形ABCD是平行四邊形.
證明: ∵ OA=OC,OD=OB, ∠AOD=∠COB, ∴ △AOD≌△COB. ∴ AD=CB,∠ADO=∠CBO, ∵ ∠ADO=∠CBO ∴ AD∥CB ∵ AD=CB且AD∥CB ∴ 四邊形ABCD是平行四邊形.（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）
思考：以上活動(dòng)事實(shí),能用文字語(yǔ)言表達(dá)嗎？
平行四邊形判定定理3：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。
以上定理轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語(yǔ)言是如圖∵ OA=OC,OB=OD∴ 四邊形ABCD是平行四邊形.
例2:已知,如圖6-13(1),在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F在對(duì)角線AC上，并且AE=CF．求證:四邊形BFDE是平行四邊形嗎？
證明: 如圖,連接BD，交AC于點(diǎn)O. ∵ 四邊形ABCD是平行四邊形 ∴ OA=OC,OB=OD. 又∵AE=CF ∴OA-AE=OC-CF,即OE=OF. ∴四邊形BFDE是平行四邊形.?。▽?duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形）
如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，E、F分別是OA和OC的中點(diǎn)，四邊形BFDE是平行四邊形嗎？請(qǐng)說明理由。
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形 ∴OD=OB,OA=OC ∵E、F分別是AO、CO的中點(diǎn) ∴OE= OA,OF= OC ∴OE=OF ∴四邊形BFDE是平行四邊形(對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形)
變式2：若E、F移至OA、OC的延長(zhǎng)線上，且AE=CF，結(jié)論有改變嗎？為什么？
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形 ∴OD=OB,OA=OC ∵ AE=CF ∴OE=OA+AE,OF=OC+CF ∴OE=OF ∴四邊形BFDE是平行四邊形(對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形)
判斷下列說法是否正確。兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形。（ ）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形。（ ）一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形。（ ）兩組對(duì)角分別向等的四邊形是平行四邊形。（ ）對(duì)角線相等的四邊形是平行四邊形。（ ）
變式3： 下列條件中，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（ ）A、∠DAB=∠BCD，∠ABC=∠ADCB. AO=OC , BO=ODC.∠BAD+∠ABC=180o ，∠ABC+∠BCD=180 oD.AC=BD
變式4：下列條件中能判定一個(gè)四邊形是平行四邊形的條件是（ ）①一組對(duì)邊相等，且一組對(duì)角相等，②一組對(duì)邊相等且一條對(duì)角線平分另一條對(duì)角線，③一組對(duì)角相等，且這一組對(duì)角的頂點(diǎn)所連結(jié)的對(duì)角線被另一條對(duì)角線平分，④對(duì)角線互相平分的四邊形。A、①和② B、②和③C、②和④ D、只有④
如圖所示， ABCD中，延長(zhǎng)AB到E，延長(zhǎng)CD到F，使得BE＝DF．求證：AC與EF互相平分．
　　證明： 連接AF、CE，平行四邊形ABCD中 ,AB＝DC，AE∥CF． 　　　 　 ∴ ∠CFE＝∠AEF． 　　　 　 又∵ DF＝BE，∴ CF＝AE， 　　　 　 而EF＝FE，∴ △CFE≌△AEF， 　　　 　 ∴ ∠CEF＝∠AFE，∴ CE∥AF， 　　　 　 ∴ 四邊形AECF是平行四邊形． 　　　 　 即AC與EF互相平分．
1、兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形。
2、兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形。
3、一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。4、對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。
判定一個(gè)四邊形是平行四邊形的方法：
定義、兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形。定理1、兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形。定理2、一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。定理3、對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。
6.2.2 平行四邊形的判定（二）

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初中數(shù)學(xué)北師大版（2024）八年級(jí)下冊(cè)電子課本

2 平行四邊形的判定

版本： 北師大版（2024）

年級(jí)： 八年級(jí)下冊(cè)

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