幾何模型1：兩定一動(dòng)型（兩點(diǎn)之間線段最短）             圖一                             圖二   幾何模型2：兩動(dòng)一定型（兩點(diǎn)之間線段最短）此處M、N均為折點(diǎn)，分別作點(diǎn)P關(guān)于OA（折點(diǎn)M所在直線）、OB（折點(diǎn)N所在直線）的對(duì)稱點(diǎn)，化折線段PM+MN+NP為P’M+MN+NP’’，當(dāng)P’、M、N、P’’共線時(shí)，△PMN周長(zhǎng)最?。?/span>幾何模型3（1）：兩定兩動(dòng)型（兩點(diǎn)之間線段最短）在OA、OB上分別取點(diǎn)M、N使得四邊形PMNQ的周長(zhǎng)最小。考慮PQ是條定線段，故只需考慮PM+MN+NQ最小值即可，類似，分別作點(diǎn)P、Q關(guān)于OA、OB對(duì)稱，化折線段PM+MN+NQ為P’M+MN+NQ’，當(dāng)P’、M、N、Q’共線時(shí)，四邊形PMNQ的周長(zhǎng)最小。幾何模型3（2）：兩定兩動(dòng)型（將軍過(guò)橋）（兩點(diǎn)之間線段最短）圖1                   圖2             圖3【將軍過(guò)橋】已知將軍在圖1中點(diǎn)A處，現(xiàn)要過(guò)河去往B點(diǎn)的軍營(yíng)，橋必須垂直于河岸建造，問(wèn)：橋建在何處能使路程最短？考慮MN長(zhǎng)度恒定，只要求AM+NB最小值即可．問(wèn)題在于AM、NB彼此分離，所以首先通過(guò)平移，使AM與NB連在一起，將AM向下平移使得M、N重合，此時(shí)A點(diǎn)落在A’位置（如圖2）．問(wèn)題化為求A’N+NB最小值，顯然，當(dāng)共線時(shí)，值最小，并得出橋應(yīng)建的位置（如圖3）．幾何模型4：一定兩動(dòng)型（點(diǎn)線之間垂線段最短）在OA、OB上分別取M、N使得PM+MN最小。此處M點(diǎn)為折點(diǎn)，作點(diǎn)P關(guān)于OA對(duì)稱的點(diǎn)P’，將折線段PM+MN轉(zhuǎn)化為P’M+MN，即過(guò)點(diǎn)P’作OB垂線分別交OA、OB于點(diǎn)M、N，得PM+MN最小值（點(diǎn)到直線的連線中，垂線段最短）【典型例題】1、傳說(shuō)在古羅馬時(shí)代的亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫。一天，一位將軍專程去拜訪他，想他請(qǐng)叫一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題。將軍每天都從軍營(yíng)A出發(fā)（如圖），先到河邊C處飲馬，然后再去河岸的同側(cè)B開(kāi)會(huì)，他應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？ 據(jù)說(shuō)當(dāng)時(shí)海輪略加思索就解決了它。【答案】答案見(jiàn)解析【解析】根據(jù)在直線上的同側(cè)有兩個(gè)點(diǎn)，在直線上有到的距離之和最短的點(diǎn)存在，可以通過(guò)軸對(duì)稱來(lái)確定，即作出其中一點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，對(duì)稱點(diǎn)與另一點(diǎn)的連線與直線的交點(diǎn)就是所要找的點(diǎn)．試題解析：如圖所示，從點(diǎn)出發(fā)向河岸引垂線，垂足為，在的延長(zhǎng)線上取點(diǎn) 關(guān)于河岸的對(duì)稱點(diǎn)連接，與河岸相交于點(diǎn)，則點(diǎn)就是飲馬的地方，將軍只要從點(diǎn)出發(fā)，沿著直線走到，飲馬后，再由點(diǎn)沿直線走到,所走的路程就是最短的.要解決此題應(yīng)先利用軸對(duì)稱把兩條線段轉(zhuǎn)化到同一條直線上來(lái)，再利用“兩點(diǎn)之間線段最短”這一性質(zhì)來(lái)求解.點(diǎn)撥：兩點(diǎn)之間，線段最短.舉一反三：【變式1】某班級(jí)在探究“將軍飲馬問(wèn)題”時(shí)抽象出數(shù)學(xué)模型：直線同旁有兩個(gè)定點(diǎn)A、B，在直線上存在點(diǎn)P，使得PA十PB的值最?。夥ǎ喝鐖D1，作點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'B， 則A'B與直線的交點(diǎn)即為P，且PA＋PB的最小值為A'B．請(qǐng)利用上述模型解決下列問(wèn)題；（1）如圖2，ΔABC中，∠C=90°，E是AB的中點(diǎn)，P是BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，作出點(diǎn)P，使得PA＋PE的值最?。?/span>（2）如圖3，∠AOB=30°，M、N分別為OA、OB上一動(dòng)點(diǎn)，若OP=5，求ΔPMN的周長(zhǎng)的最小值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）ΔPMN的周長(zhǎng)的最小值為【分析】（1）作點(diǎn)A關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交BC于P，根據(jù)“將軍飲馬問(wèn)題”得到PA+PE的最小值為；（2）作點(diǎn)P關(guān)于直線OA的對(duì)稱點(diǎn)，作點(diǎn)這P關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)，連接，分別交OA、OB于M、N，根據(jù)“將軍飲馬問(wèn)題”得到ΔPMN的周長(zhǎng)的最小值為，利用等邊三角形的判定和性質(zhì)即可求解．解答：（1）作點(diǎn)A關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交BC于P，如圖所示，點(diǎn)P即為所求；（2）作點(diǎn)P關(guān)于直線OA的對(duì)稱點(diǎn)，作點(diǎn)這P關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)，連接，分別交OA、OB于M、N，如圖：根據(jù)“將軍飲馬問(wèn)題”得到ΔPMN的周長(zhǎng)的最小值為，由軸對(duì)稱的性質(zhì)得：∠FOA=∠AOP，∠POB=∠GOB，OP=OF，OP=OG，∵∠AOP+∠POB=∠AOB=30，OP= 5，∴∠FOG=∠FOA+∠AOP+∠POB+∠GOB=2，OF=OG=5，∴△FOG為邊長(zhǎng)為5的等邊三角形，，答：ΔPMN的周長(zhǎng)的最小值為．【點(diǎn)撥】本題考查了軸對(duì)稱－最短路線問(wèn)題、等邊三角形的判定和性質(zhì)，將實(shí)際問(wèn)題抽象或轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)作出對(duì)稱點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式2】將軍要檢閱一隊(duì)士兵，要求(如圖所示)：隊(duì)伍長(zhǎng)為a，沿河OB排開(kāi)(從點(diǎn)P到點(diǎn)；將軍從馬棚M出發(fā)到達(dá)隊(duì)頭P，從P至Q檢閱隊(duì)伍后再趕到校場(chǎng)N．請(qǐng)問(wèn)：在什么位置列隊(duì)(即選擇點(diǎn)P和Q)，可以使得將軍走的總路程MP＋PQ＋QN最短?【答案與解析】見(jiàn)下圖作法：作N關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)，再作∥BO且＝(在的左側(cè))；連接交OB于點(diǎn)P，再在OB上取點(diǎn)Q使得PQ＝(Q在P的右側(cè))，此時(shí)，MP＋PQ＋QN最?。?/span>【點(diǎn)撥】：MP＋PQ＋QN最小，其中PQ是定值，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為MP＋QN最小.因?yàn)閷④娨睾幼咭欢尉€段，如果能把這段提前走掉就可以轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題了，于是考慮從沿平行的方向走至，連接即可.2、如圖，牧馬人從地出發(fā)，先到草地邊的某處點(diǎn)牧馬，再到河邊的某處點(diǎn)飲馬，然后回到處，若從到走的是最短路徑，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，設(shè)銳角，則的的大小為______.（用含的式子表示）【答案】.【分析】先求出∠NCD+∠NDC=，由MN垂直平分，EF垂直平分，則有∠NCD=∠NCG，∠NDC=∠NDI，則，，則得到，即可得到.解：根據(jù)題意，如圖，最短距離為：.在△NCD中，∠NCD+∠NDC=，∵M(jìn)N垂直平分，EF垂直平分，∴MN平分，即MN平分，則∠NCD=∠NCG；EF平分，即EF平分，則∠NDC=∠NDI；∴，，∴；由三角形內(nèi)角和定理，得：；故答案為：.【點(diǎn)撥】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，以及最短距離問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握軸對(duì)稱性質(zhì)求最短距離.【變式1】在某一地方，有條小河和草地，一天某牧民的計(jì)劃是從A處的牧場(chǎng)牽著一只馬到草地牧馬，再到小河飲馬，你能為他設(shè)計(jì)一條最短的路線嗎？（在N上任意一點(diǎn)即可牧馬，M上任意一點(diǎn)即可飲馬．）（保留作圖痕跡，需要證明）【解析】試題分析:作點(diǎn)A關(guān)于草地所在直線的對(duì)稱點(diǎn)E,作點(diǎn)B關(guān)于小河所在直線的對(duì)稱點(diǎn)F,連接EF,交河流所在直線于點(diǎn)D,交草地所在直線于點(diǎn)C,連接AC,CD,DB,根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì),AC+CD+DB的最小值即為EF的長(zhǎng).試題解析:沿AC－CD－DB路線走是最短的路線如圖（1）所示:證明:在ON上任意取一點(diǎn)T,在OM上任意取一點(diǎn)R,連接FR,BR,RT,ET,AT,∵A,E關(guān)于ON對(duì)稱,∴AC＝EC,同理BD＝FD,FR＝BR,AT＝ET,∴AC＋CD＋DB＝EC＋CD＋FD＝EF,AT＋TR＋BR＝ET＋TR＋FR,∵ET＋TR＋FR＞EF,∴AC＋CD＋DB＜AT＋TR＋BR,即沿AC－CD－DB路線走是最短的路線,【變式2】如圖，牧馬人從A地出發(fā)，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到B處，請(qǐng)畫(huà)出最短路徑． 【分析】作出點(diǎn)A的關(guān)于草地的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)B的關(guān)于河岸的對(duì)稱點(diǎn)，連接兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，交于草地于點(diǎn)Q，交河邊于點(diǎn)P，連接AQ，BP，則AQ＋PQ＋BP是最短路線．解答：如圖所示AQ＋PQ＋BP為所求．【點(diǎn)撥】本題主要考查對(duì)稱線段的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，軸對(duì)稱?最短路線問(wèn)題等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能正確畫(huà)圖和根據(jù)畫(huà)圖條件進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．

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