【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1. 會(huì)進(jìn)行單項(xiàng)式的乘法,單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法,多項(xiàng)式的乘法計(jì)算．
2. 掌握整式的加、減、乘、乘方的較簡(jiǎn)單的混合運(yùn)算，并能靈活地運(yùn)用運(yùn)算律簡(jiǎn)化運(yùn)算.
3. 理解并掌握多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則及其應(yīng)用。
【要點(diǎn)梳理】
要點(diǎn)一、單項(xiàng)式的乘法法則
單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它們的指數(shù)作為積的一個(gè)因式.
特別說明：（1）單項(xiàng)式的乘法法則的實(shí)質(zhì)是乘法的交換律和同底數(shù)冪的乘法法則的綜合應(yīng)用.
（2）單項(xiàng)式的乘法方法步驟：積的系數(shù)等于各系數(shù)的積，是把各單項(xiàng)式的系數(shù)交換到一起進(jìn)行有理數(shù)的乘法計(jì)算，先確定符號(hào)，再計(jì)算絕對(duì)值；相同字母相乘，是同底數(shù)冪的乘法，按照“底數(shù)不變，指數(shù)相加”進(jìn)行計(jì)算；只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，要連同它的指數(shù)寫在積里作為積的一個(gè)因式.
（3）運(yùn)算的結(jié)果仍為單項(xiàng)式，也是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)這三部分組成.
（4）三個(gè)或三個(gè)以上的單項(xiàng)式相乘同樣適用以上法則.
要點(diǎn)二、單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則
單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.
即.
特別說明：（1）單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的計(jì)算方法，實(shí)質(zhì)是利用乘法的分配律將其轉(zhuǎn)化為多個(gè)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的問題.
（2）單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘積仍是一個(gè)多項(xiàng)式，項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同.
（3）計(jì)算的過程中要注意符號(hào)問題，多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)包括它前面的符號(hào)，同時(shí)還要注意單項(xiàng)式的符號(hào).
（4）對(duì)混合運(yùn)算，應(yīng)注意運(yùn)算順序，最后有同類項(xiàng)時(shí)，必須合并，從而得到最簡(jiǎn)的結(jié)果.
要點(diǎn)三、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則
多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.即.
特別說明：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，仍得多項(xiàng)式.在合并同類項(xiàng)之前，積的項(xiàng)數(shù)應(yīng)該等于兩個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)之積.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的最后結(jié)果需化簡(jiǎn)，有同類項(xiàng)的要合并.特殊的二項(xiàng)式相乘：.
要點(diǎn)四、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則
有同類項(xiàng)的要合并
根據(jù)除法是乘法的逆運(yùn)算可知，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則的實(shí)質(zhì)是把多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式的除法運(yùn)算。
即：，故多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則也可以看做是乘法對(duì)加法的分配律的應(yīng)用。

【典型例題】
類型一、單項(xiàng)式相乘
1．計(jì)算:

【答案】．
【分析】首先算積的乘方,再進(jìn)行單項(xiàng)式的乘法,最后合并同類項(xiàng)．
解：

【點(diǎn)撥】本題主要考查了整式的運(yùn)算，熟記相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
舉一反三：
【變式1】先化簡(jiǎn)，再求值：，其中
【答案】，56
【分析】直接利用整式的混合運(yùn)算法則計(jì)算進(jìn)而把已知代入得出答案．
解：
=
=
當(dāng)時(shí)，
原式==56．
【點(diǎn)撥】此題主要考查了整式的混合運(yùn)算，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
【變式2】
【答案】
【分析】先算乘方，再算乘法即可．
解：原式=
=．
【點(diǎn)撥】本題考查了積的乘方，以及單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的乘法，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．
【變式3】計(jì)算：．
【答案】
【分析】根據(jù)積的乘方與單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，即可求解．
解：

．
【點(diǎn)撥】本題考查了整式的運(yùn)算，掌握積的乘方、單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
類型二、單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式
2．若，求的值．
【答案】246
【分析】將原式變形為只含有的形式，再代入計(jì)算．
解：原式



當(dāng)時(shí)代入，
原式=

【點(diǎn)撥】本題考查了代數(shù)式求值，整式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件將所求代數(shù)式靈活變形．
舉一反三：
【變式1】化簡(jiǎn)：
（1）； （2）．
【答案】(1) ，(2) .
【分析】(1) 利用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式化簡(jiǎn)，后合并同類項(xiàng)即可；
(2)利用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，積的乘方，進(jìn)行化簡(jiǎn)，后合并同類項(xiàng).
解：(1) 原式=
=；
(2) 原式=
=.
【點(diǎn)撥】本題考查了代數(shù)式的化簡(jiǎn)，熟練掌握單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，各種計(jì)算公式，合并同類項(xiàng)是解題的關(guān)鍵.
【變式2】計(jì)算：（1） （2）
【答案】（1）；（2）．
【分析】根據(jù)單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的乘法則和多項(xiàng)式除單項(xiàng)式的除法法則進(jìn)行計(jì)算即可求解．
解：（1）原式

（2）原式

【點(diǎn)撥】本題考查了整式的乘除運(yùn)算，正確掌握單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的乘法則和多項(xiàng)式除單項(xiàng)式的除法法則是解題的關(guān)鍵．
【變式3】計(jì)算
（1）； （2）
【答案】（1）6x3y4z3；（2）-11x9＋3x3y2
【分析】（1）直接利用單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式運(yùn)算法則計(jì)算得出答案；
（2）直接利用積的乘方運(yùn)算法則以及單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．
解：（1）2x2yz3xy3z2
＝6x3y4z3；
（2）（-2x3）3-3x3（x6-y2）
＝-8x9-3x9＋3x3y2
＝-11x9＋3x3y2．
【點(diǎn)撥】此題主要考查了單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式、積的乘方運(yùn)算以及單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
類型三、多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式
3．若，求的值．
【答案】-8
【分析】直接利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式運(yùn)算法則，得出a，b的值，進(jìn)而計(jì)算得出答案．
解：（2x-2）（x+3）
=2x2+6x-2x-6
=2x2+4x-6
=2x2+ax+b，
故a=4，b=-6，
∴a2+ab=42+4×（-6）
=16-24
=-8．
【點(diǎn)撥】此題主要考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
舉一反三：
【變式1】
【答案】
【分析】根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則計(jì)算即可．
解：原式＝x2＋5x?14?2（6＋x?x2）
＝x2＋5x?14?12?2x＋2x2
＝3x2＋3x?26．
【點(diǎn)撥】本題考查多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，關(guān)鍵是根據(jù)法則計(jì)算．
【變式2】計(jì)算：
【答案】
【分析】去括號(hào)依次展開即可，．
解：
故答案為：．
【點(diǎn)撥】本題考查整式的運(yùn)算，依次去括號(hào)即可，屬于基礎(chǔ)題型．
【變式3】計(jì)算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根據(jù)整式的乘法運(yùn)算法則即可求解；
（2）根據(jù)整式的乘法運(yùn)算法則即可求解．
解： （1）原式
．
（2）原式．
【點(diǎn)撥】此題主要考查整式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟知其運(yùn)算法則．
類型四、多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式
4．計(jì)算：
【答案】
【分析】根據(jù)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則計(jì)算即可．
解：
=
【點(diǎn)撥】本題考查了多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，解題的關(guān)鍵是掌握運(yùn)算法則．
舉一反三：
【變式1】先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，．
【答案】，0
【分析】利用多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則計(jì)算，再將x和y值代入計(jì)算．
解：
=
將，代入，
原式==0．
【點(diǎn)撥】本題主要考查了整式的混合運(yùn)算-化簡(jiǎn)求值，熟練掌握整式的=運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．
【變式2】（1）當(dāng)時(shí)，求下列各式的值：
① ②
（2）通過計(jì)算，你發(fā)現(xiàn)了什么？你能計(jì)算下列各式嗎？
③ ④．
【答案】（1）①11；②11；（2）多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別除以單項(xiàng)式，再把所得的商相加；③4x2+2x-；④m2-+n
【分析】（1）①直接利用多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式運(yùn)算法則求出答案；
②直接利用單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式運(yùn)算法則求出答案；
（2）③直接利用多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式運(yùn)算法則求出答案
④直接利用多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式運(yùn)算法則求出答案．
解：（1）①（21a3-7a2+7a）÷7a
=3a2-a+1，
把a(bǔ)=2代入上式可得：
原式=3×22-2+1=11；
②21a3÷7a-7a2÷7a+7a÷7a
=3a2-a+1，
把a(bǔ)=2代入上式可得：
原式=3×22-2+1=11；
（2）通過計(jì)算，發(fā)現(xiàn)了多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別除以單項(xiàng)式，再把所得的商相加．
③（24x3+12x2-4x）÷6x
=4x2+2x-；
④（5m3n-4mn+3mn2）÷3mn
=m2-+n．
【點(diǎn)撥】此題主要考查了整式的除法運(yùn)算以及代數(shù)式求值，正確掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
【變式3】先化簡(jiǎn)，再求值：[（3x﹣y）2﹣（x+2y）（x﹣2y）﹣5y2]÷（﹣2x），其中．
【答案】﹣4x+3y，﹣8．
【分析】先根據(jù)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式對(duì)原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再根據(jù)平方式和算術(shù)平方根的非負(fù)性求出x和y的值，再代入原式求值．
解：原式＝（9x2﹣6xy+y2﹣x2+4y2﹣5y2）÷（﹣2x）
＝（8x2﹣6xy）÷（﹣2x）
＝﹣4x+3y，
∵，
∴x﹣5＝0，4y﹣16＝0，
解得：x＝5，y＝4，
故原式＝﹣20+12＝﹣8．
【點(diǎn)撥】本題考查多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，平方式和算術(shù)平方根的非負(fù)性，解題的關(guān)鍵是掌握多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則，以及平方式和算術(shù)平方根的非負(fù)性．
類型五、多項(xiàng)式乘積中不含某個(gè)字母
5．若多項(xiàng)式的展開式不含項(xiàng)和項(xiàng)，試求m、n的值．
【答案】m=3，n=5
【分析】先根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則展開，再合并同類項(xiàng)，將項(xiàng)和項(xiàng)的系數(shù)為0列方程組求解即可．
解：原式=x4-3x3+4x2+mx3-3mx2+4mx+nx2-3nx+4n，
=x4+（m-3）x3+（4-3m+n）x2+（4m-3n）x+4n．
由題意得m-3=0，4-3m+n=0，
解得m=3，n=5．
【點(diǎn)撥】本題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
舉一反三：
【變式1】若關(guān)于x的多項(xiàng)式的展開式中不含項(xiàng)，求的值．
【答案】16
【分析】將多項(xiàng)式展開，合并同類項(xiàng)，根據(jù)不含項(xiàng)得到m值，再代入計(jì)算．
解：原式


由題意得，
∴，
∴原式．
【點(diǎn)撥】本題考查了整式的混合運(yùn)算和求值，多項(xiàng)式的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)整式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，難度不是很大．
【變式2】若的積中不含x項(xiàng)與項(xiàng)
（1）求p、q的值；
（2）求代數(shù)式的值
【答案】（1），；（2）3
【分析】（1）先用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則展開求它們的積，并且把p、q看作常數(shù)合并關(guān)于x的同類項(xiàng)，令x2及x的系數(shù)為0，分別求出p、q的值．
（2）把p、q的值代入求解即可．
解：（1）
=
=
又∵式子展開式中不含x2項(xiàng)和x項(xiàng)，
∴，
解得，，
（2）當(dāng)，時(shí)，
【點(diǎn)撥】本題主要考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算，注意當(dāng)要求多項(xiàng)式中不含有哪一項(xiàng)時(shí)，應(yīng)讓這一項(xiàng)的系數(shù)為0．
【變式3】多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘積中，不含的項(xiàng)，也不含的項(xiàng)，求的值．
【答案】．
【分析】根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)原式，令x4和x3的系數(shù)為0求得a、b值，即可求解．
解：
．
∵兩多項(xiàng)式乘積中不含的項(xiàng)，也不含的項(xiàng)，
∴①，②，
聯(lián)立①②，解得，，
∴．
【點(diǎn)撥】本題考查多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式運(yùn)算法則、代數(shù)式求值、解二元一次方程組，解答的關(guān)鍵熟練掌握多項(xiàng)式中不含某一項(xiàng)時(shí)，只需這一項(xiàng)系數(shù)為0即可．
類型六、多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式中的化簡(jiǎn)求值
6．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
【答案】；
【分析】多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式展開，合并同類項(xiàng)對(duì)整式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后再代值求解即可．
解：
，
，
，
當(dāng)時(shí)，原式．
【點(diǎn)撥】本題主要考查整式的乘法運(yùn)算，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式展開，合并同類項(xiàng)代入求值，熟練掌握整式的乘法運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
舉一反三：
【變式1】先化簡(jiǎn)，再求值：(x﹣1)2+(x+2)(x﹣2)+(x﹣3)(x﹣1)，其中x2﹣2x﹣3＝0．
【答案】3x2﹣6x，9．
【分析】直接利用整式的混合運(yùn)算化簡(jiǎn)合并同類項(xiàng)，再把已知變形整體代入得出答案．
解：原式＝x2﹣2x+1+x2﹣4+x2﹣x﹣3x+3
＝3x2﹣6x，
∵x2﹣2x﹣3＝0，
∴x2﹣2x＝3，
∴原式＝3（x2﹣2x）
＝3×3
＝9．
【點(diǎn)撥】本題考查了整式的混合運(yùn)算，掌握整體代入是解題的關(guān)鍵．
【變式2】先化簡(jiǎn)，再求值：（x-2y）2 -（x-y）（x+y）- 5y2，其中xy=0.5
【答案】；-2
【分析】利用乘法公式展開，合并同類項(xiàng)，整體代入求值即可．
解：原式，
，
，
當(dāng)xy = 0.5時(shí)，
原式，
．
【點(diǎn)撥】本題主要考查了整式的混合運(yùn)算，正確運(yùn)用乘法公式是解題關(guān)鍵．
【變式3】先化簡(jiǎn)，再求值．
（1），其中，．
（2）已知，求的值．
【答案】（1），36；（2），44
【分析】（1）先算積的乘方同時(shí)計(jì)算中括號(hào)內(nèi)的單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，合并同類項(xiàng)，再算單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，賦值，計(jì)算即可；
（2）先利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則展開，合并同類項(xiàng)，再整理，將條件整體代入求值即可．
解：（1），
，
，
，
把，，
原式，
，
，
；
（2），
，
，
，
∵，
∴，
原式．
【點(diǎn)撥】本題考查整式乘除乘方混合運(yùn)算化簡(jiǎn)求值問題，掌握整式冪指數(shù)運(yùn)算法則，整式乘法與加減混合運(yùn)算的順序是解題關(guān)鍵．
類型七、
7．計(jì)算：（x-2)(x+1)-2(x-3)(x+2).
【答案】-x2+x+10
【分析】先利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則將（x-2)(x+1)和-2(x-3)(x+2)展開，然后合并同類項(xiàng)即可
解：（x-2)(x+1)-2(x-3)(x+2)
=x2-x-2-2（x2-x-6）
= x2-x-2-2x2+2x+12
=-x2+x+10
【點(diǎn)撥】此題考查的是整式的乘法和加減法，掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則、去括號(hào)法則和合并同類項(xiàng)法則是解決此題的關(guān)鍵.
舉一反三：
【變式1】（a﹣2）（a+3）
【答案】a2+a﹣6．
【解析】
【分析】根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則計(jì)算即可.
解：原式=a2+3a﹣2a﹣6 =a2+a﹣6．
【點(diǎn)撥】本題考查了多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算，多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.
【變式2】閱讀材料：
，．這說明多項(xiàng)式能被整除，同時(shí)也說明多項(xiàng)式有一個(gè)因式為；另外，當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式的值為零．
根據(jù)上述信息，解答下列問題：
（1）根據(jù)上面的材料猜想：已知一個(gè)多項(xiàng)式有因式，則說明該多項(xiàng)式能被______整除，當(dāng)時(shí)，該多項(xiàng)式的值為_______；
（2）探索規(guī)律：一般地，如果一個(gè)關(guān)于的多項(xiàng)式，當(dāng)時(shí)，的值為，試確定與代數(shù)式之間的關(guān)系；
（3）應(yīng)用：已知能整除，利用上面的信息求出的值．
【答案】（1）x-2；0；（2）M能被整除；（3）
【分析】（1）直接根據(jù)題干中的規(guī)律即可填寫；
（2）多項(xiàng)式為0，說明該式子是多項(xiàng)式的因式；
（3）根據(jù)規(guī)律，可知x－2是多項(xiàng)式的因式，即x=2時(shí)，多項(xiàng)式為0，據(jù)此可求得k的值．
解：（1）讀題可知規(guī)律：一個(gè)多項(xiàng)式有一個(gè)因式，則說明該多項(xiàng)式能被該因式整除，且當(dāng)這個(gè)因式為0時(shí)，該多項(xiàng)式為0
∴答案為：；
（2）∵x=k時(shí)，多項(xiàng)式為0
∴x－k是多項(xiàng)式的因式
∴M能被整除；
（3）能整除，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，
解得：
【點(diǎn)撥】本題考查學(xué)習(xí)能力，解題關(guān)鍵是讀懂題意，現(xiàn)場(chǎng)學(xué)習(xí)多項(xiàng)式與因式的關(guān)系．
【變式3】
類型八、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式中的面積問題
8．如圖，某市有一塊長(zhǎng)方形地塊用來建造住宅、廣場(chǎng)和商廈.住宅用地長(zhǎng)為米，寬為米，廣場(chǎng)長(zhǎng)為米，寬為米．

（1）這塊用地總的面積是多少平方米？
（2）求出當(dāng)，時(shí)商廈的用地面積．
【答案】（1）用地總面積為20a2+4ab平方米；（2）商廈的用地面積為3平方米．
【分析】（1）根據(jù)矩形的面積公式即可列式求解；
（2）根據(jù)商廈的用地面積=（2a-b）(4a-3a)，利用整式的乘法化簡(jiǎn)，代入a，b即可求解．
解：(1)用地總面積=[(3a+2b)+(2a-b)](4a)
=(5a+b)4a
=20a2+4ab；
(2)商廈的用地面積=（2a-b）(4a-3a)
=2a2-ab
當(dāng)a=3，b=5時(shí)，原式2×9-15=3．
【點(diǎn)撥】此題主要考查整式的乘法運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列式求解．
舉一反三：
【變式1】如圖1，有、、三種不同型號(hào)的卡片，其中型卡片是邊長(zhǎng)為的正方形，型卡片是邊長(zhǎng)為的正方形，型卡片是長(zhǎng)為、寬為的長(zhǎng)方形．

（1）小明選取4張型卡片在紙上按圖2的方式拼圖，剪出中間的正方形型卡片，由此可驗(yàn)證的等量關(guān)系為__________；
（2）小亮想用這三種卡片拼成一個(gè)如圖3所示的長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形，那么需要型卡片2張，型卡片____________張，型卡片___________張，并在圖3中畫出一種拼法．（圖中標(biāo)上卡片型號(hào)）
【答案】（1）；（2）1，3
【分析】（1）剪出中間的正方形的邊長(zhǎng)為，面積為，這個(gè)正方形的面積還可以根據(jù)大正方形的面積減去4個(gè)長(zhǎng)方形的面積計(jì)算，根據(jù)兩種方法的面積相同，即可得到等量關(guān)系；
（2）三種卡片拼成一個(gè)大長(zhǎng)方形，面積不變．大長(zhǎng)方形的面積為，根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則展開即可知道需要的卡片數(shù)．
解：（1）剪出中間的正方形的邊長(zhǎng)為，面積為，
這個(gè)正方形的面積還可以表示為：，
故答案為：；
（2）

，
表示卡片的面積，表示卡片的面積，表示卡片的面積，
需要型卡片2張，型卡片1張，型卡片3張，
故答案為：1，3．

【點(diǎn)撥】本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則，解題的關(guān)鍵是拼前和拼后的面積不變．
【變式2】如圖，某市有一塊長(zhǎng)米，寬為米的長(zhǎng)方形地塊，規(guī)劃部門計(jì)劃將陰影部分進(jìn)行綠化，中間空白處將修建一座雕像．

（1）求綠化的面積是多少平方米．
（2）當(dāng)時(shí)求綠化面積．
【答案】（1）5a2+3ab；（2）26平方米
【分析】（1）綠化面積=長(zhǎng)方形的面積-正方形的面積；
（2）把a(bǔ)=2，b=1代入（1）求出綠化面積．
解：（1）S綠化面積=（3a+b）（2a+b）-（a+b）2
=6a2+5ab+b2-a2-2ab-b2
=5a2+3ab；
答：綠化的面積是（5a2+3ab）平方米；
（2）當(dāng)a=2，b=1時(shí)，綠化面積=5×22+3×2×1
=20+6
=26．
答：當(dāng)a=2，b=1時(shí)，綠化面積為26平方米．
【點(diǎn)撥】本題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式及代數(shù)式求值，看懂題圖掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則是解決本題的關(guān)鍵．
【變式3】某公園有一塊如圖所示的長(zhǎng)方形空地，計(jì)劃修建東西、南北走向的兩條小路（陰影部分），其余進(jìn)行綠化，已知長(zhǎng)方形空地的長(zhǎng)為米，寬為米，道路寬都為米．

（1）求綠化部分的面積（用含，的式子表示）；
（2）當(dāng)，時(shí)，求綠化部分的面積．
【答案】（1）平方米；（2）45平方米
【分析】（1）根據(jù)長(zhǎng)方形的面積計(jì)算方法先列出算式，再根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）把a(bǔ)=3，b=2代入（1）中化簡(jiǎn)的代數(shù)式即可得出答案．
解：（1）由題意，得
，
所以綠化部分的面積是平方米．
（2）當(dāng)，時(shí)，
原式，
所以綠化部分的面積為平方米．
【點(diǎn)撥】本題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式及求代數(shù)式的值，正確列出代數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)是解題的關(guān)鍵．
類型九、多項(xiàng)式乘法中的規(guī)律問題
9．閱讀材料，并回答下列問題：
楊輝，字謙光，南宋時(shí)期杭州人，在他所著的《詳解九章算法》一書中輯錄了如圖1所示的三角形數(shù)表，稱之為“開方作法本源”圖，現(xiàn)簡(jiǎn)稱為“楊輝三角”，其特征是“它的兩條斜邊都是由數(shù)字1組成的，而其余的數(shù)則等于它肩上的兩個(gè)數(shù)之和”．

聰明的小剛發(fā)現(xiàn)：楊輝三角給出了（n為正整數(shù)）的展開式的系數(shù)規(guī)律．如圖2，在三角形中第三行的三個(gè)數(shù)1，2，1，恰好對(duì)應(yīng)展開式中各項(xiàng)的系數(shù)；第四行的四個(gè)數(shù)1，3，3，1，恰好對(duì)應(yīng)（a展開式中各項(xiàng)的系數(shù)．
任務(wù)：（1）請(qǐng)你直接寫出的展開式為________；
（2）理解并應(yīng)用材料信息，簡(jiǎn)便計(jì)算的值．
【答案】（1）；（2）1000000
【分析】（1）根據(jù)題意，求出第五行的五個(gè)數(shù)，從而得出結(jié)論；
（2）根據(jù)，計(jì)算即可．
解：（1）由題意可知：第五行的五個(gè)數(shù)為：1，1＋3=4，3＋3=6，3＋1=4，1，
∴=
故答案為：；
（2）
＝


=1000000．
【點(diǎn)撥】此題考查的是多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的探索規(guī)律題，找出運(yùn)算規(guī)律并應(yīng)用是解題關(guān)鍵．
舉一反三：
【變式1】閱讀理解：
（x－1）(x+1)=x2－1 ，
（x－1)(x2+x+1)=x3－1 ，
（x－1）(x3+x2+x+1)=x4－1 ，
……
拓展應(yīng)用：
（1）分解因式：
（2）根據(jù)規(guī)律可得(x－1)(xn-1+……+x +1)= （其中n為正整數(shù)）
（3）計(jì)算：
【答案】（1）（2）（3）
【分析】（1）仿照題目中給出的例子分解因式即可；
（2）根據(jù)題目中的例子找到規(guī)律即可得出答案；
（3）根據(jù)規(guī)律先給原式乘以，再除以即可得出答案．
解：（1）根據(jù)題意有
；
（2）根據(jù)題中給出的規(guī)律可知，
；
（3）原式=

．
【點(diǎn)撥】本題主要考查規(guī)律探索，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵?。?br /> 【變式2】(1)計(jì)算：(x－1)(x2＋x＋1)=__________；
(2x－3)(4x2＋6x＋9)=_________；
(3x－4y)(9x2＋12xy＋16y2)=_________；
歸納：(a－b)(_________)=__________；
(2) 應(yīng)用：27m3－125n3= (_________)(_________)
【答案】（1）x3-1，8x3-27，27x3-64y3, a2＋ab＋b2， a3-b3；（2）3m-5n，9m2＋15mn＋25n2
【分析】(1)根據(jù)整式的乘方運(yùn)算法則即可求解，再歸納出運(yùn)算規(guī)律；
(2)根據(jù)規(guī)律即可求解．
解：(1) (x－1)(x2＋x＋1)= x3+x2+x-x2-x-1= x3-1；
(2x－3)(4x2＋6x＋9)= 8x3+12x2+18x-12x2-18x -27= 8x3-27；
(3x－4y)(9x2＋12xy＋16y2)= 27x3+36x2y+48xy2-36x2y-36x2y-64y3= 27x3-64y3；
歸納：(a－b)( a2＋ab＋b2)= a3-b3；
故答案為：x3-1；8x3-27；27x3-64y3；a2＋ab＋b2； a3-b3；
(2) 應(yīng)用：27m3－125n3=(3m)3-（5n）3
∴27m3－125n3= (3m-5n)( 9m2＋15mn＋25n2)
故答案為：3m-5n；9m2＋15mn＋25n2．
【點(diǎn)撥】此題主要考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知的等式發(fā)現(xiàn)規(guī)律．
【變式3】閱讀理解．
（1）計(jì)算：
①（a﹣1）（a﹣2）＝______；
②（a+2）（a﹣3）＝_______；
③（a+m）（a+n）＝_______．
（2）結(jié)合以上計(jì)算結(jié)果的特點(diǎn)直接寫出計(jì)算結(jié)果（a﹣59）（a+10）＝_____；
（3）嘗試運(yùn)用所得經(jīng)驗(yàn)把下面多項(xiàng)式因式分解：a2+6a+5＝_____．
【答案】（1）a2﹣3a+2；
（2）a2﹣a﹣6；
（3）a2+（m+n）a+mn；
（4）a2﹣49a﹣590；
（5）（a+1）（a+5）；
【分析】（1）①根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則展開即可；
②根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則展開即可；
③根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則展開即可；
（2）根據(jù)以上規(guī)律即可直接寫出計(jì)算結(jié)果；
（3）根據(jù)以上規(guī)律因式分解即可.
解：（1）計(jì)算：
①（a﹣1）（a﹣2）＝a2﹣2a﹣a+2＝a2﹣3a+2
故答案為a2﹣3a+2；
②（a+2）（a﹣3）＝a2﹣3a+2a﹣6＝a2﹣a﹣6
故答案為a2﹣a﹣6；
③（a+m）（a+n）＝a2+ma+na+mn＝a2+（m+n）a+mn
故答案為a2+（m+n）a+mn
（2）結(jié)合以上計(jì)算結(jié)果的特點(diǎn)直接寫出計(jì)算結(jié)果（a﹣59）（a+10）＝a2＋（﹣59＋10）a＋（﹣59×10）＝a2﹣49a﹣590
故答案為a2﹣49a﹣590；
（3）a2+6a+5＝a2+（1＋5）a+1×5＝（a+1）（a+5）
故答案為（a+1）（a+5）
【點(diǎn)撥】此題考查的是整式的乘法和因式分解，掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則和用十字相乘法因式分解是解決此題的關(guān)鍵.
類型十、整式乘除混合運(yùn)算
9．計(jì)算：
（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）整式的混合運(yùn)算，先算乘方，然后算乘除，最后算加減；
（2）整式的混合運(yùn)算，先算乘方，然后算乘除，最后算加減．
解：（1）
=
=
（2）
=
=
=
【點(diǎn)撥】本題考查整式的混合運(yùn)算，掌握積的乘方，冪的乘方法則及整式的混合運(yùn)算順序和計(jì)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算是解題關(guān)鍵．
舉一反三：
【變式1】已知，求代數(shù)式的值．
【答案】5
【分析】把化簡(jiǎn)后用整體代入法求解即可．
解：原式


∵，∴
原式
．
【點(diǎn)撥】本題考查了整式的混合運(yùn)算，整體代入法求代數(shù)式的值，熟練掌握整式的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．
【變式2】計(jì)算
（1） （2）
（3） （4）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法以及冪的乘方運(yùn)算混合計(jì)算即可；
（2）綜合利用積的乘方以及冪的乘方運(yùn)算簡(jiǎn)便計(jì)算即可；
（3）根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則運(yùn)算即可；
（4）可先提取公因式，進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算即可．
解：（1）原式
（2）原式



（3）原式
（4）原式


【點(diǎn)撥】本題主要考查整式乘法運(yùn)算，熟記運(yùn)算法則并且靈活用于簡(jiǎn)便計(jì)算是解題關(guān)鍵．
【變式3】計(jì)算：
（1） （2）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根據(jù)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的法則，單項(xiàng)式除單項(xiàng)式的法則化簡(jiǎn)即可；
（2）根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則，去括號(hào)的法則，合并同類項(xiàng)的法則化簡(jiǎn)即可．
解：（1）



（2）



【點(diǎn)撥】本題考查了整式的運(yùn)算和合并同類項(xiàng)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

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