專題13.17 課題-最短路徑（將軍飲馬問題）（專項練習(xí)）（基礎(chǔ)篇）-2021-2022學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊基礎(chǔ)知識專項講練（人教版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?專題13.17 課題-最短路徑（將軍飲馬問題）
（專項練習(xí)）（基礎(chǔ)篇）
一、單選題
1．如圖，直線L是一條河，P，Q是兩個村莊．欲在L上的某處修建一個水泵站，向P，Q兩地供水，現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案，圖中實(shí)線表示鋪設(shè)的管道，則所需管道最短的是（）
A． B． C．D．
2．如圖，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，EF是BC的垂直平分線，P是直線EF上的任意一點(diǎn)，則PA+PB的最小值是（）

A．3 B．4 C．5 D．6
3．如圖，A是直線l外一點(diǎn)，點(diǎn)B，E，D，C在直線l上，且，D為垂足，如果量得，，，，則點(diǎn)A到直線l的距離為（）

A．11 cm B．7 cm C．6 cm D．5 cm
4．如圖，在中，，，的面積為12，于點(diǎn)D，直線EF垂直平分BC交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，P是線段EF上的一個動點(diǎn)，則的周長的最小值是（）

A．6 B．7 C．10 D．12
5．如圖，在△ABC中，AB⊥AC，AB=3，BC=5，AC=4，EF垂直平分BC，點(diǎn)P為直線EF上的任意一點(diǎn)，則△ABP周長的最小值是（）

A．12 B．6 C．7 D．8
6．如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長為3，面積是18，腰AC的垂直平分線EF分別交AC，AB邊于E，F(xiàn)點(diǎn)．若點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段EF上一動點(diǎn)，則△CDM周長的最小值為（）

A．6 B．8 C．10 D．13.5
7．如圖，分別是線段的垂直平分線，，一只小螞蟻從點(diǎn)M出發(fā)爬到邊上任意一點(diǎn)E，再爬到邊上任意一點(diǎn)F，然后爬回M點(diǎn)，則小螞蟻爬行的最短路徑為（）

A． B． C． D．
8．如圖，在中，，，，是中點(diǎn)，垂直平分，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，在上確定一點(diǎn)，使最小，則這個最小值為(　　)

A．10 B．11 C．12 D．13
9．如圖，等腰三角形底邊的長為，面積是，腰的垂直平分線交于點(diǎn)，若為邊上的中點(diǎn)，為線段上一動點(diǎn)，則的周長的最小值為（）

A． B． C． D．
10．如圖，MN是正方形ABCD的一條對稱軸，點(diǎn)P是直線MN上的一個動點(diǎn)，當(dāng)PC+PD最小時，∠PCD=_____.

A．30° B．45° C．60° D．90°
11．如圖，四邊形中，，在、上分別找一點(diǎn)，使周長最小時，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．
12．如圖已知，為內(nèi)一定點(diǎn)，上有一點(diǎn)，上有一點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L取最小值時，的度數(shù)是（）

A． B． C． D．

二、填空題
13．如圖，要從村莊P修一條連接公路的最短的小道，應(yīng)選擇沿線段________修建，理由是________．

14．如圖，在中，，，，垂直平分，點(diǎn)為直線上的任意一點(diǎn)，則周長的最小值是__________．

15．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，EF垂直平分AB，點(diǎn)P為直線EF上一動點(diǎn)，則△APC周長的最小值為_____．

16．如圖，在中，，，，是的垂直平分線，是直線上的任意一點(diǎn)，則的最小值是________．

17．如圖，在中BC=5，垂直平分BC，點(diǎn)P為直線EF上一動點(diǎn)，則周長的最小值是________．

18．如圖，等腰三角形ABC的面積為90，底邊BC=12，腰AC的垂直平分線EF交AC，AB于點(diǎn)E，F(xiàn)，若D為BC邊中點(diǎn)，M為線段EF上一動點(diǎn)，則的周長最小值為________

19．如圖，在中，，，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，在直線上存在一點(diǎn)，使、、三點(diǎn)構(gòu)成的的周長最小，則的周長最小值為______．

20．如圖，在等邊中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是上任意一點(diǎn)．如果，，那么的最小值是．

21．如圖，AC⊥BC，AC=6，BC=8，AB=10，則點(diǎn)B到AC的距離為_____．

22．如圖，在銳角中，，邊上有一定點(diǎn)分別是和邊上的動點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，的度數(shù)是_________．

23．如圖，在中．，若，，，將折疊，使得點(diǎn)C恰好落在AB邊上的點(diǎn)E處，折痕為AD，點(diǎn)P為AD上一動點(diǎn)，則的周長最小值為___．

三、解答題
24．如圖，小明在A處放牛，要到河邊（直線l）給牛喝水，喝完水把牛趕回家中B處．

（1）要使路程最短，應(yīng)該在河邊哪處給牛喝水，請在直線l上畫出喝水處點(diǎn)P的位置；
（2）在直線l上任取一點(diǎn)Q（點(diǎn)Q不與點(diǎn)P重合），連接，試說明．
25．如圖，BA、BC是兩條公路，在兩條公路夾角內(nèi)部的點(diǎn)P處有一油庫，若在兩公路上分別建個加油站，并使運(yùn)油的油罐車從油庫出發(fā)先到一加油站，再到另一加油站，最后回到油庫的路程最短，則加油站應(yīng)如何選址？

26．作圖題：（不寫作法，但必須保留作圖痕跡）
(1)如圖，已知點(diǎn)M.N和∠AOB，求作一點(diǎn)P，使P到點(diǎn)M.N的距離相等，且到∠AOB的兩邊的距離相等．

(2)要在河邊修建一個水泵站，分別向張村.李莊送水（如圖）．修在河邊l什么地方，可使所用水管最短？試在圖中確定水泵站的位置．

27．如圖，點(diǎn)A、B在直線l同側(cè)，請你在直線l上畫出一點(diǎn)P，使得的值最小，畫出圖形并證明．

28．如圖，準(zhǔn)備在一條公路旁修建一個倉儲基地，分別給A、B兩個超市配貨，那么這個基地建在什么位置，能使它到兩個超市的距離之和最?。浚ūＡ糇鲌D痕跡及簡要說明）

參考答案
1．A
【分析】
利用對稱的性質(zhì)，通過等線段代換，將所求路線長轉(zhuǎn)化為兩定點(diǎn)之間的距離．
【詳解】
作點(diǎn)P關(guān)于直線L的對稱點(diǎn)P′，連接QP′交直線L于M．
根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，可知選項D鋪設(shè)的管道，則所需管道最短．
故選：A．
【點(diǎn)撥】本題考查了最短路徑的數(shù)學(xué)問題．這類問題的解答依據(jù)是“兩點(diǎn)之間，線段最短”．由于所給的條件的不同，解決方法和策略上又有所差別．
2．B
【分析】
根據(jù)題意知點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)為點(diǎn)C，故當(dāng)點(diǎn)P-為EF和AC的交點(diǎn)時，AP+BP值最小為AC的長為4．
【詳解】
解：如圖：

∵EF垂直平分BC，
∴B、C關(guān)于EF對稱，
∴當(dāng)AC交EF于P時，AP+BP的值最小，最小值等于AC的長為4，
故選：B.
【點(diǎn)撥】本題考查軸對稱——最短路線問題的應(yīng)用.解決此題的關(guān)鍵是能根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短找出P點(diǎn)的位置.
3．D
【分析】
根據(jù)點(diǎn)到直線的垂線段的長度是點(diǎn)到直線的距離可知AD的長度是點(diǎn)A到直線l的距離，從而得解．
【詳解】
∵AD=5cm，∴點(diǎn)A到直線l的距離是5cm．
故選D．
【點(diǎn)撥】本題主要考查了點(diǎn)到直線的距離的定義，熟記定義是解題的關(guān)鍵．
4．B
【分析】
根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知為底邊上的高線，根據(jù)面積關(guān)系即可求得的長，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可知點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線EF對稱，所以當(dāng)與重合時，的值最小，根據(jù)和的長度即可求得周長的最小值．
【詳解】
如圖

∵的面積為12，
∴，，
解得，，
∵直線EF垂直平分BC交AB于點(diǎn)E，
∴點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線EF對稱，
∴當(dāng)與重合時，的值最小，最小值等于的長，
∴周長的最小值是，
故選：B．
【點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、軸對稱最短路線問題的應(yīng)用、三角形的面積等，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出點(diǎn)的位置．
5．C
【分析】
根據(jù)題意知點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)為點(diǎn)C，故當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時，AP+BP的最小值，即可得到△ABP周長的最小值．
【詳解】
解：∵EF垂直平分BC，
∴B、C關(guān)于EF對稱，
設(shè)AC交EF于D，
∴當(dāng)P和D重合時，及A、P、C三點(diǎn)共線時
AP+BP的值最小，最小值等于AD+BD=AD+CD=AC的長，
∴△ABP周長的最小值是AB+AC=3+4=7．
故選：C．

【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理，軸對稱-最短路線問題的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是找出P的位置．凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對稱點(diǎn)．
6．D
【分析】
連接AD，由于△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，故AD⊥BC，再根據(jù)三角形的面積公式求出AD的長，再根據(jù)EF是線段AC的垂直平分線可知，點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)為點(diǎn)A，故AD的長為CM+MD的最小值，由此即可得出結(jié)論．
【詳解】
解：連接AD，
∵△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=BC?AD=×3×AD=18，解得AD=12，
∵EF是線段AC的垂直平分線，
∴點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)為點(diǎn)A，
∴AD的長為CM+MD的最小值，
∴△CDM的周長最短=（CM+MD）+CD=AD+BC=12+×3=12+1.5=13.5．
故選D．

【點(diǎn)撥】本題考查的是軸對稱-最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．
7．B
【分析】
由題意可知與的交點(diǎn)為E，與的交點(diǎn)為F，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)計算即可；
【詳解】
由題意可知與的交點(diǎn)為E，與的交點(diǎn)為F．
∵分別是線段的垂直平分線，
∴，
∴小螞蟻爬行的最短路徑為．
【點(diǎn)撥】本題主要考查了最短路線問題和垂直平分線的性質(zhì)，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵．
8．C
【分析】
根據(jù)三角形的面積公式得到AD=12，由EF垂直平分AB，得到點(diǎn)A，B關(guān)于直線EF對稱，于是得到AD的長為PB+PD的最小值，即可得到結(jié)論．
【詳解】
∵AB=AC，BC=10，S△ABC=60，AD⊥BC于點(diǎn)D，
∴S△ABC==60，
∴AD=12，
設(shè)AD與EF的交點(diǎn)為P，

∵EF垂直平分AB，
∴點(diǎn)A，B關(guān)于直線EF對稱，
∴PA=PB，
此時AD的長為PB+PD的最小值，
即PB+PD的最小值為12，
故選：C．
【點(diǎn)撥】本題考查了軸對稱-最短路線問題，線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對稱點(diǎn)．
9．D
【分析】
連接AD，由于△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，故AD⊥BC，再根據(jù)三角形的面積公式求出AD的長，再根據(jù)EF是線段AB的垂直平分線可知，點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)為點(diǎn)A，故AD的長為BM+MD的最小值，由此即可得出結(jié)論．
【詳解】
連接AD，
∵△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=BC?AD=×4×AD=12，解得AD=6cm，
∵EF是線段AB的垂直平分線，
∴點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)為點(diǎn)A，
∴AD的長為BM+MD的最小值，
∴△BDM的周長最短=（BM+MD）+BD=AD+BC=6+×4=6+=8cm．

【點(diǎn)撥】本題考查軸對稱-最短路線問題、線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握軸對稱-最短路線問題、線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)．
10．B
【分析】
根據(jù)當(dāng)PC+PD最小時，作出D點(diǎn)關(guān)于MN的對稱點(diǎn)，正好是A點(diǎn)，連接AC即可得出∠PCD的度數(shù)．
【詳解】
∵當(dāng)PC+PD最小時，作出D點(diǎn)關(guān)于MN的對稱點(diǎn)，正好是A點(diǎn)，

連接AC，AC為正方形對角線，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出∠PCD=45°，
∴∠PCD=45°．
故選B．
【點(diǎn)撥】此題考查軸對稱求最短路線問題，根據(jù)已知得出D點(diǎn)關(guān)于MN的對稱點(diǎn)，正好是A點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
11．C
【分析】
根據(jù)要使△AMN的周長最小，即利用點(diǎn)的對稱，讓三角形的三邊在同一直線上，作出A關(guān)于BC和CD的對稱點(diǎn)A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=60°，進(jìn)而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．
【詳解】
作A關(guān)于BC和CD的對稱點(diǎn)A′,A″,連接A′A″,交BC于M,交CD于N,則A′A″即為△AMN的周長最小值。，

∵∠DAB=120°，
∴∠AA′M+∠A″=180°?120°=60°，
∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，
且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2(∠AA′M+∠A″)=2×60°=120°，
故選：C.
【點(diǎn)撥】此題考查軸對稱-最短路線問題，解題關(guān)鍵在于作輔助線.
12．B
【分析】
設(shè)點(diǎn)P關(guān)于OM、ON對稱點(diǎn)分別為P′、P″，當(dāng)點(diǎn)A、B在P′P″上時，△PAB周長為PA+AB+BP=P′P″，此時周長最?。鶕?jù)軸對稱的性質(zhì)，可求出∠APB的度數(shù)．
【詳解】
分別作點(diǎn)P關(guān)于OM、ON的對稱點(diǎn)P′、P″,連接OP′、OP″、P′P″,P′P″交OM、ON于點(diǎn)A. B,

連接PA、PB,此時△PAB周長的最小值等于P′P″.
由軸對稱性質(zhì)可得,OP′=OP″=OP,∠P′OA=∠POA，∠P″OB=∠POB，
∴∠P′OP″=2∠MON=2×40°=80°，
∴∠OP′P″=∠OP''P′=(180°?80°)÷2=50°
又∵∠BPO=∠OP″B=50°,∠APO=∠AP′O=50°，
∴∠APB=∠APO+∠BPO=100°.
故選B.
【點(diǎn)撥】此題考查軸對稱-最短路線問題，解題關(guān)鍵在于作輔助線.
13．PC 垂線段最短
【分析】
根據(jù)垂線段的性質(zhì)：垂線段最短，進(jìn)行判斷即可．
【詳解】
解：∵從直線外一點(diǎn)到這條直線上各點(diǎn)所連線段中，垂線段最短，
∴過點(diǎn)P作PC⊥l于點(diǎn)C，這樣做的理由是垂線段最短．
故答案為：PC，垂線段最短．
【點(diǎn)撥】本題主要考查了垂線段的性質(zhì)，從直線外一點(diǎn)引一條直線的垂線，這點(diǎn)和垂足之間的線段叫做垂線段．
14．10
【分析】
如圖，根據(jù)題意知點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，故當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，的最小值等于的長，根據(jù)，的長度即可得到周長的最小值．
【詳解】
∵垂直平分，
∴點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對稱，
如圖，設(shè)與相交于點(diǎn),
∴當(dāng)和重合時，的值最小，最小值等于的長，
∵，，
∴的周長的最小值是，
故答案為：10．

【點(diǎn)撥】本題考查了軸對稱-最短路線問題的應(yīng)用、垂直平分線的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出點(diǎn)的位置．
15．7
【分析】
△APC周長，因為AC＝3，所以求出AP+CP的最小值即可求出△APC周長的最小值，根據(jù)題意知點(diǎn)關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)為點(diǎn)B，故當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時，AP+CP的值最小，即可得到結(jié)論．
【詳解】
∵直線EF垂直平分AB，
∴A，B關(guān)于直線EF對稱，
設(shè)直線EF交BC于E，
∴當(dāng)P和E重合時，AP+CP的值最小，最小值等于BC的長，
∴△APC周長的最小值，
故答案為：7．
【點(diǎn)撥】本題考查了軸對稱-最短路線問題的應(yīng)用、垂直平分線的性質(zhì)、三角形周長，解答本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出P的位置．
16．4
【分析】
根據(jù)題意知點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)為點(diǎn)C，故當(dāng)點(diǎn)P為AC與EF的交點(diǎn)時，AP+BP的最小值，依據(jù)AC的長度即可得到結(jié)
【詳解】
解：∵EF是BC中垂線，
∴點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)為C，
當(dāng)點(diǎn)P為AC與EF的交點(diǎn)時，PA+PB取得最小值，且PC=PB
∴最小值為PA+PC=AC=4，
故答案為：4．
【點(diǎn)撥】本題考查垂直平分線的性質(zhì)、最短距離問題等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用軸對稱，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短解決最短問題．
17．7
【分析】
根據(jù)題意知點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)為點(diǎn)C，故當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時，AP+BP的最小值，求出AC長度即可得到結(jié)論．
【詳解】
解：∵EF垂直平分BC，
∴B、C關(guān)于EF對稱，
連接AC交EF于D，
∴當(dāng)P和D重合時，AP+BP的值最小，最小值等于AC的長，
∴△ABP周長的最小值是4+3=7．
故答案為：7．

【點(diǎn)撥】本題考查了軸對稱-最短路線問題的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是找出P的位置．
18．21
【分析】
連接，，由于是等腰三角形，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，故，再根據(jù)三角形的面積公式求出的長，再根據(jù)是線段的垂直平分線可知，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，，推出，故的長為的最小值，由此即可得出結(jié)論．
【詳解】
解：連接，．

是等腰三角形，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，
，
，解得，
是線段的垂直平分線，
點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，，
，
的長為的最小值，
的周長最短，
故答案是：21．
【點(diǎn)撥】本題考查的是軸對稱最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．
19．18
【分析】
連接PA．因為△PBC的周長=BC+PB+PC，BC=8cm，推出PB+PC的值最小時，△PBC的周長最小．由題意PA=PB，推出PB+PC=PA+PC≥AC=10cm，由此即可解決問題．
【詳解】
解：如圖，連接PA．
∵△PBC的周長=BC+PB+PC，BC=8cm，
∴PB+PC的值最小時，△PBC的周長最小，
∵M(jìn)N垂直平分線段AB，
∴PA=PB，
∴PB+PC=PA+PC≥AC=10cm，
∴PB+PC的最小值為10cm，
∴△PBC的周長的最小值為18cm．
故答案為18cm.

【點(diǎn)撥】本題考查軸對稱最短問題，等腰三角形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．
20．
【分析】
從題型可知為”將軍飲馬”的題型,連接CE,CE即為所求最小值．
【詳解】

∵△ABC是等邊三角形,
∴B點(diǎn)關(guān)于AD的對稱點(diǎn)就是C點(diǎn),
連接CE交AD于點(diǎn)H,此時HE+HB的值最?。?br /> ∴CH=BH,
∴HE+HB=CE,
根據(jù)等邊三角形的性質(zhì),可知三條高的長度都相等,
∴CE=AD=．
故答案為: ．
【點(diǎn)撥】本題考查三角形中動點(diǎn)最值問題,關(guān)鍵在于尋找對稱點(diǎn)即可求出最值．
21．8
【解析】
試題解析：AC⊥BC，AC=6，BC=8，AB=10，則點(diǎn)B到AC的距離為8
22．80°
【分析】
根據(jù)對稱的性質(zhì)，易求得∠C+∠EPF=180°，由 ∠ACB=50°，易求得∠D+∠G=50°，繼而求得答案；
【詳解】
∵ PD⊥AC，PG⊥BC，
∴∠PEC=∠PFC=90°，
∴ ∠C+∠EPF=180°，
∵∠C=50°，
∵∠D+∠G+∠EPF=180°，
∴ ∠D+∠G=50°，
由對稱可知：∠G=∠GPN，∠D=∠DPM， L
∴∠GPN+∠DPM=50°，
∴∠MPN=130°-50°=80°，
故答案為：80°．

【點(diǎn)撥】此題考查了最短路徑問題以及線段垂直平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
23．20．
【分析】
根據(jù)由沿AD對稱,得到，進(jìn)而表示出，最后求周長即可．
【詳解】
由沿AD對稱得到，
則E與C關(guān)于直線AD對稱，
，
∴，
如圖,連接，

由題意得，
∴，
當(dāng)P在BC邊上，即D點(diǎn)時取得最小值12，
∴周長為，最小值為．
故答案為:20．
【點(diǎn)撥】本題考查了三角形折疊問題，正確讀懂題意是解本題的關(guān)鍵．
24．（1）見解析；（2）見解析
【分析】
（1）要使PA＋PB最短，根據(jù)同一平面內(nèi)線段最短，可知要作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′，連接A′B交直線l于P；
（2）在直線l上任取另一點(diǎn)Q，連接PA、QA、QB．根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到PA＝PA′，QA＝QA′．根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可得到結(jié)論．
【詳解】
解：（1）如圖，點(diǎn)P即為所求．

（2）如圖，在直線l上任取一點(diǎn)Q，連接．
∵點(diǎn)A與關(guān)于直線l對稱，點(diǎn)P，Q在直線l上，
∴．
∵，
∴，即，
∴．
【點(diǎn)撥】本題考查了軸對稱，以及三角形的三邊關(guān)系，正確確定如何使線段的和最小是關(guān)鍵．
25．見解析
【分析】
利用關(guān)于直線對稱點(diǎn)的性質(zhì)得出 P 點(diǎn)關(guān)于AB的對稱點(diǎn) P '，以及 P 點(diǎn)關(guān)于 CB 的對稱點(diǎn) P "，根據(jù)兩點(diǎn)直接線段最短，連接 P ' P "即可得出．
【詳解】
解：如圖所示：C、D點(diǎn)即為所求．

【點(diǎn)撥】此題主要考查了應(yīng)用作圖與設(shè)計，兩點(diǎn)之間線段最短，利用關(guān)于直線對稱點(diǎn)的性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵．
26．（1）見解析；（2）見解析.
【分析】
（1）根據(jù)題意可知只要作出∠AOB的角平分線、線段MN的垂直平分線，然后找到這兩條線的交點(diǎn)即為所求；
（2）作B點(diǎn)關(guān)于小河的對稱點(diǎn)B′，連接B′A與小河的交點(diǎn)C，點(diǎn)C就是所求．
【詳解】
解：（1）如圖所示：作出∠AOB的角平分線、線段MN的垂直平分線，這兩條線的交點(diǎn)即為所求P點(diǎn)
．
（2）作點(diǎn)B關(guān)于河岸的對稱點(diǎn)B′，連接B′A，交河岸于點(diǎn)C，CA+CB=AB′的長度之和最短，則修在河邊l的點(diǎn)C處，可使所用水管最短．

【點(diǎn)撥】本題考查作圖—復(fù)雜作圖，角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，軸對稱與最短路線問題，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
27．見解析
【分析】
作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′，連接A′B交直線l于P，連接PA．則點(diǎn)P即為所求的點(diǎn)．
【詳解】
解：如圖，則點(diǎn)P即為所求的點(diǎn)．

證明：∵點(diǎn)A關(guān)于l的對稱點(diǎn)A'，
根據(jù)對稱性可知，PA=PA'，
因此，求AP+BP最小就相當(dāng)于求BP+PA'最小，
顯然當(dāng)A'、P、B在一條直線上時A'P+PB最小，因此連接A'B，與直線l的交點(diǎn)，就是要求的點(diǎn)P．
【點(diǎn)撥】本題考查了軸對稱-最短路線問題，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
28．見解析．
【分析】
作點(diǎn)B關(guān)于公路的對稱點(diǎn)，連接交公路于點(diǎn)C，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短即可得出點(diǎn)C即是所求的點(diǎn)．
【詳解】
解：如圖，作點(diǎn)B關(guān)于公路的對稱點(diǎn)，連接，交公路于點(diǎn)C，則這個基地建在C處，才能使它到這兩個超市距離之和最小。

【點(diǎn)撥】本題考查了最短路徑問題，要求熟練掌握中垂線的性質(zhì)，能夠利用兩點(diǎn)之間線段最短求解一些簡單的實(shí)際問題．

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