專題13.19 課題-最短路徑（將軍飲馬問題）（專項(xiàng)練習(xí)）（培優(yōu)篇）-2021-2022學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)講練（人教版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?專題13.19 課題-最短路徑（將軍飲馬問題）
（專項(xiàng)練習(xí)）（培優(yōu)篇）
一、單選題
1．如圖，直線是一條河，、是兩個(gè)新農(nóng)村定居點(diǎn)．欲在上的某點(diǎn)處修建一個(gè)水泵站，直接向、兩地供水．現(xiàn)有如下四種管道鋪設(shè)方案，圖中實(shí)線表示鋪設(shè)的供水管道，則鋪設(shè)管道最短的方案是（）

A． B．C. D．
2．如圖，等腰的底邊BC長(zhǎng)為4cm，面積為，腰AC的垂直平分線EF交AC于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，D為BC的中點(diǎn)，M為直線EF上的動(dòng)點(diǎn)．則周長(zhǎng)的最小值為（　　　）

A．6cm B．8cm C．9cm D．10cm
3．如圖．在五邊形ABCDE中，∠BAE＝136°，∠B＝∠E＝90°，在BC、DE上分別找一點(diǎn)M、N，使得△AMN的周長(zhǎng)最小時(shí)，則∠AMN＋∠ANM的度數(shù)為（）

A．84° B．88° C．90° D．96°
4．如圖，，M，N分別是邊上的定點(diǎn)，P，Q分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，記，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，關(guān)于，的數(shù)量關(guān)系正確的是（）

A． B．
C． D．
5．如圖，在銳角△ABC中，∠ACB＝50°；邊AB上有一定點(diǎn)P，M、N分別是AC和BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PMN的周長(zhǎng)最小時(shí)，∠MPN的度數(shù)是（　　）

A．50° B．60° C．70° D．80°
6．如圖，已知，平分，，在上，在上，在上．當(dāng)取最小值時(shí)，此時(shí)的度數(shù)為（）

A． B． C． D．
7．如圖，在中，，是的平分線．若，分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，且的面積為，則的最小值是（）

A． B． C． D．
8．在△ABC中，AB=BC，點(diǎn)D在AC上，BD=6cm，E，F(xiàn)分別是AB，BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，△DEF周長(zhǎng)的最小值為6 cm，則( )

A．20° B．25° C．30° D．35°
9．如圖所示，OB是一條河流，OC是一片菜田，張大伯每天從家（A點(diǎn)處）去河處流邊挑水，然后把水挑到菜田處，最后回到家中．請(qǐng)你幫他設(shè)計(jì)一條路線，使張大伯每天行走的路線最短．下列四個(gè)方案中你認(rèn)為符合要求的是（）

A． B．
C． D．
10．如圖，在等邊△ABC中，BF是AC邊上的中線，點(diǎn)D在BF上，連接AD，在AD的右側(cè)作等邊△ADE，連接EF，當(dāng)△AEF周長(zhǎng)最小時(shí)，∠CFE的大小是(　　)

A．30° B．45° C．60° D．90°

二、填空題
11．如圖，在中，，，，，是的平分線，若點(diǎn)、分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是______．

12．如圖，在銳角中，，，平分，、分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是__________．

13．已知，點(diǎn)為射線上一點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，且.當(dāng)點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)時(shí) ，則與和的最小值為_______．

14．如圖，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC邊上的中線且AD＝4，F(xiàn)是AD上的動(dòng)點(diǎn)，E是AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則CF+EF的最小值為_____．

15．如圖，在△ABC中，AB = AC = 8，S△ABC = 16，點(diǎn)P為角平分線AD上任意一點(diǎn)，PE⊥AB，連接PB，則PB+PE的最小值為_____．

16．如圖，AD為等邊△ABC的高，E、F分別為線段AD、AC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE＝CF，當(dāng)BF＋CE取得最小值時(shí)，∠AFB＝_______°．

17．如圖，∠AOB的邊OB與x軸正半軸重合，點(diǎn)P是OA上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N（6，0）是OB上的一定點(diǎn)，點(diǎn)M是ON的中點(diǎn)，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_____．

18．如圖，P為∠AOB內(nèi)一定點(diǎn)，M，N分別是射線OA，OB上一點(diǎn)，當(dāng)△PMN周長(zhǎng)最小時(shí)，∠OPM＝50°，則∠AOB＝___________．

19．如圖，已知∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，在OA上有一點(diǎn)M，OM＝10 cm，現(xiàn)要在OC，OA上分別找點(diǎn)Q，N，使QM＋QN最小，則其最小值為________ ．

20．如圖，已知正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為2，G，H分別是AF和CD的中點(diǎn)，P是GH上的動(dòng)點(diǎn)，連接AP，BP，則AP＋BP的值最小時(shí)，BP與HG的夾角(銳角)度數(shù)為________．

21．如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，OP=5cm，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線OA和射線OB上的動(dòng)點(diǎn)，∠AOB=30°則△PMN周長(zhǎng)的最小值=________

三、解答題
22．如圖，在等邊中，是直線上一點(diǎn)，是邊上一動(dòng)點(diǎn)，以為邊作等邊，連接．（提示：含的直角三角形三邊之比為）
（1）如圖1，若點(diǎn)在邊上，求證：；
（2）如圖2，若點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，請(qǐng)?zhí)骄烤€段，與之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；
（3）圖2中，若，點(diǎn)從運(yùn)動(dòng)到停止，求出此過程中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)．

23．如圖，已知∠AOB，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)部的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)．
(1)要使得△PEF的周長(zhǎng)最小，試在圖上確定點(diǎn)E、F的位置．
(2)若OP＝4，要使得△PEF的周長(zhǎng)的最小值為4，則∠AOB＝________．

24．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與軸交于點(diǎn)A、與軸交于點(diǎn)B，且∠ABO＝45°，A（－6，0），直線BC與直線AB關(guān)于軸對(duì)稱.
(1)求△ABC的面積；
(2)如圖2，D為OA延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，以BD為直角邊，D為直角頂點(diǎn)，作等腰直角△BDE，求證：AB⊥AE；
(3)如圖3，點(diǎn)E是軸正半軸上一點(diǎn)，且∠OAE＝30°，AF平分∠OAE，點(diǎn)M是射線AF上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是線段AO上一動(dòng)點(diǎn)，判斷是否存在這樣的點(diǎn)M，N，使OM＋NM的值最?。咳舸嬖?，請(qǐng)寫出其最小值，并加以說明.

25．已知：如圖，在∠POQ內(nèi)部有兩點(diǎn)M、N，∠MOP＝∠NOQ.
(1)畫圖并簡(jiǎn)要說明畫法：在射線OP上取一點(diǎn)A，使點(diǎn)A到點(diǎn)M和點(diǎn)N的距離和最?。辉谏渚€OQ上取一點(diǎn)B，使點(diǎn)B到點(diǎn)M和點(diǎn)N的距離和最?。?br /> (2)直接寫出AM＋AN與BM＋BN的大小關(guān)系．

參考答案
1．D
【分析】
利用軸對(duì)稱的性質(zhì)，通過作對(duì)稱點(diǎn)找到修建水泵站的位置．
【詳解】
解：作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，然后連接與直線l交于一點(diǎn)，在這點(diǎn)修建水泵站，
根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)和連點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)可以證明此事鋪設(shè)的管道最短．
故選：D．
【點(diǎn)撥】本題考查利用軸對(duì)稱的性質(zhì)找線段和最小的問題，解題的關(guān)鍵是掌握這個(gè)作圖方法．
2．D
【分析】
連接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，故AD⊥BC，再根據(jù)三角形的面積公式求出AD的長(zhǎng)，再根據(jù)EF是線段AC的垂直平分線可知，點(diǎn)A關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C，MA＝MC，推出MC+DM＝MA+DM≥AD，故AD的長(zhǎng)為BM+MD的最小值，由此即可得出結(jié)論．
【詳解】
解：連接AD，MA．

∵△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC?AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8 cm，
∵EF是線段AC的垂直平分線，
∴MA＝MC，
∴MC+DM＝MA+DM≥AD，
∴AD的長(zhǎng)為CM+MD的最小值，
∴△CDM的周長(zhǎng)最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝8+×4＝10（cm）．
故選：D．
【點(diǎn)撥】本題考查的是軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．
3．B
【分析】
根據(jù)要使的周長(zhǎng)最小，即利用點(diǎn)的對(duì)稱，讓三角形的三邊在同一直線上，作出關(guān)于和的對(duì)稱點(diǎn) ,,即可得出，進(jìn)而得出即可得出答案．
【詳解】
解：如圖示，作關(guān)于和的對(duì)稱點(diǎn)，，連接，交于，交于，則即為的周長(zhǎng)最小值．
延長(zhǎng)，作于點(diǎn)，

，
，
，
，，
且，，
，
故選：B．
【點(diǎn)撥】此題主要考查了平面內(nèi)最短路線問題求法以及三角形的外角的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出，的位置是解題關(guān)鍵．
4．B
【分析】
如圖，作M關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)M′，N關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)N′，連接M′N′交OA于Q，交OB于P，則MP+PQ+QN最小易知∠OPM=∠OPM′=∠NPQ，∠OQP=∠AQN′=∠AQN，KD∠OQN=180°-30°-∠ONQ，∠OPM=∠NPQ=30°+∠OQP，∠OQP=∠AQN=30°+∠ONQ，由此即可解決問題．
【詳解】
如圖，作M關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，N關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于Q，交于P，則此時(shí)的值最小．

易知，．
∵，，
∴．
故選：B.
【點(diǎn)撥】本題考查軸對(duì)稱-最短問題、三角形的內(nèi)角和定理．三角形的外角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型．
5．D
【分析】
根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)作PD⊥AC于點(diǎn)E，PG⊥BC于點(diǎn)F，連接DG交AC、BC于點(diǎn)M、N，連接MP、NP，得到△PMN，由此解答.
【詳解】
解：過點(diǎn)P作PD⊥AC于點(diǎn)E，PG⊥BC于點(diǎn)F，連接DG交AC、BC于點(diǎn)M、N，連接MP、NP，
∵PD⊥AC，PG⊥BC，
∴∠PEC＝∠PFC＝90°，
∴∠C+∠EPF＝180°，
∵∠C＝50°，
∵∠D+∠G+∠EPF＝180°，
∴∠D+∠G＝50°，
由對(duì)稱可知：∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM，
∴∠GPN+∠DPM＝50°，
∴∠MPN＝130°﹣50°＝80°，
故選：D．

【點(diǎn)撥】此題考查最短路徑問題，根據(jù)題意首先作出對(duì)稱點(diǎn)，連接對(duì)稱點(diǎn)得到符合題意的三角形，再根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)解答，正確掌握最短路徑問題的解答思路是解題的關(guān)鍵.
6．D
【分析】
作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接、、、、，則由軸對(duì)稱知識(shí)可知，所以依據(jù)垂線段最短知：當(dāng)在一條直線上，且時(shí)，取最小值，根據(jù)直角三角形的兩銳角互余及三角形外角的性質(zhì)可以求出.
【詳解】
解：∵，平分，
∴，
作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接、、、、，

則，，，，，
∴，，，，
當(dāng)在一條直線上，且時(shí)，取最小值，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選：D.
【點(diǎn)撥】本題考查了最短路徑問題，等腰三角形等邊對(duì)等角，直角三角形的兩銳角互余，三角形外角的性質(zhì)，垂線段最短，通過作對(duì)稱點(diǎn)化折為直是解題的關(guān)鍵.
7．C
【分析】
由題意可知，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，先確定當(dāng)取最小值時(shí)動(dòng)點(diǎn)、的位置，再利用三角形的面積公式即可求出答案．
【詳解】
過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，如圖所示

∵平分，、分別是和上的動(dòng)點(diǎn)
∴，與關(guān)于對(duì)稱
∴此時(shí)，
∵，
∴
∴的最小值是
故選：C
【點(diǎn)撥】本題是軸對(duì)稱最短路線問題，主要考查了角平分線的性質(zhì)、對(duì)稱的性質(zhì)以及三角形的面積公式，確定是解題的關(guān)鍵．
8．C
【分析】
作點(diǎn)D關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)G，關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)H，連接GH交AB于E，交BC于F，連接BG、BH，此時(shí)△DEF的周長(zhǎng)最小，根據(jù)軸對(duì)稱關(guān)系得到BG=BD=BH=6cm，又由△DEF的周長(zhǎng)=DE+DF+EF=GH=6cm，得到∠GBH=60°，由此即可求出∠ABC的度數(shù).
【詳解】
作點(diǎn)D關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)G，關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)H，連接GH交AB于E，交BC于F，連接BG、BH，此時(shí)△DEF的周長(zhǎng)最小，
由軸對(duì)稱得：BG=BD=BH=6cm，∠GBA=∠DBA，∠HBC=∠DBC，
∵△DEF的周長(zhǎng)=DE+DF+EF=GH=6cm，
∴△BGH是等邊三角形，
∴∠GBH=60°，
∴∠ABC=∠GBH=30°，
故選：C.

【點(diǎn)撥】此題考查最短路徑，軸對(duì)稱關(guān)系，等邊三角形的判定定理及性質(zhì)定理，三角形周長(zhǎng)最小的題通常轉(zhuǎn)化為最短路徑的題進(jìn)行解答.
9．D
【分析】
做出點(diǎn)A關(guān)于OB和OC的對(duì)稱點(diǎn)A′和A″，連接A′A″，與OB、OC分別交于點(diǎn)M，N，則沿AM-MN-NA的路線行走路線最短．
【詳解】
要找一條最短路線，以河流為軸，取A點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'N與河流相交于M點(diǎn)，再連接AM，則張大伯可沿著AM走一條直線去河邊M點(diǎn)挑水，然后再沿MN走一條直線到菜園去，同理，畫出回家的路線圖如下：
故選D．
【點(diǎn)撥】本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問題，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短是解決問題的關(guān)鍵．
10．D
【解析】
分析：首先證明點(diǎn)E在射線CE上運(yùn)動(dòng)（∠ACE=30°），
因?yàn)锳F為定值，所以當(dāng)AE+EF最小時(shí)，△AEF的周長(zhǎng)最小，
作點(diǎn)A關(guān)于直線CE的對(duì)稱點(diǎn)M，連接FM交CE 于E′，此時(shí)AE′+FE′的值最小，
根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)即可求出∠CFE的大?。?br /> 詳解：∵△ABC，△ADE都是等邊三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠ABC=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵AF=CF，
∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°，
∴點(diǎn)E在射線CE上運(yùn)動(dòng)（∠ACE=30°），
作點(diǎn)A關(guān)于直線CE的對(duì)稱點(diǎn)M，連接FM交CE 于E′，此時(shí)AE′+FE′的值最小，

∵CA=CM，∠ACM=60°，
∴△ACM是等邊三角形，
∵AF=CF，
∴FM⊥AC，
∴∠CFE′=90°，
故選D．
點(diǎn)撥：本題考查軸對(duì)稱——最短距離問題、等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是證明點(diǎn)E在射線CE上運(yùn)動(dòng)（∠ACE=30°），本題難度比較大，屬于中考選擇題中的壓軸題．
11．
【分析】
由題意可以把Q反射到AB的Q點(diǎn)，如此PC+PQ的最小值問題即變?yōu)镃與線段AB上某一點(diǎn)O的最短距離問題，最后根據(jù)“垂線段最短”的原理得解．
【詳解】
解：如圖，作Q關(guān)于AP的對(duì)稱點(diǎn)O，則PQ=PO，所以O(shè)、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，

CO=PC+PO=PC+PQ，此時(shí)PC+PQ有可能取得最小值，

∵當(dāng)CO垂直于AB即CO移到CM位置時(shí)，CO的長(zhǎng)度最小，
∴PC+PQ的最小值即為CM的長(zhǎng)度，
∵，
∴CM=，即PC+PQ的最小值為，
故答案為．
【點(diǎn)撥】本題考查線段和最小的問題，通過軸反射把線段和最小的問題轉(zhuǎn)化為線段外一點(diǎn)到線段某點(diǎn)連線段最短問題是解題關(guān)鍵．
12．
【分析】
根據(jù)題意畫出符合題意的圖形，作N關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)R，作AC邊上的高BE（E在AC上），求出BM+MN=BR，根據(jù)垂線段最短得出BM+MN≥BE，求出BE即可得出BM+MN的最小值.
【詳解】

解：作N關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)R，作AC邊上的高BE（E在AC上）
∵平分，△ABC是銳角三角形
∴R必在AC上
∵N關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)是R
∴MN=MR
∴BM+MN=BM+MR
∴BM+MN=BR≥BE（垂線段最短）
∵，
∴=18
∴BE=cm
即BM+MN的最小值是cm.
故答案為.
【點(diǎn)撥】本題考查了軸對(duì)稱——最短路徑問題. 解答此類問題時(shí)要從已知條件結(jié)合圖形認(rèn)真思考，通過角平分線性質(zhì)，垂線段最短，確定線段和的最小值.
13．
【分析】
作點(diǎn)D關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接CD′交OA于點(diǎn)P′，連接DP,，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到P′D′=P′D，此時(shí)DP′+CP′=CD′即為PC+PD的最小值，根據(jù)已知條件計(jì)算求出結(jié)果即可．
【詳解】
解：作點(diǎn)D關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接CD′交OA于點(diǎn)P′，連接DP′，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到P′D′=P′D，此時(shí)DP′+CP′=CD′即為PC+PD的最小值.
設(shè)DD′與OA交于點(diǎn)E，
∵∠O=30°，OD=3，由對(duì)稱性可知∠DEO=90°,
∴∠ODE=60°，DE=OD=,
∴DD′=2DE=3,∴DD′=CD，
∴∠D′=∠DCD′=∠ODE=30°，∴∠EDP′=∠D′=30°，
∴∠ODP′=∠ODE+∠EDP′=90°，
∴在Rt△ODP′中，∠O=30°，OD=3，∴DP′=
∴CP′=2DP′=2
∴DP′+CP′=3
故與和的最小值為3

【點(diǎn)撥】本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問題，兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)．得出動(dòng)點(diǎn)所在的位置是解題的關(guān)鍵．
14．
【分析】
作BM⊥AC于M，交AD于F，根據(jù)三線合一定理求出BD的長(zhǎng)和AD⊥BC，根據(jù)三角形面積公式求出BM，根據(jù)對(duì)稱性質(zhì)求出BF＝CF，根據(jù)垂線段最短得出CF+EF≥BM，即可得出答案．
【詳解】
解：作BM⊥AC于M，交AD于F，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC邊上的中線，
∴BD＝DC＝3，AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴B、C關(guān)于AD對(duì)稱，
∴BF＝CF，
根據(jù)垂線段最短得出：CF+EF＝BF+EF≥BF+FM＝BM，
即CF+EF≥BM，
∵S△ABC＝×BC×AD＝×AC×BM，
∴BM＝＝＝，
即CF+EF的最小值是，
故答案為：．

【點(diǎn)撥】本題考查了軸對(duì)稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，關(guān)鍵是畫出符合條件的圖形，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目．
15．4
【分析】
利用角平分線定理確定當(dāng)BF⊥AC時(shí)，PB+PE的值最小，再利用三角形面積公式，即可求得.
【詳解】

如圖，∵AB = AC = 8，AD平分
∴
∴當(dāng)BF⊥AC時(shí)，PB+PE的值最小=BF

∴BF=4
∴PB+PE的最小值為4.
【點(diǎn)撥】本題考查了軸對(duì)稱-最短路徑問題，也可以用角平分線定理考慮，找到PE+PB最小值的情況并畫出圖形，是解題的關(guān)鍵.
16．105°
【分析】
如圖，作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△AEC≌△CFH，得CE＝FH，將CE轉(zhuǎn)化為FH，與BF在同一個(gè)三角形中，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，確定點(diǎn)F的位置，即F為AC與BH的交點(diǎn)時(shí)，BF＋CE的值最小，求出此時(shí)∠AFB＝105°．
【詳解】
解：如圖，作CH⊥BC，且CH＝BC，連接BH交AD于M，連接FH，

∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，
∴AC＝BC，∠DAC＝30°，
∴AC＝CH，
∵∠BCH＝90°，∠ACB＝60°，
∴∠ACH＝90°?60°＝30°，
∴∠DAC＝∠ACH＝30°，
∵AE＝CF，
∴△AEC≌△CFH，
∴CE＝FH，BF＋CE＝BF＋FH，
∴當(dāng)F為AC與BH的交點(diǎn)時(shí)，BF＋CE的值最小，
此時(shí)∠FBC＝45°，∠FCB＝60°，
∴∠AFB＝105°，
故答案為105°.
【點(diǎn)撥】此題考查全等三角形的性質(zhì)和判定、等邊三角形的性質(zhì)、最短路徑問題，關(guān)鍵是作出輔助線，當(dāng)BF＋CE取得最小值時(shí)確定點(diǎn)F的位置，有難度．
17．（3，）
【解析】
【分析】
作N關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)N′，連接N′M交OA于P，則此時(shí)，PM＋PN最小，由作圖得到ON＝ON′，∠N′ON＝2∠AON＝60°，求得△NON′是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到N′M⊥ON，解直角三角形即可得到結(jié)論．
【詳解】
作N關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)N′，連接N′M交OA于P，

則此時(shí)，PM＋PN最小，
∵OA垂直平分NN′，
∴ON＝ON′，∠N′ON＝2∠AON＝60°，
∴△NON′是等邊三角形，
∵點(diǎn)M是ON的中點(diǎn)，
∴N′M⊥ON，
∵點(diǎn)N（6，0），
∴ON＝6，
∵點(diǎn)M是ON的中點(diǎn)，
∴OM＝3，
∴PM＝，
∴P（3，）．
故答案為：（3，）
【點(diǎn)撥】本題考查了軸對(duì)稱?最短路線問題，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，關(guān)鍵是確定P的位置．
18．40°
【分析】
作P關(guān)于OA，OB的對(duì)稱點(diǎn)P1，P2．連接OP1，OP2．則當(dāng)M，N是P1P2與OA，OB的交點(diǎn)時(shí)，△PMN的周長(zhǎng)最短，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可以證得：∠OP1M=∠OPM=50°，OP1=OP2=OP，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】
如圖：作P關(guān)于OA，OB的對(duì)稱點(diǎn)P1，P2．連接OP1，OP2．則當(dāng)M，N是P1P2與OA、OB的交點(diǎn)時(shí)，△PMN的周長(zhǎng)最短，連接P1O、P2O，
∵PP1關(guān)于OA對(duì)稱，
∴∠P1OP=2∠MOP，OP1=OP，P1M=PM，∠OP1M=∠OPM=50°
同理，∠P2OP=2∠NOP，OP=OP2，
∴∠P1OP2=∠P1OP+∠P2OP=2（∠MOP+∠NOP）=2∠AOB，OP1=OP2=OP，
∴△P1OP2是等腰三角形．
∴∠OP2N=∠OP1M=50°，
∴∠P1OP2=180°-2×50°=80°，
∴∠AOB=40°，

故答案為40°
【點(diǎn)撥】本題考查了對(duì)稱的性質(zhì)，正確作出圖形，證得△P1OP2是等腰三角形是解題的關(guān)鍵．
19．5cm
【分析】
作M關(guān)于OC的對(duì)稱點(diǎn)P，過P作PN⊥OA于N，交OC于Q，則此時(shí)QM+QN的值最小，則OP=OM=10cm，QM=PQ，∠PNO=90°，根據(jù)含30°角的直角三角形性質(zhì)求出PN即可．
【詳解】
解：作M關(guān)于OC的對(duì)稱點(diǎn)P，過P作PN⊥OA于N，交OC于Q，則此時(shí)QM+QN的值最小，

∵∠AOB=30°，OC平分∠AOB，在OA上有一點(diǎn)M，
∴OA、OB關(guān)于OC對(duì)稱，
∴P點(diǎn)在OB上，
∴OP=OM=10cm，QM=PQ，∠PNO=90°，
∵PN=OP=×10=5cm，
∴QM+QN=PQ+QN=PN=5cm，
故答案為5cm．
【點(diǎn)撥】本題考查了含30度角的直角三角形性質(zhì)，軸對(duì)稱以及最短路線問題，垂線段最短的應(yīng)用，關(guān)鍵是確定Q、N的位置．
20．60°
【詳解】
如圖，因?yàn)辄c(diǎn)Ａ關(guān)于GH的對(duì)稱點(diǎn)是F，所以連接BF交GH于點(diǎn)P，
則PA+PB=PF+PB=BF，
所以PA+PB的最小值是BF.
因?yàn)椤螧AF=180°×(6-2)÷6=120°，AB=AF，
所以∠AFB=30°.
因?yàn)椤螲GF=90°，
所以∠GPF=60°.
故答案為：60°.

21．5cm；
【解析】
分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)C、D，連接CD，分別交OA、OB于點(diǎn)M、N，連接OP、OC、OD、PM、PN．

∵點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)為C，關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)為D，
∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；
∵點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)為D，
∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，
∴OC=OD=OP=5cm，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，
∴△COD是等邊三角形，
∴CD=OC=OD=5cm．
∴△PMN的周長(zhǎng)的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=5cm．
故答案是：5cm．
【點(diǎn)撥】主要運(yùn)用最短路線問題，綜合運(yùn)用了等邊三角形的知識(shí)．
22．（1）見解析；（2），理由見解析；（3）
【分析】
（1）在上截取，易證是等邊三角形，得出，證明，得出，即可得出結(jié)論；
（2）過作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，由平行線的性質(zhì)易證，得出為等邊三角形，則，證明，得出，即可得出；
（3）當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，的值最小，最小值，當(dāng)時(shí)，的值最大，最大值，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，的值最小，最小值，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑從最小值增大到4，再減小到，由此可得結(jié)論．
【詳解】
解：（1）證明：在上截取，如圖1所示：

是等邊三角形，
，
是等邊三角形，
，，
是等邊三角形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
（2）線段，與之間的等量關(guān)系是．理由如下：
是等邊三角形，
，
過作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，如圖2所示：

，
，，
，
為等邊三角形，
，，
為等邊三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，
．
（3）由（2），
則∠FCD=∠DGC=60°=∠FCE，
∴CF與BC的夾角不變，即點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑為線段，
當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，的值最小，最小值，
當(dāng)時(shí)，∵EF=DF，
∴CF垂直平分ED，
∴∠CFE=30°，
∴∠CEF=90°，
∵EF=ED=AC=，
∴CF==4，
∴的最大值為4，
當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，的值最小，最小值，
點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑從最小值增大到4，再減小到，
此過程中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)．
【點(diǎn)撥】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)；作輔助線構(gòu)建等邊三角形是解題的關(guān)鍵．
23．(1) 作圖見解析. (2)30°
【詳解】
試題分析：
（1）分別作點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)C，關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)D，連接CD，交OA于E，OB于F.
（2）由軸對(duì)稱的性質(zhì)知OP=OC，OP=OD，且△PEF周長(zhǎng)的最小值是CD，所以dqga4OCD是等邊三角形，而∠COD=2∠EOF，由此即可求解.
試題解析：
(1)如圖，作點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)C，關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)D，連接CD，交OA于E，OB于F.此時(shí)，△PEF的周長(zhǎng)最小．

(2)根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得，OC=OP=OD，∠COE=∠POE，∠DOF=∠POF，△PEF的周長(zhǎng)的最小值=CD，
因?yàn)镺P=4，△PEF的周長(zhǎng)的最小值為4，所以△OCD是等邊三角形.
因?yàn)椤螩OE=∠POE，∠DOF=∠POF，所以∠PEF=∠COD=30°.

24．（1）36；（2）證明見解析；（3）3，理由見解析.
【分析】
(1)根據(jù)直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)易得A,C的坐標(biāo)，從而得出AC=12，OB=6，根據(jù)三角形面積公式可求解；
(2) 過E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，延長(zhǎng)EA交y軸于點(diǎn)H，證△DEF≌△BDO，得出EF＝OD＝AF，有，得出∠BAE＝90°.
(3)由已知條件可在線段OA上任取一點(diǎn)N,再在AE作關(guān)于OF的對(duì)稱點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)時(shí)，最短為點(diǎn)O到直線AE的距離.再由，在直角三角形中,
即可得解.
【詳解】
解：（1）由已知條件得：
AC=12，OB=6
∴
（2）過E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，延長(zhǎng)EA交y軸于點(diǎn)H,

∵△BDE是等腰直角三角形，
∴DE=DB, ∠BDE=90°,
∴
∵
∴
∴
∵EF軸，
∴
∴DF=BO=AO,EF=OD
∴AF=EF
∴
∴∠BAE＝90°
（3）由已知條件可在線段OA上任取一點(diǎn)N,再在AE作關(guān)于OF的對(duì)稱點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)時(shí)，最短為點(diǎn)O到直線AE的距離,即點(diǎn)O到直線AE的垂線段的長(zhǎng)，

∵，OA=6，
∴OM+ON=3
【點(diǎn)撥】本題考查的知識(shí)點(diǎn)主要是直角三角形的性質(zhì)及應(yīng)用，軸對(duì)稱在最短路徑問題中的應(yīng)用，弄懂題意，作出合理的輔助線是解題的關(guān)鍵.
25．(1)見解析;(2)AM＋AN＝BM＋BN.
【解析】
試題分析：
(1)根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，分別作點(diǎn)M，N關(guān)于OP，OQ的對(duì)稱點(diǎn)M′，N′，連接MM′，NN′交OP，OQ于點(diǎn)A，B.
（2）由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知AM+AN=M′N，BM+BN=MN′，
試題解析：
(1)圖略，點(diǎn)A，B即為所求．畫法：①作點(diǎn)M關(guān)于射線OP的對(duì)稱點(diǎn)M′；②連接M′N交OP于點(diǎn)A；③作點(diǎn)N關(guān)于射線OQ的對(duì)稱點(diǎn)N′；④連接N′M交OQ于點(diǎn)B.

(2)AM＋AN＝BM＋BN.
點(diǎn)撥：本題主要考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，“將軍飲馬”型的問題是中考?？嫉念}型，如圖，點(diǎn)A，B在直線l的同旁，在直線l求點(diǎn)P，使PA+PB最小.確定點(diǎn)P的位置的方法是，作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接BA′交直線l于點(diǎn)P，則PA+PB的值最小.

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