?專題13.18 課題-最短路徑（將軍飲馬問題）
（專項練習）（提高篇）
一、單選題
1．如圖，在中，點、、的坐標分別為、和，則當的周長最小時，的值為（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3
2．如圖，是等邊三角形，是邊上的高，E是的中點，P是上的一個動點，當與的和最小時，的度數是（ ）

A． B． C． D．
3．如圖，△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的高，E是AC的中點，P是AD上的一個動點，當PC與PE的和最小時，∠ACP的度數是（　?。?br />
A．30° B．45° C．60° D．90°
4．在中，，，于點，且，若點在邊上移動，則的最小值是（ ）
A．4.5 B．4.6 C．4.7 D．4.8
5．如圖，在銳角△ABC中，AB＝AC＝10，S△ABC ＝25，∠BAC的平分線交BC于點D，點M，N分別是AD和AB上的動點，則BM＋MN的最小值是（ ）

A．4 B． C．5 D．6
6．如圖，點是內任意點，分別是射線OA，和射線OB上的動點，周長的最小值為8cm，則的度數是（ ）

A． B． C． D．
7．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC為底邊在△ABC外作等腰△ACD，過點D作∠ADC的平分線分別交AB，AC于點E，F．若AC＝12，BC＝5，△ABC的周長為30，點P是直線DE上的一個動點，則△PBC周長的最小值為（　　）

A．15 B．17 C．18 D．20
8．在等腰中，，、分別是，的中點，點是線段上的一個動點，當的周長最小時，點的位置在的（ ）

A．重心 B．內心 C．外心 D．不能確定
9．如圖, 的周長為16．點是邊的中點，=2，過點作的垂線，是上任意一點，則 的周長最小值為( )

A．12 B．14 C．16 D．18
10．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，S△ABC＝60，AD⊥BC于點D，EF垂直平分AB，交AB于點E，AC于點F，在EF上確定一點P，使PB＋PD最小，則這個最小值為（ ）

A．10 B．11
C．12 D．13
11．如圖，等腰三角形的底邊長為4，面積是24，腰的垂直平分線分別交邊于點．若點為邊上的中點，點為線段上一動點則周長的最小值為( )

A．12 B．14 C．16 D．24
12．如圖，點是內任意一點，且，點和點分別是射線和射線上的動點，當周長取最小值時，則的度數為（ ）

A．145° B．110° C．100° D．70°
13．如圖，在中，，，點、分別在邊、上，，點是邊上一動點，當的值最小時，，則為（ ）

A． B． C． D．
14．如圖，等腰中，垂直平分，交于點，交于點，點是線段上的一動點，若的面積是，，則的周長最小值是（ ）

A． B． C． D．


二、填空題
15．如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（0，6），點B為x軸上一動點，以AB為邊在直線AB的右側作等邊三角形ABC．若點P為OA的中點，連接PC，則PC的長的最小值為_____．

16．如圖，在中．，若，，，將折疊，使得點C恰好落在AB邊上的點E處，折痕為AD，點P為AD上一動點，則的周長最小值為___．

17．如圖，等腰△ABC底邊BC的長為6cm，面積是24cm2，腰AB的垂直平分線MN交AB于點M，交AC于點N，若D為BC邊上的中點，E為線段MN上一動點，則△BDE的周長最小值為____cm．

18．如圖，在△ABC中，AB=AC，BC=6，△ABC面積為12，AD⊥BC于點D，直線EF垂直平分AB交AB于點E，交BC于點F，P為直線EF上一動點，則△PBD的周長的最小值為____________．

19．如圖，△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△ABC的面積為20，腰AC的垂直平分線EF分別交邊AC，AB于點E，F，若D為BC邊的中點，M為線段EF上一動點，則△CDM的周長的最小值為__________．

20．如圖，在△AOB中，∠OAB=∠AOB=15o，OB=5，OC平分∠AOB，點P在射線OC上，Q是OA上一動點，則PA+PQ的最小值是__________

21．如圖，在中，，，，是的角平分線，點，點分別是，邊上的動點，點在上，且，則的最小值為___________．

22．如圖，在銳角三角形ABC中，AB＝10，S△ABC＝30，∠ABC的平分線BD交AC于點D，點M、N分別是BD和BC上的動點，則CM+MN的最小值是_____．

23．如圖，在銳角中，，，平分，，分別是和上的動點，則的最小值是_______．

24．如圖，在中，垂直平分，點P為直線上一動點，則周長的最小值是________．


三、解答題
25．如圖，是平面內三點．
（1）按要求作圖：請先用鉛筆作圖，確認無誤后，再用黑色水筆描深．
①作射線，過點作直線，使兩點在直線兩旁；
②過點作直線的垂線段，垂足為；
③點為直線上任意一點，點為射線上任意一點，連結線段．
（2）在（1）所作圖形中，若點到直線的距離為2，點到射線的距離為5，點、之間的距離為8，點之間的距離為6，則的最小值為__________，依據是___________．


26．如圖，在等腰三角形ABC中，底邊，的面積是，腰AB的垂直平分線EF分別交AB、AC于點E、F，點D為BC邊上的中點，M為EF上的動點．
（1）當周長的最小時，請在圖中作出滿足條件的（保留作圖痕跡，不要求寫出畫法）．
（2）周長的最小值是___________．


27．如圖要在燃氣管道l上修建一個泵站，分別向A，B兩鎮(zhèn)供氣．泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？你可以在l上找?guī)讉€點試一試，能發(fā)現什么規(guī)律？

聰明的小明通過獨立思考，很快得出了解決這個問題的正確辦法．他把管道l看成一條直線圖（2）問題就轉化為要在直線l上找一點P，使AP與BP的和最小．他的做法是這樣的：
①作點B關于直線l的對稱點；
②連接交直線l于點P，則點P即為所求．
請你參考小明的做法解決下列問題：
如圖（3），在ABC中，D，E分別是AB，AC邊的中點，請你在BC邊上確定一點P，使的周長最?。?br />
28．如圖所示，在街道的同一側，有兩個居民區(qū)A，B，兩個居民區(qū)門口到街道的距離分別為AC，BD．現準備在街道旁設置一個快遞中轉站．

（1）如果設置的快遞中轉站到A，B兩個小區(qū)的距離相等，如圖1，當∠A=∠BPD時，請說明AC+BD=CD的理由；
（2）如果設置的快遞中轉站到A，B兩個小區(qū)的距離之和最短，請在圖2中作出點P的位置，連接AP，BP，直接寫出此時∠PAC與∠PBD的數量關系；
（3）為了能錯峰進行取送快遞，決定設置的快遞中轉站到A，B兩個小區(qū)的距離之差最大，請在圖3中作出點P的位置，連接AP，BP，直接寫出此時∠PAC與∠PBD的數量關系．
參考答案
1．C
【分析】
做出B關于x軸對稱點為B′，連接B′C，交x軸于點A'，此時的周長最小，由等腰直角三角形的性質可求∠OB'A'=∠OA'B'=45°，可求OB'=OA'=1，即可求解．
【詳解】
解：如圖所示，做出B關于x軸對稱點為B′，連接B′C，交x軸于點A'，此時△ABC周長最小

過點C作CH⊥x軸，過點B'作B'H⊥y軸，交CH于H，
∵B（0，2），
∴B′（0，-2），
∵C（5，3），
∴CH= B′H=5，
∴∠CB'H=45°，
∴∠BB' A'=45°，
∴∠OB'A'=∠OA'B'=45°，
∴OB'=OA'=2，
則此時A'坐標為（2，0）．
m的值為2．
故選：C．
【點撥】此題考查了軸對稱-最短路徑問題，考查了軸對稱的性質，等腰直角三角形的性質等知識，根據已知得出A點位置是解題關鍵．
2．A
【分析】
連接BE，則BE的長度即為PE與PC和的最小值．再利用等邊三角形的性質可得∠PBC=∠PCB=30°，即可解決問題；
【詳解】
解：如連接BE，與AD交于點P，此時PE+PC最小，
∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，
∴PC=PB，
∴PE+PC=PB+PE=BE，
即BE就是PE+PC的最小值，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BCE=60°，
∵BA=BC，AE=EC，
∴BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠EBC=30°，
∵PB=PC，
∴∠PCB=∠PBC=30°，
∴∠ECP=∠ACB-∠PCB=30°，
故選：A．

【點撥】本題考查的是最短線路問題及等邊三角形的性質，熟知兩點之間線段最短的知識是解答此題的關鍵．
3．A
【分析】
連接BE，則BE的長度即為PE與PC和的最小值．再利用等邊三角形的性質可得∠PBC=∠PCB=30°，即可解決問題；
【詳解】
解：如圖，連接BE，與AD交于點P，此時PE+PC最小，

∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，
∴PC=PB，
∴PE+PC=PB+PE=BE，
即BE就是PE+PC的最小值，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BCE=60°，
∵BA=BC，AE=EC，
∴BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠EBC=30°，
∵PB=PC，
∴∠PCB=∠PBC=30°，
∴∠ACP =30°，
故選：A．
【點撥】本題考查了最短線路問題及等邊三角形的性質，熟知兩點之間線段最短的知識是解答此題的關鍵．
4．D
【分析】
根據最短路徑問題得：當BP⊥AC時，的值最小，利用面積關系得到，代入數值求出答案.
【詳解】
由題意得：當BP⊥AC時，的值最小，
∵,
∴,
解得BP=，
故選：D.

【點撥】此題考查最短路徑問題，三角形的面積計算公式，利用最短路徑問題的思路得到當BP⊥AC時，的值最小是解題的關鍵.
5．C
【分析】
根據AD是∠BAC的平分線，AB=AC可得出確定出點B關于AD的對稱點為點C，根據垂線段最短，過點C作CN⊥AB于N交AD于M，根據軸對稱確定最短路線問題，點M即為使BM＋MN最小的點，CN＝BM＋MN，利用三角形的面積求出CN，從而得解．
【詳解】
解：如圖，∵AD是∠BAC的平分線，AB=AC，
∴點B關于AD的對稱點為點C，
過點C作CN⊥AB于N交AD于M，

由軸對稱確定最短路線問題，點M即為使BM＋MN最小的點，CN＝BM＋MN，
∵AB＝10，S△ABC＝25，
∴×10?CN＝25，
解得CN＝5，
即BM＋MN的最小值是5．
故選：C．
【點撥】本題考查了軸對稱確定最短路線問題，垂線段最短的性質，等腰三角形的性質，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質定理，結合軸對稱變換來解決，多數情況要作點關于某直線的對稱點．
6．A
【分析】
分別作點P關于OA、OB的對稱點C、D，連接CD，分別交OA、OB于點M、N，連接OC、OD、PM、PN、MN，由對稱的性質得出PM=DM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=CN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB=∠COD，證出△OCD是等邊三角形，得出∠COD=60°，即可得出結果．
【詳解】
解：分別作點P關于OA、OB的對稱點C、D，連接CD，
分別交OA、OB于點M、N，連接OC、OD、PM、PN、MN，如圖所示：
∵點P關于OA的對稱點為D，關于OB的對稱點為C，
∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；
∵點P關于OB的對稱點為C，
∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，
∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，
∵△PMN周長的最小值是8cm，
∴PM+PN+MN=8，
∴DM+CN+MN=8，
即CD=8=OP，
∴OC=OD=CD，
即△OCD是等邊三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠AOB=30°；
故選：A．

【點撥】本題考查了軸對稱的性質、最短路線問題、等邊三角形的判定與性質；熟練掌握軸對稱的性質，證明三角形是等邊三角形是解決問題的關鍵．
7．C
【分析】
根據點與點關于對稱，即可得出，當點與點重合時，，此時的周長最小，根據與的長即可得到周長的最小值．
【詳解】
解：是以為底邊的等腰三角形，平分，

垂直平分，
點與點關于對稱，
，
如圖所示，當點與點重合時，，
此時的周長最小，
，，的周長為30，
，
周長的最小值為，
故選：．
【點撥】本題主要考查了最短距離問題，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質定理，結合軸對稱變換來解決，多數情況要作點關于某直線的對稱點．
8．A
【分析】
連接BP，根據等邊三角形的性質得到AD是BC的垂直平分線，根據三角形的周長公式、兩點之間線段最短解答即可.
【詳解】
連接BP、BE，
∵AB=AC，BD=BC，
∴AD⊥BC，
∴PB=PC，
∴PC+PE=PB+PE，
∵,
∴當B、P、E共線時，PC+PE的值最小，此時BE是△ABC的中線，
∵AD也是中線,
∴點P是△ABC的重心，
故選：A.

【點撥】此題考查等腰三角形的性質，軸對稱圖形中最短路徑問題，三角形的重心定義.
9．A
【分析】
連接BE，依據l是AB的垂直平分線，可得AE=BE，進而得到AE+CE=BE+CE，依據BE+CE≥BC，可知當B，E，C在同一直線上時，BE+CE的最小值等于BC的長，而AC長不變，故△AEC的周長最小值等于AC+BC．
【詳解】
∵點D是AB邊的中點，BD=2，

∴AB=2BD=4，
∵△ABC的周長為16，
∴AC+BC=12，
如圖，連接BE，
∵點D是AB邊的中點，l⊥AB，
∴l(xiāng)是AB的垂直平分線，
∴AE=BE，
∴AE+CE=BE+CE，
∵BE+CE≥BC，
∴當B，E，C在同一直線上時，BE+CE的最小值等于BC的長，而AC長不變，
∴△AEC的周長最小值等于AC+BC=12，
故選：A．
【點撥】此題考查軸對稱-最短距離問題，解題關鍵在于涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質定理，多數情況要作點關于某直線的對稱點．
10．C
【分析】
根據三角形的面積公式即可得到AD的長度，再由最短路徑的問題可知PB＋PD的最小即為AD的長．
【詳解】
∵
∴
∵EF垂直平分AB
∴點A，B關于直線EF對稱
∴
∴，
故選：C.
【點撥】本題主要考查了最短路徑問題，熟練掌握相關解題技巧及三角形的高計算方法是解決本題的關鍵.
11．B
【分析】
連接AD，根據等腰三角形的性質以及垂直平分線的性質結合三角形的面積公式求出AD的長，再根據垂直平分線的性質知點C關于直線EF的對稱點為點A，故A、M、D共線時△CDM的周長的最小，由此即可得出結論．
【詳解】
連接AD，

∵△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，=4，
∴AD⊥BC，=2，
∴，
∴AD=12，
∵EF是線段AC的垂直平分線，
∴點C關于直線EF的對稱點為點A，
∴AD的長為CM+MD的最小值，
∴△CDM的周長最短.
故選：B
【點撥】本題考查的是軸對稱——最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質是解答此題的關鍵．
12．B
【分析】
分別作點P關于OA、OB的對稱點P1、P2，連P1、P2，交OA于M，交OB于N，△PMN的周長=P1P2，然后得到等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1=100°，即可得出∠MPN=∠OPM+∠OPN=∠OP1M+∠OP2N=100°．
【詳解】
解：分別作點P關于OA、OB的對稱點P1、P2，連接P1P2，交OA于M，交OB于N，則
OP1=OP=OP2，∠OP1M=∠MPO，∠NPO=∠NP2O，
∴∠P1OM=∠MOP，∠NOP=∠N O P2，

根據軸對稱的性質，可得MP=P1M，PN=P2N，則
△PMN的周長的最小值=P1P2，
∴∠P1OP2=2∠AOB=70°，
∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1=110°，
∴∠MPN=∠OPM+∠OPN=∠OP1M+∠OP2N=110°，
故選：B．
【點撥】本題考查了軸對稱-最短路線問題，正確作出輔助線，得到等腰△OP1P2中∠OP1P2+∠OP2P1=110°是關鍵．凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質定理，多數情況要作點關于某直線的對稱點．
13．B
【分析】
延長至點，使，過點作于點，交于點，
則此時的值最小.最后根據直角三角形的邊角關系求解即可．
【詳解】
如圖，延長至點，使，

過點作于點，交于點，
則此時的值最小.
在中，，.
，，，
.
，.
，，.
，，.
在中，，.
，，.
故選B.
【點撥】本題考查了最短路徑問題，涉及到最短路徑問題，一般要考慮線段的性質定理，結合軸對稱變換來解決，因此利用軸對稱找到對稱點是解題的關鍵．
14．B
【分析】
利用三角形的面積公式求出AD，再根據等腰三角形的性質得出BD的長，由EF垂直平分AB，推出BG=AG，推出AG+DG=BG+GD，由BG+GD≥BD，推出GA+GD≥3，推出GA+GD的最小值為3，由此即可解決問題．
【詳解】
解：如圖，連接BG．

∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC=3cm，
∵S△ABC=?BC?AD=6，
∴AD=2，
∵EF垂直平分AB，
∴BG=AG，
∴AG+DG=BG+GD，
∵BG+GD≥BD，，
∴GA+GD≥3，
∴GA+GD的最小值為3，
∴△ADG的最小值為2+3=5，
故選：B．
【點撥】本題考查軸對稱-最短問題，線段的垂直平分線的性質，等腰三角形的性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．
15．
【分析】
以AP為邊作等邊三角形APE，連接BE，過點E作EF⊥AP于F，由“SAS”可證△ABE≌△ACP，可得BE＝PC，則當BE有最小值時，PC有最小值，即可求解．
【詳解】
解：如圖，以AP為邊作等邊三角形APE，連接BE，過點E作EF⊥AP于F，

∵點A的坐標為（0，6），
∴OA＝6，
∵點P為OA的中點，
∴AP＝3，
∵△AEP是等邊三角形，EF⊥AP，
∴AF＝PF＝，AE＝AP，∠EAP＝∠BAC＝60°，
∴∠BAE＝∠CAP，
在△ABE和△ACP中，

∴△ABE≌△ACP（SAS），
∴BE＝PC，
∴當BE有最小值時，PC有最小值，
即BE⊥x軸時，BE有最小值，
∴BE的最小值為OF＝OP＋PF＝3＋＝，
∴PC的最小值為，
故答案為．
【點撥】本題考查了軸對稱?最短路線問題，全等三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，添加恰當輔助線構造全等三角形是本題的關鍵．
16．20．
【分析】
根據由沿AD對稱,得到，進而表示出，最后求周長即可．
【詳解】
由沿AD對稱得到，
則E與C關于直線AD對稱，
，
∴，
如圖,連接，

由題意得，
∴，
當P在BC邊上，即D點時取得最小值12，
∴周長為，最小值為．
故答案為:20．
【點撥】本題考查了三角形折疊問題，正確讀懂題意是解本題的關鍵．
17．11
【分析】
連接AD，由于△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，故AD⊥BC，再根據三角形的面積公式求出AD的長，再根據MN是線段AB的垂直平分線可知，點B關于直線NM的對稱點為點A，故AD的長為BE+ED的最小值，由此即可得出結論．
【詳解】
解：連接AD，

∵△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，
∴AD⊥BC，BD=3cm

解得AD=8（cm），
∵MN是線段AB的垂直平分線，
∴點B關于直線MN的對稱點為點A，AD與MN的交點為E,
此時BE+DE的值最小
∴AD的長為BE+ED的最小值，
∴△BDE的周長最小值=
故答案為11．
【點撥】本題考查的是軸對稱-最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質是解答此題的關鍵．
18．7
【分析】
如圖，連接PA．利用三角形的面積公式求出AD，由EF垂直平分AB，推出PB=PA，推出PB+PD=PA+PD，由PA+PD≥AD，推出PA+PD≥4，推出PA+PD的最小值為4，由此即可解決問題．
【詳解】
解：如圖，連接PA．

∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC=3，
∵S△ABC=?BC?AD=12，
∴AD=4，
∵EF垂直平分AB，
∴PB=PA，
∴PB+PD=PA+PD，
∵PA+PD≥AD，
∴PA+PD≥4，
∴PA+PD的最小值為4，
∴△PBD的最小值為4+3=7，
故答案為：7．
【點撥】本題考查軸對稱-最短問題，線段的垂直平分線的性質，等腰三角形的性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．
19．12
【分析】
首先添加輔助線連接、，結合已知條件根據等要三角形的性質、三角形的面積公式求得的長，再根據垂直平分線的性質、最短路徑問題推出結論的長為的最小值，由此可得出結論．
【詳解】
解：連接、，如圖：

∵是等腰三角形，點為邊的中點
∴
∴
∴
∵是線段的垂直平分線
∴點關于直線的對稱點為點，
∴
∴的長為的最小值
∴的周長的最小值為．
故答案是：
【點撥】本題考查了三角形的面積公式、等腰三角形的性質、軸對稱以及最短路徑問題等知識點，能利用相關知識點確定的長為的最小值是解決問題的關鍵．
20．
【分析】
在射線OB上截取一點Q′，使得OQ′＝OQ，則△OPQ≌△OPQ′，可得PQ＝PQ′．作AH⊥OB于H．可得PA＋PQ＝PA＋PQ′，推出當A、P、Q′共線，且垂直O(jiān)B時，PA＋PQ′的值最小，最小值為AH．
【詳解】
解：在射線OB上截取一點Q′，使得OQ′＝OQ，則△OPQ≌△OPQ′，可得PQ＝PQ′．作AH⊥OB于H．

∴PA＋PQ＝PA＋PQ′，
∴當A、P、Q′共線，且垂直O(jiān)B時，PA＋PQ′的值最小，最小值為AH，
在Rt△ABH中，∵OB＝AB＝5，∠ABH＝30°，
∴AH＝AB＝，
∴PA＋PQ的最小值為，
故答案為：．
【點撥】本題考查軸對稱?最短問題、等腰三角形的性質、直角三角形30度角性質等知識，解題的關鍵是學會利用軸對稱解決最短問題，屬于中考?？碱}型．
21．．
【分析】
作點關于的對稱點，連接，則，，當，，在同一直線上，且時，的最小值等于垂線段的長，利用含角的直角三角形的性質，即可得到的最小值．
【詳解】
解：如圖所示，作點關于的對稱點，連接，則，，
，
當，，在同一直線上，且時，的最小值等于垂線段的長，
此時，△中，，
，
的最小值為，
故答案為：．

【點撥】本題主要考查了最短路線問題，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質定理，結合軸對稱變換來解決，多數情況要作點關于某直線的對稱點．
22．6
【分析】
過點C作CE⊥AB于點E，交BD于點M′，過點M′作M′N′⊥BC于N′，則CE即為CM+MN的最小值，再根據三角形的面積公式求出CE的長，即為CM+MN的最小值．
【詳解】
解：過點C作CE⊥AB于點E，交BD于點M′，過點M作MN′⊥BC于N′，

∵BD平分∠ABC，M′E⊥AB于點E，M′N′⊥BC于N
∴M′N′＝M′E，
∴CE＝CM′+M′E
∴當點M與M′重合，點N與N′重合時，CM+MN的最小值．
∵三角形ABC的面積為30，AB＝10，
∴×10×CE＝30，
∴CE＝6．
即CM+MN的最小值為6．
故答案為6．
【點撥】本題考查的是軸對稱-最短路線問題，解題的關鍵是學會利用垂線段最短解決最短問題，屬于中考?？碱}型．
23．4
【分析】
根據題意畫出符合條件的圖形，作N關于AD的對稱點R，作AC邊上的高BE（E在AC上），求出BM+MN=BR，根據垂線段最短得出，求出BE即可得出BM+MN的最小值；
【詳解】
作N關于AD的對稱點R，作AC邊上的高BE（E在AC上），

∵AD平分，為銳角三角形，
∴R必在AC上，
∵N關于AD的對稱點是R，
∴MR=MN，
∴，
即（垂線段最短），
∵的面積是，AC=7，
∴，
∴，
即的最小值為．
故答案為4．
【點撥】本題主要考查了軸對稱最短路線問題，準確計算是解題的關鍵．
24．7
【分析】
根據題意知點B關于直線EF的對稱點為點C，故當點P與點D重合時，AP+BP的最小值，求出AC長度即可得到結論．
【詳解】
解：∵垂直平分，
∴B，C關于直線對稱．設交于點D，
∴當P和D重合時，的值最小，最小值等于的長，
∴周長的最小值是．

【點撥】本題考查了勾股定理，軸對稱-最短路線問題的應用，解題的關鍵是找出P的位置．
25．（1）①見解析；②見解析；③見解析；（2）5，垂線段最短
【分析】
（1）①作射線BC，過點B作直線l，使A、C兩點在直線l兩旁即可；
②過點A作AE⊥直線，垂足為E，則線段AE為所求；
③點P為直線l上任意一點，點Q為直線BC上任意一點，連接線段AP、PQ即可：
（2）根據垂線段最短，即可求出AP+PQ的最小值．
【詳解】
解：如圖所示，

（1）①射線BC，直線l即為所求；
②過點A作AE⊥直線，垂足為E，則線段AE為所求；
③點P、Q、線段AP、PQ即為所求；
（2）根據作圖可知：
過點A作AQ⊥BC，垂足為Q，與直線相交與點P，
∴AP+PQ的最小值即為點A到直線BC的距離為：AQ=5．
依據為：垂線段最短．
故答案為：5，垂線段最短．
【點撥】本題考查了點到直線的距離，直線，射線，線段的定義，正確的作出圖形是解題的關鍵．
26．（1）圖見解析；（2）5.5
【分析】
（1）根據三角形周長公式和兩點之間線段最短來分析，進而再利用簡單的作圖方法即可作圖；
（2）根據三角形面積公式求出AD，再根據中點定義求出BD即可求解．
【詳解】
（1）如圖所示；連接AM，
∵EF是AB的線段垂直平分線
∴AM＝BM
∴△BDM的周長＝BM＋DM＋BD
又AM＝BM
∴△BDM的周長＝AM＋DM＋BD
∵BD是定值
∴當A、M、D三點在一條直線上時，AM＋DM值最小，即△BDM的周長最小，

（2）∵△ABC是等腰三角形
又點D為BC邊上的中點，
∴AD是△ABC BC邊上的高，
∵，，的面積是，
∴BD＝1.5cm，AD＝4cm
∴△BDM的周長最小值＝AM＋DM＋BD＝AD＋BD＝5.5cm
【點撥】本題考查軸對稱—最短路線問題，線段存在平分線的性質、等腰三角形的性質、三角形周長公式和面積公式等知識，解題的關鍵是運用所學知識求得△BDM的周長最小值＝AM＋DM＋BD
27．見解析
【分析】
由于DE為定值，只需的和最小，根據材料提供的方法作圖即可，過點D作關于BC的對稱點F，連接EF與線段BC交于P點．
【詳解】
解：如圖所示：
的周長
為的中位線
，DE為定值
要使的周長最小
則的和最小
根據小明的做法，
過點D作關于BC的對稱點F，連接EF與線段BC交于P點，
則此時的和最小，此時的周長最小．

【點撥】本題考查圖形的軸對稱、最短路徑的問題，作出對稱點是解題的關鍵，屬于?？碱}型．
28．（1）理由見解析；（2）∠PAC=∠PBD；（3）∠PAC=∠PBD．
【分析】
（1）先判斷出∠ACP＝∠BDP＝90°，進而判斷出△ACP≌△PDB，即可得出結論；
（2）先確定出點A關于直線l的對稱點，連接，即可找出點P的位置，利用對稱性和平行線的性質即可得出結論；
（3）連接BA交直線l于點P，利用平行線的性質即可得出結論．
【詳解】
（1）∵ AC，BD分別是點A，B到直線的距離，
∴ ∠ACP=∠BDP=90°，
在△ACP和△PDB中，，
∴ △ACP≌△PDB（AAS），
∴ AC=PD，PC=BD，
∴CD=CP+PD=BD+AC；
（2）如圖1所示，∠A＝∠B，

理由：由作圖知，
AC＝，⊥l，
∴∠A＝∠A，
∵A∥BD，
∴∠＝∠B，
∴∠A＝∠B；
（3）如圖2所示，

∵∠ACD＝∠BDC＝90°，
∴∠ACD＋∠BDC＝180°，
∴AC∥BD，
∴∠PAC＝∠PBD．
【點撥】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質，對稱性，掌握距離之和最短和距離之差最大的方法是解本題的關鍵．

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