?專題13.9 等腰三角形（專項練習1）
一、 單選題
知識點一、等邊對等角求角
1．如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠A=36°，則∠1的度數(shù)為（　　）

A．36° B．60° C．72° D．108°
2．等腰三角形的一個角是80°，則它的頂角的度數(shù)是（　　 ）
A．80° B．80°或20° C．80°或50° D．20°
3．如圖，AD，CE分別是△ABC的中線和角平分線．若AB=AC，∠CAD=20°，則∠ACE的度數(shù)是（　?。?br />
A．20° B．35° C．40° D．70°
4．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC上一點，且DA＝DC，BD＝BA，則∠B的大小為(　　)

A．40° B．36° C．30° D．25°
知識點二、等邊對等角證明
5．如圖，等腰△中，點D，E分別在腰AB，AC上，添加下列條件，不能判定≌的是（ ）

A． B．
C． D．
6．如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，若AB=4，AD=2，則△AED的周長是（ ）

A．6 B．7 C．8 D．10
7．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E為BC延長線上一點，∠ABC與∠ACE的平分線相交于點D，則∠D的度數(shù)為（　?。?br />
A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°
8．如圖，在等腰三角形ABC中，BD為∠ABC的平分線，∠A=36°，AB=AC=a，BC=b，則CD=（ ）

A． B． C．a(chǎn)-b D．b-a
知識點三、三線合一求解
9．如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC中點，∠BAD=35°，則∠C的度數(shù)為（ ）

A．35° B．45° C．55° D．60°
10．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的兩條中線，P是AD上的一個動點，則下列線段的長等于CP+EP最小值的是（　?。?br />
A．AC B．AD C．BE D．BC
11．如圖，在中，，，是的兩條中線，是上個動點，則下列線段的長度等于最小值的是（ ）

A． B． C． D．
12．如圖，在ABC中，D是AB上一點，AD＝AC，AE⊥CD于點E，點F是BC的中點，若BD＝10，則EF的長為（ ）

A．8 B．10 C．5 D．4
知識點四、三線合一證明
13．如圖，△ABC中，AB=AC，D為BC的中點，以下結(jié)論：（1）△ABD≌△ACD ；（2）AD⊥BC；（3）∠B=∠C ；（4）AD是△ABC的角平分線．其中正確的有（ ）．

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
14．若線段分別是邊上的高線和中線，則（ ）
A． B．
C． D．
15．下列條件能證明ΔABC為等腰三角形的是（ ）
①AD⊥BC，且AD平分BC;②AD⊥BC于點D，且∠BAD=∠CAD；③AD平分BC邊于點D，且AD平分∠BAC.
A．① B．② C．③ D．①②③
16．如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長為4，面積是16，腰AC的垂直平分線EF分別交AC，AB邊于E，F(xiàn)點．若點D為BC邊的中點，點M為線段EF上一動點，則△CDM周長的最小值為（　?。?br />
A．6 B．8 C．10 D．12
知識點五、根據(jù)格點畫等腰三角形
17．在如圖所示的網(wǎng)格紙中，有A、B兩個格點，試取格點C，使得△ABC是等腰三角形，則這樣的格點C的個數(shù)是（　?。?br />
A．4 B．6 C．8 D．10
18．如圖在正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點稱為格點，已知A、B是兩格點，如果C也是圖中的格點，且使得△ABC為等腰三角形，則點C的個數(shù)是（ ）

A．6 B．7 C．8 D．9
19．已知 A（0，2）、B（4，0），點 C 在 x 軸上，若△ABC 是等腰三角形，則滿足這樣條件的 C 有（ ）個．
A．3 B．4 C．5 D．6
20．如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點稱為格點．已知、是兩格點，若也是圖中的格點， 則使得是以為一腰的等腰三角形時， 點的個數(shù)是( )

A．8 B．6 C．4 D．7
知識點六、找等腰三角形
21．如圖，，，，則圖中等腰三角形有（ ）

A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
22．如圖所示，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，∠ABC的平分線交AC于D，則圖中共有等腰三角形（　?。?br />
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
23．如圖，在△ ABC中，∠ A= ∠ C= ，BD平分∠ABC，DE//BC,則圖中等腰三角形的個數(shù)為（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
24．如圖，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，點P從點B出發(fā)以每秒3cm速度向點A運動，點Q從點A同時出發(fā)以每秒2cm速度向點C運動，其中一個動點到達端點，另一個動點也隨之停止，當△APQ是以PQ為底的等腰三角形時，運動的時間是( )秒

A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
知識點七、由等邊對等角證明等腰三角形
25．要使得△ABC是等腰三角形，則需要滿足下列條件中的（　?。?br /> A．∠A=50°，∠B=60° B．∠A=50°，∠B=100°
C．∠A+∠B=90° D．∠A+∠B=90°
26．如圖，△ABC中∠ACB＝90°,CD是AB邊上的高，∠BAC的角平分線AF交CD于E，則△CEF必為（ ）

A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
27．如圖，在△BAC中，∠B和∠C的平分線相交于點F，過點F作DE∥BC交AB于點D，交AC于點E，若BD=5，CE=4，則線段DE的長為（　?。?br /> ?
A．9 B．6 C．5 D．4
28．如圖，等腰△ABC的面積為S，AB＝AC＝m，點D為BC邊上任意一點，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，則DE+DF＝（　　）

A． B． C． D．
知識點八、等角對等邊證明線段相等
29．如圖，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分線CD交AB于點D，已知AC=16，BC=9，則BD的長為（　　?。?br />
A．6 B．7 C．8 D．9
30．如圖，在中，平分，平分，經(jīng)過點O，與，相交于點N，M，且，設(shè)，，，則的周長為（ ）

A．18 B．30 C．36 D．42
31．在△ABC中，∠A=70°，∠B=55°，則△ABC是（　?。?br /> A．鈍角三角形 B．等腰三角形
C．等邊三角形 D．等腰直角三角形
32．下列條件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（ ）
A．a(chǎn)=3，b=3，c=4 B．a(chǎn)︰b︰c=2︰3︰4
C．∠B=50°，∠C=80° D．∠A︰∠B︰∠C=1︰1︰2

二、 填空題
知識點一、等邊對等角求角
33．已知：如圖，在中，點在邊上，，則_______度．

34．如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC上一點，且AB=BD，AD=DC，則∠C=____度

35．如圖，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F(xiàn)為AB延長線上一點，點E在BC上，且AE=CF，若∠BAE=25°，則∠ACF=__________度．

36．如圖，以正六邊形ADHGFE的一邊AD為邊向外作正方形ABCD，則∠BED=_______°．

知識點二、等邊對等角證明
37．等腰三角形的頂角α＞90°，如果過其頂角的頂點作一條直線將這個等腰三角形分成了兩個等腰三角形，那么α的度數(shù)為_______．
38．如圖，課間小明拿著老師的等腰三角板玩，不小心掉到兩張凳子之間（凳子與地面垂直），已知，，則兩張凳子的高度之和為__________.

39．如圖，OC平分∠AOB，CD∥OB，OD=5cm,則CD的長為__________cm.

40．如圖，在△ABC與△ADE中，點E在BC上，AC＝AE，且EA平分∠CED，請你添加1個條件使△ABC≌△ADE，你添加的條件是：_____．

知識點三、三線合一求解
41．如圖，的周長為32，且于，的周長為24，那么的長為______．

42．如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點D，若AB=6，CD=4，則△ABC的周長是_______.

43．等腰三角形的頂角為，底邊上的高為2，則它的周長為_____．
44．如圖，在中，點是上的一點，將沿翻折，點恰好落在的中點處，則的度數(shù)為________________．

知識點四、三線合一證明
45．如圖，已知在中，AB=AC，點D在邊BC上，要使BD=CD，還需添加一個條件，這個條件是_____________________ ．（只需填上一個正確的條件）

46．如圖，墻上釘了根木條，小明想檢驗這根木條是否水平，他拿來一個如圖所示的測平儀，再這個測平儀中，AB=AC，BC邊的中點D處有一個重錘，小明建BC邊與木條重合，觀察此重錘是否通過A點，如通過A點，則是水平的，其中的道理是________.

47．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上的點，過點D作DE⊥AB交BC于點F，交AC的延長線于點E，連接CD，∠DCA=∠DAC，則下列結(jié)論：①∠DCB=∠B；②CD=AB；③△ADC是等邊三角形；④若∠E=30°，則DE=EF+CF．正確的有______.

48．如圖，平分，，的延長線交于點，若，則的度數(shù)為__________．

知識點五、根據(jù)格點畫等腰三角形
49．如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，△ABC的頂點A、B、C恰好落在正方形網(wǎng)格中的格點上，則∠ABC＝______°．

50．如圖，A．B兩點在正方形網(wǎng)格的格點上，每個方格都是邊長為1的正方形、點C也在格點上，且△ABC為等腰三角形，則符合條件的點C共有______個．

51．如圖，在正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點稱為格點．已知，是兩個格點，若點也是圖中的格點，且為等腰三角形，則符合條件的點有______個．

52．在平面直角坐標系中，已知點，，在坐標軸上找一點， 使得是等腰三角形，則這樣的點共有__________個

知識點六、找等腰三角形
53．如圖，在下列三角形中，若AB＝AC，則能被一條直線分成兩個小等腰三角形的是____________.(填序號)

54．在下圖中，將圖1中的，沿翻折得到圖2，將圖2中的不動，把向左平移得圖3，則圖3中有__________個等腰三角形．

55．如圖，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，請寫出圖中有哪些等腰三角形__．

56．如圖，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，DE//BC，則圖中等腰三角形有____個．

知識點七、由等邊對等角證明等腰三角形
57．在一自助夏令營活動中，小明同學從營地A出發(fā)，要到A地的北偏東60°方向的C處，他先沿正東方向走了200m到達B地，再沿北偏東30°方向走，恰能到達目的地C（如圖），那么，由此可知，B、C兩地相距_________m．

58．如圖是按以下步驟作圖：（1）在△ABC中，分別以點B，C為圓心，大于BC長為半徑作弧，兩弧相交于點M，N；（2）作直線MN交AB于點D；（3）連接CD，若∠BCA＝90°，AB＝4，則CD的長為_____．

59．在中，若，則是一個_______三角形.
60．如圖，點D為△ABC的邊AB上一點，若∠1=∠2，AB=7，AC=3，則△ACD的周長為______．

知識點八、等角對等邊證明線段相等
61．在△ABC中，∠CAB＝2∠B，AE平分∠CAB，CD⊥AB于D，AC＝3，AD＝1.下列結(jié)論:①∠AEC＝∠CAB；②EF＝CE；③AC＝AE；④BD＝4；

正確的是___________(填序號)
62．如圖，在△ABC中，∠BAC=100°，∠B=40°，∠D=20°，AB=3，則CD=________.

63．如圖，在四邊形中，，平分，則____.

64．如圖，∠AEC=∠ACE，∠DAB=∠CAE，要使△ABC≌△ADE，應(yīng)添加的條件是_____．（添加一個條件即可）


三、 解答題
知識點一、等邊對等角求角
65．如圖，△ABC與△AFD為等腰直角三角形，∠FAD＝∠BAC＝90°，點D在BC上，則：
（1）求證：BF＝DC．
（2）若BD＝AC，則求∠BFD的度數(shù)．




知識點二、等邊對等角證明
66．如圖，在△ABC中，∠B＝∠C，過BC的中點D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為點E、F．
（1）求證：DE＝DF；
（2）若∠BDE＝40°，求∠BAC的度數(shù)．



知識點三、三線合一求解
67．如圖，已知△ABC中，AB=AC,AD為中線，點P是AD上一點，點Q是AC上一點，且∠BPQ+∠BAQ=180°.
（1）若∠ABP=α，求∠PQC的度數(shù)（用含α的式子表示）；
（2）求證：BP=PQ.

知識點四、三線合一證明
68．如圖，在中，，以點為圓心，線段的長為半徑畫弧，與BC邊交于點，連接AD，過點作，交于點．
（1）若，，求的度數(shù)．
（2）若點是的中點，連接，求證：．




知識點五、根據(jù)格點畫等腰三角形
69．圖①、圖②都是4×4的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點為格點，每個小正方形的邊長均為1．在圖①、圖②中已畫出線段AB，點A、B均在格點上按下列要求畫圖：
（1）在圖①中，以格點為頂點，AB為腰，畫一個三邊長都是無理數(shù)的等腰三角形；
（2）在圖②中，以格點為頂點，AB為底的等腰三角形．







知識點六、找等腰三角形
70．如圖，在直線a上找一點M，使△MAB是等腰三角形.
（1）這樣的M點有 個.
（2）在圖中畫出點M，保留痕跡.






知識點七、由等邊對等角證明等腰三角形
71．已知中，，，為邊上一點，過點的直線交及延長線于、兩點，．
（1）求證；
（2）求證；
（3）若，，請直接寫出的面積．



知識點八、等角對等邊證明線段相等
72．（1）如圖①，在四邊形中，，點是的中點，若是的平分線，試判斷，，之間的等量關(guān)系．
解決此問題可以用如下方法：延長交的延長線于點，易證得到，從而把，，轉(zhuǎn)化在一個三角形中即可判斷．
，，之間的等量關(guān)系________；
（2）問題探究：如圖②，在四邊形中，，與的延長線交于點，點是的中點，若是的平分線，試探究，，之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．


參考答案
1．C
【分析】
根據(jù)∠A=36°，AB=AC求出∠ABC的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義求出∠ABD的度數(shù)，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)計算得到答案．
【詳解】
解：∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=36°，
∴∠1=∠A+∠ABD=72°，
故選C．
2．B
【詳解】
試題分析：分80°角是頂角與底角兩種情況討論求解． ①80°角是頂角時，三角形的頂角為80°，
②80°角是底角時，頂角為180°﹣80°×2=20°， 綜上所述，該等腰三角形頂角的度數(shù)為80°或20°．
考點：等腰三角形的性質(zhì)．
3．B
【分析】
先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理求出∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°-∠CAB）=70°．再利用角平分線定義即可得出∠ACE=∠ACB=35°．
【詳解】
∵AD是△ABC的中線，AB=AC，∠CAD=20°，
∴∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°-∠CAB）=70°．
∵CE是△ABC的角平分線，
∴∠ACE=∠ACB=35°．
故選B．
【點撥】本題考查了等腰三角形的兩個底角相等的性質(zhì)，等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理以及角平分線定義，求出∠ACB=70°是解題的關(guān)鍵．
4．B
【分析】
根據(jù)AB＝AC可得∠B＝∠C，CD＝DA可得∠ADB＝2∠C＝2∠B，BA＝BD，可得∠BDA＝∠BAD＝2∠B，在△ABD中利用三角形內(nèi)角和定理可求出∠B．
【詳解】
解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵CD＝DA，
∴∠C＝∠DAC，
∵BA＝BD，
∴∠BDA＝∠BAD＝2∠C＝2∠B，
設(shè)∠B＝α，則∠BDA＝∠BAD＝2α，
又∵∠B＋∠BAD＋∠BDA＝180°，
∴α＋2α＋2α＝180°，
∴α＝36°，即∠B＝36°，
故選B．
【點撥】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，掌握等邊對等角是解題的關(guān)鍵，注意三角形內(nèi)角和定理和方程思想的應(yīng)用．
5．B
【分析】
根據(jù)全等三角形的判定方法逐項判斷即得答案．
【詳解】
解： A、若添加，由于AB=AC，∠A是公共角，則可根據(jù)SAS判定≌，故本選項不符合題意；
B、若添加，不能判定≌，故本選項符合題意；
C、若添加，由于AB=AC，∠A是公共角，則可根據(jù)AAS判定≌，故本選項不符合題意；
D、若添加，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABE=∠ACD，由于∠A是公共角，則可根據(jù)ASA判定≌，故本選項不符合題意．
故選：B．
【點撥】本題考查了全等三角形的判定和等腰三角形的性質(zhì)，屬于基本題型，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
6．A
【分析】
根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得出△BDE為等腰三角形，然后將△ADE的周長轉(zhuǎn)化為AB+AD得出答案．
【詳解】
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABD，
∵DE∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，
∴∠EDB=∠EBD，
∴BE=DE，
∴=AE+DE+AD=AE+BE+AD=AB+AD=4+2=6，
故選A．
點睛：本題主要考查的是角平分線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型．解答這個問題的關(guān)鍵就是得出△BDE為等腰三角形．
7．A
【分析】
先根據(jù)角平分線的定義得到∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠1＋∠2＝∠3＋∠4＋∠A，∠1＝∠3＋∠D，則2∠1＝2∠3＋∠A，利用等式的性質(zhì)得到∠D＝∠A，然后把∠A的度數(shù)代入計算即可．
【詳解】
解答：解：∵∠ABC的平分線與∠ACE的平分線交于點D，

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵∠ACE＝∠A＋∠ABC，
即∠1＋∠2＝∠3＋∠4＋∠A，
∴2∠1＝2∠3＋∠A，
∵∠1＝∠3＋∠D，
∴∠D＝∠A＝×30°＝15°．
故選A．
【點撥】點評：本題考查了三角形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是根據(jù)三角形內(nèi)角和是180°和三角形外角性質(zhì)進行分析．
8．C
【分析】
根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和判定得出BD=BC=AD，進而解答即可．
【詳解】
解：∵在等腰△ABC中，BD為∠ABC的平分線，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=2∠ABD=72°，
∴∠ABD=36°=∠A，
∴BD=AD，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C，
∴BD=BC，
∵AB=AC=a，BC=b，
∴CD=AC-AD=a-b，
故選：C．
【點撥】此題考查等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和判定得出BD=BC=AD解答．
9．C
【詳解】
試題分析：根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)可直接得到AD平分∠BAC，AD⊥BC，因此∠DAC=∠BAD=35°，∠ADC=90°，從而可求得∠C=55°.
故選C
考點：等腰三角形三線合一
10．C
【分析】
如圖連接PB，只要證明PB=PC，即可推出PC+PE=PB+PE，由PE+PB≥BE，可得P、B、E共線時，PB+PE的值最小，最小值為BE的長度．
【詳解】
解：如圖，連接PB，

∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴PB=PC，
∴PC+PE=PB+PE，
∵PE+PB≥BE，
∴P、B、E共線時，PB+PE的值最小，最小值為BE的長度，
故選C．
【點撥】本題考查軸對稱-最短路線問題，等腰三角形的性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題．
11．B
【分析】
如圖連接PC，只要證明PB=PC，即可推出PB+PE=PC+PE，由PE+PC≥CE，推出P、C、E共線時，PB+PE的值最小，最小值為CE．
【詳解】

∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴PB=PC，
∴PB+PE=PC+PE，
∵PE+PC≥CE，
∴P、C、E共線時，PB+PE的值最小，最小值為CE．
故選B．
【點撥】本題主要考查了了三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用，結(jié)合了等腰三角形三線合一的性質(zhì)和中垂線的性質(zhì)．
12．C
【分析】
根據(jù)等腰三角形的三線合一得到，再根據(jù)三角形中位線定理解答即可．
【詳解】
∵，，
∴，
∵，，
∴,
故選：C．
【點撥】本題考查了三角形中位線定理、等腰三角形的三線合一定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．
13．D
【分析】
由“三線合一”可知（2）（4）正確，由等邊對等角可知（3）正確，且容易證明△ABD≌△ACD，得（1）正確，可得出答案．
【詳解】
解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，故（3）正確，
∵D為BC的中點，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，故（2）（4）正確，
在△ABD和△ACD中
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），故（1）正確，
∴正確的有4個，
故選擇：D.
【點撥】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形底邊上的中線、底邊上的高、頂角的角平分線相互重合是解題的關(guān)鍵．
14．D
【分析】
畫出符合題意的圖形，根據(jù)點到直線的距離，垂線段最短，等腰三角形的三線合一，逐一判斷各選項可得答案．
【詳解】
解：如圖，是的高，是的中線，

當為等腰三角形，且時，等號成立．
故錯誤，正確，
故選：．
【點撥】本題考查的是點到直線的距離，垂線段最短，等腰三角形的三線合一，三角形的高，中線的含義，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
15．D
【分析】
可根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)來判斷①②③是否正確．
【詳解】
∵AD⊥BC，且AD平分BC，
∴AD是邊BC上的中垂線，
∴根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)知，△ABC為等腰三角形；
故本選項正確；
∵AD⊥BC于點D，且∠BAD=∠CAD，
∴AD是BC邊上的垂線、∠BAC的角平分線，
∴根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)知，△ABC為等腰三角形；
故本選項正確；
∵AD平分BC邊于點D，且AD平分∠BAC，
∴AD是邊BC上的中線，也是∠BAC的角平分線，
∴根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)知，△ABC為等腰三角形；
故本選項正確；
綜上所述，①②③都能證明△ABC為等腰三角形；故選D．
【點撥】此題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)．等腰三角形“三線合一”是指底邊上的中線、垂線、頂角上的角平分線，三線合一．
16．C
【分析】
連接AD，由于△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，故AD⊥BC，再根據(jù)三角形的面積公式求出AD的長，再再根據(jù)EF是線段AC的垂直平分線可知，點C關(guān)于直線EF的對稱點為點A，故AD的長為CM+MD的最小值，由此即可得出結(jié)論．
【詳解】
解：連接AD，

∵△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC?AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8，
∵EF是線段AC的垂直平分線，
∴點C關(guān)于直線EF的對稱點為點A，
∴AD的長為CM+MD的最小值，
∴△CDM的周長最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝8+×4＝8+2＝10．
故選：C．
【點撥】本題考查的是軸對稱-最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．
17．C
【分析】
分AB是腰長時，根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，找出一個小正方形與A、B頂點相對的頂點，連接即可得到等腰三角形，AB是底邊時，根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，AB垂直平分線上的格點都可以作為點C，然后相加即可得解．
【詳解】
解：如圖，

分情況討論：
①AB為等腰△ABC的底邊時，符合條件的C點有4個；
②AB為等腰△ABC其中的一條腰時，符合條件的C點有4個．
故選C．
【點撥】本題考查等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的判定，分情況討論解決.
18．C
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，結(jié)合圖形，分兩種情況討論：①AB為等腰△ABC底邊；②AB為等腰△ABC其中的一條腰．
【詳解】
解：如圖：分情況討論．

①AB為等腰△ABC底邊時，符合條件的C點有4個；
②AB為等腰△ABC其中的一條腰時，符合條件的C點有4個．
故選C．
【點撥】本題考查了等腰三角形的判定；解答本題關(guān)鍵是根據(jù)題意，畫出符合實際條件的圖形，再利用數(shù)學知識來求解．數(shù)形結(jié)合的思想是數(shù)學解題中很重要的解題思想．
19．B
【分析】
分為三種情況:①AB=AC,②AB=BC,③AC=BC,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)即可求得.
【詳解】
解:以A為圓心,以AB為半徑作弧,交x軸于點,此時AC=AB;
以B為圓心,以AB為半徑作弧,交x軸于,兩點,此時BC=AB;
作AB的垂直平分線交x軸于,此時AC=BC,即1+2+1=4,
故答案為:B.
【點撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用,主要考查學生的動手操作能力和理解能力.
20．C
【分析】
當AB是腰長時，根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，找出一個小正方形與A、B頂點相對的頂點，連接即可得到等腰三角形．
【詳解】
解：如圖，當AB為等腰△ABC其中的一條腰時，符合條件的C點有4個，
故選：C．

【點撥】本題考查了等腰三角形的判定，解答本題關(guān)鍵是根據(jù)題意，畫出符合實際條件的圖形．
21．D
【分析】
首先根據(jù)已知角度分別求出其他角度，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)等角對等邊，即可判定.
【詳解】
∵，
∴∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-36°-72°=72°
∴AB=AC
∴△ABC是等腰三角形
∵
∴∠BDC=180°-∠C-∠DBC=180°-72°-36°=72°
∴BC=BD
∴△BCD是等腰三角形
∵∠ABD=∠ABC-∠DBC=72°-36°=36°=∠A
∴AD=BD
∴△ABD是等腰三角形
故選：D.
【點撥】此題主要考查等腰三角形的判定，熟練掌握，即可解題.
22．D
【分析】
根據(jù)已知條件和三角形內(nèi)角和得出∠ABC的度數(shù)，由∠ABC的平分線交AC于D，得到其它角的度數(shù)，然后根據(jù)等腰三角形的定義及等角對等邊進行判斷即可．
【詳解】
∵在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°
∴∠ABC＝180°－∠A－∠C＝72°
∴∠ABC＝∠C
∴AB＝AC
∴△ABC是等腰三角形
∵BD平分∠ABC交AC于D，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°
∵∠A＝∠ABD＝36°
∴△ABD是等腰三角形
∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°
∴∠BDC＝∠C
∴△BDC是等腰三角形
∴共有3個等腰三角形
故選D．
【點撥】本題考查等腰三角形的判定，明確等腰三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.
23．D
【分析】
根據(jù)已知的角利用兩直線平行的性質(zhì)求出一些角的大小，即可得到等腰三角形的個數(shù).
【詳解】
解：在△ ABC中，∠ A= ∠ C=
∠ABC=
BD平分∠ABC
∠ABD=∠CBD=
DE//BC
∠EDB=∠CBD=
∠CDB=∠BCD=
等腰三角形的個數(shù)有5個，分別是?ABC,?AED,?EBD,?BDC,?DAB.
故選D.
【點撥】此題重點考察學生對等腰三角形的認識，理解等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
24．D
【詳解】
解：設(shè)運動的時間為x，
在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，
點P從點B出發(fā)以每秒3cm的速度向點A運動，點Q從點A同時出發(fā)以每秒2cm的速度向點C運動，
當△APQ是等腰三角形時，AP=AQ，AP=20﹣3x，AQ=2x，即20﹣3x=2x，
解得x=4．
故選D．
【點撥】此題主要考查學生對等腰三角形的性質(zhì)這一知識點的理解和掌握，此題涉及到動點，有一定的拔高難度，屬于中檔題．
25．D
【解析】
【分析】
根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180°結(jié)合選項中的條件能夠證得有兩個角相等即為等腰三角形．
【詳解】
解：A、∵∠A=50°，∠B=60°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=70°，
所以∠A≠∠B≠∠C，
所以△ABC不是等腰三角形；
B、∵∠A=50°，∠B=100°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=30°，
所以∠A≠∠B≠∠C，
所以△ABC不是等腰三角形；
C、∠A+∠B=90°不能判定△ABC是等腰三角形；
D、∠A+∠B=90°，
則2∠A+∠B=180°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=∠C，
所以△ABC是等腰三角形．
故選D．
【點撥】本題考查了等腰三角形的判定．解答該題時，一定要與三角形的內(nèi)角和定理相結(jié)合．
26．A
【分析】
首先根據(jù)條件∠ACB=90°，CD是AB邊上的高，可證出∠BCD+∠ACD=90°，∠B+∠BCD=90°，再根據(jù)同角的補角相等可得到∠B=∠DCA，再利用三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系可得到∠CFE=∠FEC，最后利用等角對等邊可證出結(jié)論．
【詳解】
∵∠ACB=90°，

∴∠BCD+∠ACD=90°，
∵CD是AB邊上的高，
∴∠B+∠BCD=90°，
∴∠B=∠DCA，
∵AF是∠BAC的平分線，
∴∠1=∠2，
∵∠1+∠B=∠CFE，
∠2+∠DCA=∠FEC，
∴∠CFE=∠FEC，
∴CF=CE，
∴△CEF是等腰三角形.
故選A
【點撥】此題考查等腰三角形的判定，解題關(guān)鍵在于掌握判定定理.
27．A
【分析】
根據(jù)△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點F．求證∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠BCF，再利用兩直線平行內(nèi)錯角相等，求證出∠DFB=∠DBF，∠CFE=∠BCF，即BD=DF，F(xiàn)E=CE，然后利用等量代換即可求出線段DE的長．
【詳解】
∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點F，
∴∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠BCF，
∵DE∥BC，交AB于點D，交AC于點E，
∴∠DFB=∠DBF，∠CFE=∠ECF，
∴BD=DF=5，F(xiàn)E=CE=4，
∴DE=DF+EF=5+4=9．
故選A．
【點撥】本題主要考查了學生對等腰三角形的判定和平行線的性質(zhì)的理解和掌握，此題難度不大，是一道基礎(chǔ)題．
28．B
【分析】
連接AD，根據(jù)S△ABC=S△ABD+S△ADC即可計算得出DE+DF的長.
【詳解】
連接AD，∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴S△ABC=S△ABD+S△ADC=+=m·（DE+DF）=S
∴DE+DF=，
故選B.

【點撥】此題主要考查等腰三角形的計算，解題的關(guān)鍵是利用面積不變進行高的計算.
29．B
【分析】
如圖，在上截取 連接證明利用全等三角形的性質(zhì)證明 求解 再證明 從而可得答案．
【詳解】
解：如圖，在上截取 連接
平分













故選：
【點撥】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
30．B
【分析】
先根據(jù)角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定求得、，再由三角形周長公式、線段的和差即可求得結(jié)論．
【詳解】
解：∵平分，平分
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵，
∴




∴的周長為．
故選：B
【點撥】本題考查了角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定（等角對等邊）、三角形周長公式、線段的和差等知識點，體現(xiàn)了邏輯推理的核心素養(yǎng)．
31．B
【解析】解：∵在△ABC中，∠A=70°，∠B=55°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=55°，∴∠B=∠C，∴△ABC是等腰三角形．故選B．
點睛：本題考查了三角形的內(nèi)角和，等腰三角形的判定，熟記三角形的內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵．
32．B
【分析】
根據(jù)等腰三角形的判定和性質(zhì)進行判斷.
【詳解】
因為a=3，b=4，c=3，所以a=c，所以△ABC是等腰三角形，故A正確；因為a：b：c=2：3：4，所以a≠b≠c，所以△ABC不是等腰三角形，所以B錯誤；因為∠B=50°，∠C=80°，所以∠A=50°，所以∠A=∠B，所以△ABC是等腰三角形，所以C正確；因為∠A：∠B：∠C=1：1：2，所以∠A=∠B，所以△ABC是等腰三角形，所以D正確．故選B．
【點撥】本題考查等腰三角形的判定，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)是關(guān)鍵.
33．40
【分析】
根據(jù)等邊對等角得到，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到，故，由三角形的內(nèi)角和即可求解的度數(shù)．
【詳解】
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：40．
【點撥】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和，熟練掌握幾何知識并靈活運用是解題的關(guān)鍵．
34．
【詳解】
試題分析：先設(shè)∠C=x，由AB=AC可知，∠B=x，由AD=DC可知∠C=∠DAC=x，由三角形外角的性質(zhì)可知∠ADB=∠C+∠DAC=2x，根據(jù)AB=BD可知∠ADB=∠BAD=2x，再在△ABD中，由三角形內(nèi)角和定理即可得出關(guān)于x的一元一次方程，求出x的值即可．
試題解析：設(shè)∠C=x，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B=x，
∵AD=DC，
∴∠C=∠DAC=x，
∴∠ADB=∠C+∠DAC=2x，
∵AB=BD，
∴∠ADB=∠BAD=2x，
在△ABD中，∠B=x，∠ADB=∠BAD=2x，
∴x+2x+2x=180°，
解得x=36°．
∴∠C=36°．
考點：等腰三角形的性質(zhì)．
35．70
【分析】
先利用HL證明△ABE≌△CBF，可證∠BCF=∠BAE=25°，即可求出∠ACF=45°+25°=70°.
【詳解】
∵∠ABC=90°，AB=AC，
∴∠CBF=180°-∠ABC=90°，∠ACB=45°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)，
∴∠BCF=∠BAE=25°，
∴∠ACF=∠ACB+∠BCF=45°+25°=70°，
故答案為70.
【點撥】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
36．45°
【詳解】
∵正六邊形ADHGFE的內(nèi)角為120°，
正方形ABCD的內(nèi)角為90°，
∴∠BAE=360°-90°-120°=150°，
∵AB=AE，
∴∠BEA=（180°-150°）÷2=15°，
∵∠DAE=120°，AD=AE，
∴∠AED=（180°-120°）÷2=30°，
∴∠BED=15°+30°=45°．
37．108°
【解析】
如圖，

∵AB=AC，BD=AD，AC=CD，
∴∠1=∠B，∠2=∠4，∠B=∠C，
∵∠4=∠1+∠B=2∠B=2∠C，
∴∠2=∠4=2∠C，
∵∠2+∠4+∠C=180°，
∴5∠C=180°，
∴∠C=36°，
∴α=∠BAC=180°-2∠C=108°．
點睛：本題考查了等腰三角形的性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理及三角形外角性質(zhì)的綜合運用.此題難度適中,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
38．140
【分析】
根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合全等三角形的判定方法即可得出.
【詳解】
由題意得∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
又∵∠ADC=∠CEB=90°，
AC=CB，
∴△ACD≌△CBE（AAS）
∴AD=CE=80，BE=CD=60，
∴兩張凳子的高度之和為AD+BE=140
【點撥】此題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知等腰三角形的性質(zhì).
39．5
【分析】
根據(jù)題意，可得∠AOC＝∠BOC，又因為CD∥OB，求得∠C＝∠AOC，則CD＝OD可求．
【詳解】
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC；
又∵CD∥OB，
∴∠C＝BOC，
∴∠C＝∠AOC；
∴CD＝OD＝5cm．
故答案為：5．
【點撥】本題考查了等腰三角形的判定定理和性質(zhì)定理以及平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，注意等腰三角形的判定定理：等角對等邊，出現(xiàn)角平分線和平行線容易出現(xiàn)等腰三角形．
40．∠B＝∠D
【分析】
根據(jù)角平分線的定義、等腰三角形的性質(zhì)得到∠AED＝∠C，添加∠B＝∠D可利用AAS定理證明△ABC≌△ADE．
【詳解】
解：添加∠B＝∠D，
理由：∵EA平分∠CED，
∴∠AED＝∠AEC，
∵AC＝AE，
∴∠C＝∠AEC，
∴∠AED＝∠C，
當∠B＝∠D時，
在△ABC和△ADE中，，
∴△ABC≌△ADE（AAS），
故答案為：∠B＝∠D．
【點撥】本題考查的是全等三角形的判定，掌握角平分線的定義、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
41．8
【詳解】
試題分析：因為AB=AC,AD⊥BC ,所以BD=CD，因為△ABC的周長為32 ,所以AC + CD = 32=16，又因為△ACD的周長為24，所以AD=" 24" - （AC + CD ）="24-16=" 8．
考點：等腰三角形的性質(zhì)．
42．20
【詳解】
分析：本題利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)得出即可.
解析：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∵AB＝6，CD＝4，∴AC=AB=6,BD=CD=4,∴△ABC的周長為20.
故答案為20.

43．
【分析】
根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可分別求得腰長和底邊的長，從而不難求得三角形的周長.
【詳解】
解：∵等腰三角形的頂角為120°，底邊上的高為2，
∴腰長=4，底邊的一半=2，
∴周長=4+4+2×2=8+4．
故答案為8+4．
【點撥】本題考查勾股定理及等腰三角形的性質(zhì)的綜合運用．
44．60°
【分析】
根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠BDE=∠BDA，∠BED=，進而得DC=DB，由等腰三角形的性質(zhì)，可得∠CDE=∠BDE，進而即可求解．
【詳解】
∵在中，，將沿翻折，點恰好落在的中點處，
∴BE=CE，∠BDE=∠BDA，∠BED=，即：DE⊥BC，
∴DE是BC的垂直平分線，
∴DC=DB，
∴∠CDE=∠BDE=∠BDA=180°÷3=60°．
故答案是：60°．
【點撥】本題主要考查折疊的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)定理以及等腰三角形的性質(zhì)定理，掌握等腰三角形“三線合一”是解題的關(guān)鍵．
45．AD⊥BC
【分析】
根據(jù)等腰三角形“三線合一”，即可得到答案．
【詳解】
∵在中，AB=AC，，
．
故答案為：．
【點撥】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形“三線合一”，是解題的關(guān)鍵．
46．等腰三角形底邊上的中線與底邊上的高互相重合
【解析】
【分析】
根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知，當重錘過A點時，AD也是BC邊上的高，即AD⊥BC，即這根木條是水平的．
【詳解】
∵AB=AC，D為BC邊的中點，∴AD為等腰△ABC的底邊BC上的高．
又∵AD自然下垂，∴BC處于水平位置．
故答案為：等腰三角形底邊上的中線與底邊上的高互相重合．
【點撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)；其中要注意等腰三角形三線合一的性質(zhì)：等腰三角形底邊上的中線，高線，頂角平分線重合．
47．①②④．
【分析】
由在△ABC中，∠ACB=90°，DE⊥AB，易證得∠DCA=∠DAC，繼而可得①∠DCB=∠B正確；由①可證得AD=BD=CD，即可得②CD=AB正確；易得③△ADC是等腰三角形，但不能證得△ADC是等邊三角形；由若∠E=30°，易求得∠FDC=∠FCD=30°，則可證得DF=CF，繼而證得DE=EF+CF．
【詳解】
∵在△ABC中，∠ACB=90°，DE⊥AB，
∴∠ADE=∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，∠ACD+∠DCB=90°，
∵∠DCA=∠DAC，
∴AD=CD，∠DCB=∠B；故①正確；
∴CD=BD，
∵AD=BD，
∴CD=AB；故②正確；
∠DCA=∠DAC，
∴AD=CD，
但不能判定△ADC是等邊三角形；故③錯誤；

∵若∠E=30°，
∴∠A=60°，
∴△ACD是等邊三角形，
∴∠ADC=30°，
∵∠ADE=∠ACB=90°，
∴∠EDC=∠BCD=∠B=30°，
∴CF=DF，
∴DE=EF+DF=EF+CF．故④正確．
故答案為：①②④．
【點撥】此題考查等腰三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形的性質(zhì)．注意證得D是AB的中點是解題的關(guān)鍵．
48．
【分析】
如圖，連接，延長與交于點利用等腰三角形的三線合一證明是的垂直平分線，從而得到 再次利用等腰三角形的性質(zhì)得到：從而可得答案．
【詳解】
解：如圖，連接，延長與交于點
平分，，

是的垂直平分線，





故答案為：

【點撥】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形的三線合一是解題的關(guān)鍵．
49．135
【分析】
根據(jù)網(wǎng)格的特點和等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】
解：如圖，∵△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ABD＝45°，
∴∠ABC＝180°﹣45°＝135°，
故答案為：135．

【點撥】本題以網(wǎng)格為背景，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，屬于常見題型，熟練掌握網(wǎng)格的特點和等腰直角三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
50．9
【解析】
根據(jù)已知條件，可知按照點C所在的直線分兩種情況：①點C以點A為標準，AB為底邊；②點C以點B為標準，AB為等腰三角形的一條邊．
解：①點C以點A為標準，AB為底邊，符合點C的有5個；
②點C以點B為標準，AB為等腰三角形的一條邊，符合點C的有4個．
所以符合條件的點C共有9個．
此題考查了等腰三角形的判定來解決特殊的實際問題，其關(guān)鍵是根據(jù)題意，結(jié)合圖形，再利用數(shù)學知識來求解．注意數(shù)形結(jié)合的解題思想．
51．8
【分析】
根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分情況討論：當以AB為底邊時，或當以AB為腰時，分別作出符合條件的圖即可解題．
【詳解】
解：分情況討論：
當以AB為底邊時，如圖，符合條件的點C有4個；
當以AB為腰時，如圖，符合條件的點C有4個，

綜上所述，符合題意的店C共有8個，
故答案為：8．
【點撥】本題考查等腰三角形的判定，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
52．
【分析】
分別以A、B為圓心，AB長為半徑畫圓可得與坐標軸的交點，然后再作AB的垂直平分線可得與坐標軸的交點，即可得到答案．
【詳解】
解：如圖所示，

一共有5個這樣的點，
故答案為：5．
【點撥】此題主要考查了等腰三角形的判定，關(guān)鍵是考慮全面，作圖不重不漏．
53．（1）（3）（4）
【分析】
由已知條件，根據(jù)度數(shù)的特點，逐一作出判斷，最后寫出答案．
【詳解】
由題意知，要求“被一條直線分成兩個小等腰三角形”，
（1）中分成的兩個等腰三角形的角的度數(shù)分別為：36°，36°，108°和36°，72°72°；
（2）不能；
（3）直角三角形的斜邊上的中線把它還分為了兩個等腰三角形；
（4）中分成的為36°，72°，72°和36°，36°，108°．
故應(yīng)填①③④．
【點撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理；在等腰三角形中，從一個頂點向?qū)呉粭l線段，分原三角形為兩個新的等腰三角形，必須存在新出現(xiàn)的一個小等腰三角形與原等腰三角形相似才有可能．
54．3
【分析】
先標出圖三交點的字母,然后根據(jù)對稱的性質(zhì)便可求解．
【詳解】
解：圖三標上字母如圖所示

根據(jù)對稱性，是等腰三角形的有：三個
故答案為：3．
【點撥】本題考查等腰三角形的判斷，以及對稱平移變換，屬于基礎(chǔ)題．
55．△ABD，△BDC，△ABC．
【分析】
先計算出∠BDC，再計算出∠ABC，然后等腰三角形的判定方法對圖形中的三角形進行判斷．
【詳解】
∵∠A＝36°，∠C＝72°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝72°，即：∠ABC＝∠C＝72°，
∴△ABC為等腰三角形，
∵∠BDC＝180°－∠C－∠DBC＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴△BDC為等腰三角形，
∵∠ABD＝∠ABC－∠DBC＝72°－36°＝36°，
∴∠ABD＝∠A，
∴△ABD為等腰三角形．
故答案為：△ABD，△BDC，△ABC．
【點撥】本題考查了等腰三角形的判定：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等．
56．5．
【詳解】
解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠ACB==72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠DBC=36°，
∵ED∥BC，
∴∠AED=∠ADE=72°，∠EDB=∠CBC=36°，
∴在△ADE中，∠AED=∠ADE=72°，AD=AE，△ADE為等腰三角形，
在△ABD中，∠A=∠ABD=36°，AD=BD，△ABD是等腰三角形，
在△BED中，∠EBD=∠EDB=36°，ED=BE，△BED是等腰三角形，
在△BDC中，∠C=∠BDC=72°，BD=BC，△BDC是等腰三角形，
故圖中共有5個等腰三角形．
故填5．
57．200
【詳解】
解：由已知得：
∠ABC=90°+30°=120°，
∠BAC=90°﹣60°=30°，
∴∠ACB=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=180°﹣120°﹣30°=30°，
∴∠ACB=∠BAC，
∴BC=AB=200．
58．2
【分析】
利用基本作圖可判斷MN垂直平分BC，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DB＝DC，再根據(jù)等角的余角相等證出∠ACD＝∠A，從而證明DA＝DC，從而得到CD＝AB＝2．
【詳解】
由作法得MN垂直平分BC，
∴DB＝DC，
∴∠B＝∠BCD，
∵∠B+∠A＝90°，∠BCD+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠A，
∴DA＝DC，
∴CD＝AB＝×4＝2．
故答案為2．
【點撥】本題考查了作圖﹣基本作圖—作已知線段的垂直平分線，以及垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的判定，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
59．等腰
【分析】
根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠C的度數(shù)即可作出判斷.
【詳解】
∵∠A=46°，∠B=67°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-46°-67°=67° ，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形，
故答案為等腰.
【點撥】本題考查了等腰三角形的判定，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理以及等腰三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.
60．10
【分析】
根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出DB=DC,從而得出△ADC的周長=AB+AC，即可解決問題．
【詳解】
∵∠1=∠2，∴DB=DC，∴△ADC的周長=AD+DC+AC=AD+DB+AC=AB+AC=7+3=10．
故答案為：10．
【點撥】本題考查了等腰三角形的判定，三角形的周長等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．
61．①②.
【解析】
【分析】
根據(jù)角平分線，三角形的外角性質(zhì)以及等角對等邊的性質(zhì)可得出結(jié)論①②正確．
【詳解】
解：∵AE平分∠CAB，
∴∠CAB＝2∠EAB，
∵∠CAB＝2∠B，
∴∠EAB＝∠B，
∵∠AEC＝∠B+∠EAB，
∴∠AEC＝2∠B=∠CAB，①正確；
∵CD⊥AB于D，
∴∠B+∠DCB=90°，∠EAB+∠AFD=90°，
∵∠EAB＝∠B，
∴∠DCB＝∠AFD，
∵∠CFE＝∠AFD，
∴∠CFE＝∠DCB，
∴EF＝CE，②正確；
無法證明AC＝AE，故③不正確；
∵AC＝3，AD＝1，CD⊥AB于D，
∴CD= ，
不能得出BD＝4，故④不正確.
故答案為①②.
【點撥】本題考查角平分線，三角形的外角性質(zhì)以及等角對等邊的性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．
62．3．
【解析】
試題分析：因為∠BAC=100°，∠B=40°，所以∠ACB=180°﹣∠B﹣∠BAC=40°，所以∠ACB=∠B，所以AC=AB=3．因為∠D=20°，所以∠DAC=∠ACB﹣∠D=20°，所以∠DAC=∠D，所以CD=AC=3．故答案為3．
考點：等腰三角形的判定與性質(zhì)．
63．2
【分析】
根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線可得到∠BAE=∠AEB，從而得到AB=BE=4，再利用線段的和差關(guān)系計算即可.
【詳解】
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE=4，
∴EC=BC－BE=6－4=2.
【點撥】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線，及等角對等邊，熟練運用這些知識是解題的關(guān)鍵.
64．∠B=∠D（AB=AD或∠C=∠AED）
【解析】
【分析】
∠B=∠D，根據(jù)等式的性質(zhì)求出∠DAE=∠BAC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出AB=AC，根據(jù)AAS即可證出△ABC≌△ADE．
【詳解】
添加的條件是∠B=∠D（AB=AD或∠C=∠AED）．
理由是：∵∠DAB=∠CAE，
∴∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE，
∴∠DAE=∠BAC，
∵∠AEC=∠ACE，
∴AE=AC，
∵∠B=∠D，
∴△ABC≌△ADE．
故答案為：∠B=∠D（AB=AD或∠C=∠AED）．
【點撥】本題主要考查對全等三角形的判定，等腰三角形的判定，等式的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，能正確添加條件并能證出結(jié)論是證此題的關(guān)鍵．
65．（1）見解析；（2）67.5°．
【分析】
（1）先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出AB＝AC，AF＝AD，∠FAD＝∠BAC＝90°，則有∠BAF＝∠CAD，即可利用SAS證明△ABF≌△ACD，則結(jié)論可證；

（2）先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，然后由△ABF≌△ACD得出∠ABF＝∠ACD＝45°，最后利用∠BFD＝180°﹣∠ABF﹣∠ABC﹣∠BDF即可求解．
【詳解】
（1）∵△ABC與△AFD為等腰直角三角形
∴AB＝AC，AF＝AD，∠FAD＝∠BAC＝90°，
∴∠BAF＝∠CAD，且AB＝AC，AF＝AD
∴△ABF≌△ACD（SAS）
∴BF＝DC
（2）∵△ABC與△AFD為等腰直角三角形
∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADF＝45°
∵AB＝AC＝BD
∴∠BDA＝∠BAD＝67.5°
∴∠BDF＝22.5°
∵△ABF≌△ACD，
∴∠ABF＝∠ACD＝45°
∴∠BFD＝180°﹣∠ABF﹣∠ABC﹣∠BDF＝67.5°
【點撥】本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．
66．（1）見解析；（2）∠BAC＝80°．
【分析】
（1）根據(jù)DE⊥AB，DF⊥AC可得∠BED＝∠CFD＝90°，由于∠B＝∠C，D是BC的中點，AAS求證△BED≌△CFD即可得出結(jié)論．
（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠B＝50°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】
（1）證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
∵D是BC的中點，
∴BD＝CD，
在△BED與△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE＝DF；
（2）解：∵∠BDE＝40°，
∴∠B＝50°，
∴∠C＝50°，
∴∠BAC＝80°．
【點撥】此題主要考查學生對等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)直角三角形的性質(zhì)等知識點的理解和掌握．
67．（1）α；（2）見解析.
【分析】
（1）由四邊形的內(nèi)角和即可求出∠AQP，從而求出∠PQC；

（2）過點P分別作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，證明△PEB≌△PFQ即可.
【詳解】
解：（1）∵∠BPQ+∠BAQ=180°，∠ABP=α
∴∠AQP=360°－∠BPQ－∠BAQ－∠ABP=180°－α
∴∠PQC=180°－∠AQP=α
（2）過點P分別作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F

∵AB=AC,AD為△ABC的中線
∴AD平分∠BAC
∴PE=PF
在△PEB和△PFQ中

∴△PEB≌△PFQ
∴BP=PQ
【點撥】此題考查的是四邊形的內(nèi)角、等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定，掌握四邊形的內(nèi)角和等于360°、三線合一和用AAS判定兩個三角形全等是解決此題的關(guān)鍵.
68．（1）；（2）見解析．
【分析】
（1）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出的度數(shù)，進而利用三角形外角的性質(zhì)求出的度數(shù)，最后利用直角三角形兩銳角互余即可得出答案；

（2）首先利用等腰三角形三線合一得出，，然后利用，得出，進而可得出結(jié)論．
【詳解】
（1）由題知：AB=AD，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）∵AB=AD，
∴?ABD為等腰三角形．
又∵點是的中點，
∴，，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴．
【點撥】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)和直角三角形兩銳角互余，掌握等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)和直角三角形兩銳角互余是解題的關(guān)鍵．
69．（1）詳見解析；（2）詳見解析.
【分析】
（1）直接利用網(wǎng)格結(jié)合勾股定理得出符合題意的圖形；
（2）直接利用網(wǎng)格結(jié)合勾股定理得出符合題意的圖形．
【詳解】
（1）如圖1所示：△ABC即為所求；
（2）如圖2所示：△ABC即為所求．

【點撥】本題考查了應(yīng)用設(shè)計與作圖，正確應(yīng)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．
70．（1）4；（2）見解析
【分析】
（1）分AB為腰和底兩種情況分別確定點M即可；
（2）由（1）作圖即可.
【詳解】
（1）以AB為腰的M點有3個，以AB為底的M點有1個，
所以，這樣的M點有4個；
（2）如圖所示：

【點撥】此題主要考查了基本作圖以及等腰三角形的判定.
71．（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）
【分析】
（1）先證明：，再利用 證明，可得，從而可得結(jié)論；
（2）如圖，過作交于，先證明為等腰三角形，可得：，再證明，可得，從而可得結(jié)論；
（3）過作于，利用全等三角形的性質(zhì)求解，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)求解，再求解的面積，從而可得答案．
【詳解】
證明：（1）






（2）如圖，過作交于，
,，
,
，
，
，
在與中，




（3）過作于，
，
，


，
，
，
，
，
，


【點撥】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理，三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
72．（1）；（2），理由詳見解析.
【分析】
（1）先根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)證得，再根據(jù)AAS證得≌，于是，進一步即得結(jié)論；
（2）延長交的延長線于點，如圖②，先根據(jù)AAS證明≌，可得，再根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)證得，進而得出結(jié)論.
【詳解】
解：（1）.
理由如下：如圖①，∵是的平分線，∴
∵，∴，∴，∴.
∵點是的中點，∴，
又∵，
∴≌（AAS），∴.
∴.
故答案為.
（2）.
理由如下：如圖②，延長交的延長線于點.

∵，∴，
又∵，，
∴≌（AAS），∴，
∵是的平分線，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴.
【點撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線的定義和等角對等邊等知識，添加恰當輔助線構(gòu)造全等三角形是解本題的關(guān)鍵．

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