專題13.8 等腰三角形（知識講解2）
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1. 掌握等腰三角形的性質(zhì)，并能利用它證明兩個角相等、兩條線段相等以及兩條直線垂直．
2. 掌握等腰三角形的判定定理．
3. 熟練運用等腰三角形的判定定理與性質(zhì)定理進行推理和計算．
【要點梳理】
要點一、等腰三角形的定義
有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，另一邊叫做底，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.
如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，則它叫等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊,∠A是頂角，∠B、∠C是底角．
　　
要點詮釋：等腰直角三角形的兩個底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）.
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ .
要點二、等腰三角形的性質(zhì)
1.等腰三角形的性質(zhì)
性質(zhì)1：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊對等角”）．
性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合（簡稱“三線合一”）．
2.等腰三角形的性質(zhì)的作用
性質(zhì)1證明同一個三角形中的兩角相等.是證明角相等的一個重要依據(jù)．
性質(zhì)2用來證明線段相等，角相等，垂直關(guān)系等．
3.等腰三角形是軸對稱圖形
等腰三角形底邊上的高（頂角平分線或底邊上的中線）所在直線是它的對稱軸，通常情況只有一條對稱軸．
要點三、等腰三角形的判定
如果一個三角形中有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱“等角對等邊”）.
要點詮釋：等腰三角形的判定是證明兩條線段相等的重要定理，是將三角形中的角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù).等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理是互逆定理.
【典型例題】


類型十一、等角對等邊求邊長
11．如圖，已知AE∥BC，AE平分∠DAC．
求證：AB=AC．

證明：∵AE平分∠DAC，∴∠1=∠2．
∵AE∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠C．
∴∠B=∠C．∴AB=AC．
根據(jù)角平分線的定義可得∠1=∠2，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠1=∠B，兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠2=∠C，從而得到∠B=∠C，然后根據(jù)等角對等邊即可得證
舉一反三：
【變式1】 如圖，已知：在中，點D、E在BC上，且，求的周長.

【答案】10cm.
【分析】由等角對等邊可得AD=BD，AE=EC，繼而根據(jù)三角形周長公式利用等量代換即可求得答案.
解：∵∠1=∠B，∠2=∠C，
∴BD=AD，AE=CE，
∵△ADE的周長=AD+DE+AE，
∴△ADE的周長=BD+DE+CE=BC=10cm.
【點撥】本題考查了等腰三角形的判定，三角形的周長，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

【變式2】 如圖，在中，是邊上一點，是邊的中點，作交的延長線于點．
(1)證明：；
(2)若，，，求．

【答案】（1）見解析；（2）3
【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠A=∠FCE，∠ADE=∠F，根據(jù)中點的定義可得AE=CE，最后利用AAS即可證出；
（2）根據(jù)等角對等邊即可求出AB=AC=10，然后根據(jù)（1）中全等可得AD=CF=7，即可求出．
（1）證明：∵
∴∠A=∠FCE，∠ADE=∠F
∵是邊的中點
∴AE=CE
在△ADE和△CFE中

∴
（2）解：∵，，，
∴AB=AC=CE＋AE=2CE=10
∵
∴AD=CF=7
∴DB=AB－AD=3
【點撥】此題考查的是平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)和等腰三角形的判定，掌握平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)和等角對等邊是解決此題的關(guān)鍵．

【變式3】 如圖，的平分線與的平分線相交于點，過點作交于點，交于點，若，，求的長.

【答案】的長為5.
【分析】根據(jù)已知條件，BF、CF分別平分∠ABC、∠ACB的外角，且DE∥BC，可得∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，根據(jù)等角對等邊得出DF=BD，CE=EF，根據(jù)BD-CE=DE即可求得．
解：∵BF、CF分別平分∠ABC、∠ACB的外角，
∴∠DBF=∠CBF，∠FCE=∠FCG，
∵DE∥BC，
∴∠DFB=∠CBF，∠EFC=∠FCG，
∴∠DBF=∠DFB，∠FCE=∠EFC，
∴BD=FD，EF=CE，
∴BD-CE=FD-EF=DE，
∴EF=DF-DE=BD-DE=8-3=5，
∴EC=5．
【點撥】考查了等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，利用邊角關(guān)系并結(jié)合等量代換來推導(dǎo)證明是本題的特點．
類型十二、直線上與已知兩點構(gòu)成等腰三角形
12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知定點A(1,0)和B(0,1).

（1）如圖1，若動點C在x軸上運動,則使△ABC為等腰三角形的點C有幾個?
（2）如圖2，過點A,B向過原點的直線l作垂線，垂足分別為M、N，試判斷線段AM、BN、MN之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
【答案】（1）4個；（2）AM+BN=MN；理由見解析.
【分析】（1）如圖，當(dāng)以AB為腰時，有3個；當(dāng)以AB為底時，有1個；
（2）通過“角角邊”證明△AOM≌△OBN，得到AM=ON，OM=BN，則可得到AM+BN=MN.
解：（1）如圖,

當(dāng)以AB為腰時，有3個；當(dāng)以AB為底時，有1個，
∴使△ABC為等腰三角形的點C有4個；
（2）AM+BN=MN.
理由:由已知可得OA=OB,∠AOM=90°-∠BON=∠OBN,
在△AOM和△OBN中,
∠AOM=∠OBN∠AMO=∠ONBOA=BO，
∴△AOM≌△OBN(AAS),
∴AM=ON,OM=BN,
∴AM+BN=ON+OM=MN.
【點撥】本題主要考查等腰三角形，全等三角形的判定與性質(zhì).需要注意的是在分析各種等腰三角形可能的情況時切勿遺漏.
舉一反三：
【變式1】 如圖，直線MN與x軸、y軸分別相交于B、A兩點，OA，OB的長滿足式子|OA﹣6|+（OB﹣8）2＝0．
（1）求A，B兩點的坐標(biāo)；
（2）若點O到AB的距離為，求線段AB的長；
（3）在（2）的條件下，x軸上是否存在點P，使△ABP使以AB為腰的等腰三角形，若存在請直接寫出滿足條件的點P的坐標(biāo)．

【答案】 (1) A(0，6)B(8，0)；（2）；（3）存在，（-8,0）、（-2,0）、（18,0）.
【分析】（1）根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)可得OA=6、OB=8，即可求得A、B兩點的坐標(biāo)；（2）根據(jù)直角三角形面積的兩種表示法即可求得AB的長；（3）分AB=B P1、AB=A P2、AB=B P3三種情況求點P的坐標(biāo).
解：（1）∵，
∴OA=6，OB=8，
∴A(0，6)，B(8，0)；
（2）∵，
∴AB=10；
（3）在x軸上存在點P，是使ΔABP使以AB為腰的等腰三角形，點P的位置如圖所示，
①當(dāng)AB=BP1時，P1的坐標(biāo)為（18，0）；②當(dāng)AB=AP2時，P2的坐標(biāo)為（-8，0）；③當(dāng)AB=BP3時，P3的坐標(biāo)為（-2，0）.

【點撥】本題非負數(shù)的性質(zhì)、直角三角形的面積求法、及等腰三角形的性質(zhì)，分類討論思想的運用是解決第（3）問的關(guān)鍵．
【變式2】 定義：在平面直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點稱為“整點”．
若A、B的坐標(biāo)分別是（1，0）和（0，2）．在下圖的網(wǎng)格中找出符合條件的“整點P”．
（1）若△APB是等腰三角形，滿足條件的整點P共有 個．它們的坐標(biāo)分別是 ；
（2）若△APB是直角三角形，滿足條件的整點P共有 個．它們的坐標(biāo)分別是 ．
【答案】（1）4、(2,3) (22) (2,1) (3,1)；(2) 3、(1,2) (2,3) (3,1)
解：試題分析：根據(jù)等腰三角形及直角三角形的性質(zhì)結(jié)合格點的特征即可得到結(jié)果.
（1）若△APB是等腰三角形，滿足條件的整點P共有4個．它們的坐標(biāo)分別是(2,3) (22) (2,1) (3,1)；
（2）若△APB是直角三角形，滿足條件的整點P共有3個．它們的坐標(biāo)分別是(1,2) (2,3) (3,1).
考點：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)
點評：解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形及直角三角形的性質(zhì)及格點的特征，注意不要漏解.
【變式3】 已知在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的位置如圖，，，、的長滿足關(guān)系式．
（1）求、的長；
（2）求點的坐標(biāo)；
（3）在軸上是否存在點，使是以為腰的等腰三角形．若存在，請直接寫出點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

【答案】（1）OA=4，OC=3；（2）；（3）存在，，，
【分析】（1）由平方的非負性、絕對值的非負性解題；
（2）作軸與點D，，再由全等三角形的對應(yīng)邊相等性質(zhì)解題；
（3）分三種情況討論，當(dāng)當(dāng)點P在x軸的負半軸時，使AP=AC，或當(dāng)點P在x軸的負半軸時，使CP=AC=5，或當(dāng)點P在x軸的正半軸時，使AC=CP時，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)解題．
解：⑴由.可知，
，
∴.
⑵作軸與點D，











⑶存在.
當(dāng)點P在x軸的負半軸時，使AP=AC，則為等腰三角形，P的坐標(biāo)為；
當(dāng)點P在x軸的負半軸時，使CP=AC，由勾股定理得，CP=AC=5，則為等腰三角形，P的坐標(biāo)為；
當(dāng)點P在x軸的正半軸時，使AC=CP，則為等腰三角形，
， ；
所以存在，點P或或．
【點撥】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、絕對值的非負性、平方的非負性、勾股定理、分類討論等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
類型十三、圖形上一點與兩點構(gòu)成等腰三角形
13．如圖，在中，，，點在線段上運動（不與、重合），連接，作，交線段于.

（1）當(dāng)時，= ，= ；點從向運動時，逐漸 （填“增大”或“減小”）；
（2）當(dāng)?shù)扔诙嗌贂r，，請說明理由；
（3）在點的運動過程中，的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請直接寫出的度數(shù).若不可以，請說明理由.
【答案】（1）40°，100°；減?。唬?）當(dāng)DC=2時，△ABD≌△DCE；理由見解析；（3）當(dāng)∠ADB=110°或80°時，△ADE是等腰三角形．
【分析】（1）利用平角的定義可求得∠EDC的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角定理即可求得∠DEC的度數(shù)，利用三角形外角的性質(zhì)可判斷∠BDA的變化情況；
（2）利用∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠EDC得出∠BAD=∠EDC，進而求出△ABD≌△DCE；
（3）根據(jù)等腰三角形的判定以及分類討論得出即可．
解：（1）∵∠BDA=100°，∠ADE=40°，∠BDA+∠ADE+∠EDC=180°，
∴∠EDC=180°-100°-40°=40°，
∵∠EDC+∠DEC+∠C=180°，∠C=40°，
∴∠DEC=180°-40°-40°=100°；
∵∠BDA=∠C+∠DAC，∠C=40°，
點D從B向C運動時，∠DAC逐漸減小，
∴點D從B向C運動時，∠BDA逐漸減小，
故答案為：40°，100°；減??；
（2）當(dāng)DC=2時，△ABD≌△DCE；
理由：∵∠ADE=40°，∠B=40°，
又∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠EDC．
∴∠BAD=∠EDC．
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（ASA）；

（3）①當(dāng)AD=AE時，∠ADE=∠AED=40°，
∵∠AED>∠C，
∴此時不符合；
②當(dāng)DA=DE時，即∠DAE=∠DEA=（180°-40°）=70°，
∵∠BAC=180°-40°-40°=100°，
∴∠BAD=100°-70°=30°；
∴∠BDA=180°-30°-40°=110°；
③當(dāng)EA=ED時，∠ADE=∠DAE=40°，
∴∠BAD=100°-40°=60°，
∴∠BDA=180°-60°-40°=80°；
∴當(dāng)∠ADB=110°或80°時，△ADE是等腰三角形．
【點撥】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理以及等腰三角形的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出△ABD≌△DCE是解題關(guān)鍵．
舉一反三：
【變式1】 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A的坐標(biāo)為（4，﹣3），且OA＝5，在x軸上確定一點P，使△AOP為等腰三角形．
（1）寫出一個符合題意的點P的坐標(biāo)　 ?。?br /> （2）請在圖中畫出所有符合條件的△AOP．

【答案】(1)答案不唯一，如：；(2)見解析.
【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求解；（2）可分三種情況：①AO=AP；②AO=PO；③AP=PO；解答出即可．
解：(1)一個符合題意的點P的坐標(biāo)答案不唯一，如：；
(2) 分三種情況：①AO=AP；②AO=PO；③AP=PO；
如圖所示：OA=AP1，OA=OP3，OA=OP2，AP4=OP4
∴△AOP1，△AOP2，△AOP3，△AOP4即為所求.

故答案為答案不唯一，如：
【點撥】本題主要考查了作圖﹣復(fù)雜作圖、等腰三角形的判定和坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，注意討論要全面，不要遺漏．
【變式2】 在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，點A（8,0）動點P從A出發(fā)以每秒2個單位長度的速度沿線段AO向終點O運動，同時動點Q從O出發(fā)以相同速度沿y軸正半軸運動，點P到達點O，兩點同時停止運動.

（1）當(dāng)t= 時，∠OPQ=45°；
（2）如圖2，以PQ為斜邊在第一象限作等腰Rt△PQM，求M點坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，點R位x軸負半軸上一點，且,點M關(guān)于PQ的對稱點為N，求t為何值時，△ONR為等腰直角三角形；
【答案】（1）t=2；（2）M(4,4)；（3）t為秒或秒時，△ONR為等腰直角三角形．
【分析】（1）先由運動知，OP=8-2t，OQ=2t，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得結(jié)論；
（2）先判斷出△MCQ≌△MBP，得出CQ=BP，MC=MB，即可得出點M的縱橫坐標(biāo)相等，用CQ=BP建立方程即可得出結(jié)論；
（3）利用等腰直角三角形和對稱性確定出點N的坐標(biāo)，分三種情況討論計算即可得出結(jié)論．
解：(1)由運動知，AP=2t，OQ=2t，
∵A(8,0)，
∴OA=8，
∴0?tAC，且BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACG，過點D作DE∥BC，分別交AB、AC于E、F兩點，則EF與BE、CF之間又有何數(shù)量關(guān)系呢？直接寫出結(jié)論不證明．

【答案】（1）5；BE+CF=EF；20； （2）2；BE+CF=EF，證明見解析；△AEF的周長=18；（3）BE-CF=EF，理由見解析.
解：試題分析：（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠EBD=∠CBD，∠FCD=∠BCD，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠EDB=∠CBD，∠FDC=∠BCD，然后求出∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠BCD，再根據(jù)等角對等邊可得BE=DE，CF=DF，然后解答即可；
（2）根據(jù)角平分線的定義可得∠EBD=∠CBD，∠FCD=∠BCD，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠EDB=∠CBD，∠FDC=∠BCD，然后求出∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠BCD，再根據(jù)等角對等邊可得BE=DE，CF=DF，然后解答即可；
（3）由（2）知BE=ED，CF=DF，然后利用等量代換即可證明BE、CF、EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系．
試題解析：解：（1）BE+CF=EF．理由如下：
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠EBD=∠CBD，∠FCD=∠BCD，∴∠DBC=∠DCB，∴DB=DC．
∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∠EDB=∠CBD，∠FDC=∠BCD，∴∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠BCD，∴BE=DE，CF=DF，AE=AF，∴等腰三角形有△ABC，△AEF，△DEB，△DFC，△BDC共5個，∴BE+CF=DE+DF=EF，即BE+CF=EF，△AEF的周長=AE+EF+AF=AE+BE+AF+FC=AB+AC=20．
故答案為5；BE+CF=EF；20；
（2）BE+CF=EF．∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠EBD=∠CBD，∠FCD=∠BCD．∵EF∥BC，∴∠EDB=∠CBD，∠FDC=∠BCD，∴∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠BCD，∴BE=DE，CF=DF，∴等腰三角形有△BDE，△CFD，∴BE+CF=DE+DF=EF，即BE+CF=EF．△AEF的周長=AE+EF+AF=AE+ED+DF+AF=AE+EB+CF+AF=AB+AC=8+10=18．
此時有兩個等腰三角形，EF＝BE＋CF，C△AEF＝18．
（3）BE﹣CF=EF．由（1）知BE=ED．∵EF∥BC，∴∠EDC=∠DCG=∠ACD，∴CF=DF．又∵ED﹣DF=EF，∴BE﹣CF=EF．
點撥：本題主要考查的是等腰三角形的性質(zhì)和判斷，熟練掌握等腰三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．

英語朗讀寶
相關(guān)資料 更多
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
期末專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部