初中數(shù)學(xué)華師大版七年級(jí)下冊(cè)8.1 認(rèn)識(shí)不等式教學(xué)設(shè)計(jì)-教案下載-教習(xí)網(wǎng)

梳理知識(shí)
1、不等式
用不等號(hào)“＞”或“＜”表示關(guān)系的式子，叫做不等式。
例如：－7＜－5，x＋3＜6都是不等式，其中不等式x＋3＜6中含有未知數(shù)x。
2、不等式的解
能使不等式成立的的值，叫做不等式的解。
例如：x＝2, 0, －0.5……都是x＋3＜6的解；而x＝3, , 7.8……都不是x＋3＜6的解。
教材新知識(shí)全解
知識(shí)點(diǎn)1 通過實(shí)例體會(huì)不等式是研究量與量之間關(guān)系的重要模型之一
問題1：世紀(jì)公園的票價(jià)是：每人5元；一次購票滿30張，每張票可少收1元。某班有27名少先隊(duì)員去世紀(jì)公園進(jìn)行活動(dòng)。當(dāng)領(lǐng)隊(duì)王小華準(zhǔn)備好了零錢到售票處買27張票時(shí)，愛動(dòng)腦筋的李敏同學(xué)喊住了王小華，提議買30張票，但有的同學(xué)不明白，明明我們只有27個(gè)人，買30張票，豈不是“浪費(fèi)”嗎？那么，究竟李敏的提議對(duì)不對(duì)呢？是不是真的“浪費(fèi)”呢？
從實(shí)際問題出發(fā)，在解決實(shí)際問題中，讓同學(xué)們經(jīng)歷知識(shí)的形成過程是新課程標(biāo)準(zhǔn)的一大特征。如何能把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型是我們解決問題的關(guān)鍵。
此題的主要謎團(tuán)的地方：到底買27張便宜還是買30張便宜？打開謎團(tuán)的金鑰匙：這里注意的是30人時(shí)，票價(jià)少收1元為每張4元；而27人，則需每張5元，按照這一點(diǎn)，分別算出各為多少錢，便可知道買30張并沒有浪費(fèi)。我們不妨來算一算：
買27張票，要付款5×27＝135（元），買30張票，要付款4×30＝120元，
顯然120＜135。
這就是說，買30張票比買27張票付款要少，表面上看是“浪費(fèi)”了3張票，而實(shí)際上反而節(jié)省了。
問題延伸：當(dāng)然，如果去世紀(jì)公園的人數(shù)較少（例如10個(gè)人），顯然不值得去買30張票，還是按實(shí)際人數(shù)買票為好?，F(xiàn)在的問題是：少于30人時(shí)，至少要有多少人去世紀(jì)公園，買30張票反而合算呢？
探索：我們一起來分析上面提出的問題。
設(shè)有x人要進(jìn)世紀(jì)公園，如果x＜30，那么按實(shí)際人數(shù)買票x張，要付款5x（元）；買30張票，要付款4×30＝120（元）。
如果買30張票合算，那么應(yīng)有120＜5x。
現(xiàn)在的問題就是：x取哪些數(shù)值時(shí)，上式成立？
前面已經(jīng)算過，當(dāng)x＝27時(shí)，上式成立。讓我們?cè)偃∫恍┲翟囈辉?，結(jié)果如下表。
由上表可見，當(dāng)x＝ 25 時(shí)，不等式120＜5x成立，也就是說，少于30人時(shí)，至少要有 25 人進(jìn)公園，買30張票反而合算。
知識(shí)點(diǎn)2 不等式的意義
像上面出現(xiàn)的120＜135，x＜30，120＜5x那樣用不等號(hào)“＜”或“＞”表示不等式關(guān)系的式子，叫做不等式。2≠3也是不等式。請(qǐng)你再舉一些不等式的例子。
特別提醒：要正確理解不等式的意義，需注意以下幾點(diǎn)：
(1) 方程與不等式的區(qū)別：方程表示的是相等關(guān)系，不等式表示的是不等關(guān)系。
(2) 常用的不等號(hào)有“＞，＜，≤，≥，≠”五咱。
要把握不等式概念的關(guān)鍵是理解各種不等號(hào)的意義及正確寫法，列表說明如下：
針對(duì)性基礎(chǔ)經(jīng)典題
例1 用不等號(hào)表示下列各數(shù)：
(1) －3 0；(2) (－2)2 (-2)3；(3) ；
(4) ；(5) －12÷3 3÷(－4).
分析：(2)、(3)、(5)先根據(jù)有理數(shù)的運(yùn)算計(jì)算出結(jié)果，再根據(jù)有理數(shù)的大小比較法則可得填空。
解：(1)＜；(2)＞；(3)＞；(4)＜；(5)＜；(6)＜.
特別提醒：本題不僅鞏固了不等式定義，而且復(fù)習(xí)了有理數(shù)大小比較。
知識(shí)點(diǎn)3 不等式的解
能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。
如在上面問題中，x＝25, 26, 27, 28, 29都是120＜5x的解，而x＝24, 23, 22, 21，則都不是不等式的解。
特別提醒：和方程的解不同，不等式的解是不確定的，是一個(gè)范圍，而一個(gè)方程只有一個(gè)或幾個(gè)解，如方程2x＝1，x＝，只有一個(gè)解；方程x2＝1有兩個(gè)解，是x＝±1（后一個(gè)方程以后再學(xué)）。
針對(duì)性基礎(chǔ)經(jīng)典題
例2 下列說法不正確的是（）
A、4是不等式x＋3＞5的解B、3是不等式x＋2＞5的解
C、所有小于1的數(shù)都是x＋1＜2的解D、不等式x＋1＞2有無數(shù)個(gè)解
解析：因?yàn)閤＝4時(shí)，x＋3＞5成立；x＝3時(shí)，x＋2＞5不成立；所有小于1的數(shù)都是x＋1＜2的解，所以A、C、D正確，B不正確。故選擇B。
特別提醒：判斷一種說法錯(cuò)誤，只需要舉出一個(gè)反例即可；肯定一種說法，必須在理論上說明。對(duì)于選擇題的解法，有時(shí)可采用特殊值法比較簡捷。
知識(shí)點(diǎn)4 用不等式表示數(shù)量關(guān)系（重點(diǎn)）
例3 用適當(dāng)?shù)姆?hào)表示下列關(guān)系：
(1) a的3倍與b的的和不大于3；
(2) x2是非負(fù)數(shù)；
(3) x的相反數(shù)與1的差不小于2；
(4) x與17的和比它的5倍小。
思路分析：(1)中不大于就是小于或等于，即“≤”；(2)中的非負(fù)數(shù)就是大于等于零，即“≥”；(3)不小于就是大于等于；(4)中關(guān)鍵詞“小”等。
解：(1)3a＋b≤3；(2)x2≥0；(3)－x－1≥2；(4)x＋17＜5x。
特別提醒：(1) 用不等式表示不等關(guān)系是研究不等式的基礎(chǔ)，在表示時(shí)一定要抓住關(guān)鍵詞語，弄清不等關(guān)系。同時(shí)，還要掌握一些常用文字語言與數(shù)學(xué)符號(hào)語言的轉(zhuǎn)換：如x是正數(shù)，則x＞0；x是負(fù)數(shù)，則x＜0；x是非負(fù)數(shù)，則x≥0；x是非正數(shù)，則x≤0；x不小于3，則x≥3等。
(2) 常見不等式有以下幾種：
① 絕對(duì)不等式：即在任何條件下不等式都成立。如2＞1，x2≥0等。
② 條件不等式：即在一定條件下才成立的不等式，如x－1＞0。
③ 矛盾不等式：即在任何條件下都不成立的不等式，如2＞3。
我們所研究的主要是條件不等式。
典型例題
例1 陳斌同學(xué)和他的爸爸、媽媽準(zhǔn)備在國慶節(jié)外出旅游。春光旅行社的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為：大人全價(jià)，小孩半價(jià)。而華夏旅行社不管大人小孩，一律八折。若這兩家旅行社的基本價(jià)一樣，你認(rèn)為陳斌一家選哪家旅行社較合算。
【精析】要比較兩家旅行社收費(fèi)多少，需設(shè)定一個(gè)基本價(jià)，計(jì)算出兩家旅行社對(duì)陳斌一家的總收費(fèi)，然后進(jìn)行比較。
【解】設(shè)每人的基本價(jià)為a元.
則春光旅行社的總收費(fèi)為：2a＋a×50%＝2.5a（元）.
而華夏旅行社的總收費(fèi)為：3a×80%＝2.4a（元）.
因?yàn)? a＞0，
所以 2.5a＞2.4a.
因?yàn)?，陳斌一家選華夏旅行社較合算。
例2 某中學(xué)新建了一棟4層的教學(xué)大樓，每層樓有8間教室，進(jìn)出這棟大樓共有4道門，其中2道正門大小相同，2道側(cè)門大小也相同。安全檢查中，對(duì)4道門進(jìn)行了測試：當(dāng)同時(shí)開啟1道正門和2道側(cè)門時(shí)，2分鐘可以通過560名學(xué)生；當(dāng)同時(shí)開啟1道正門和1道側(cè)門時(shí)，4分鐘內(nèi)容可以通過800名學(xué)生。檢查中發(fā)現(xiàn)，緊急情況時(shí)因?qū)W生擁擠，出門的效率將降低20%，安全檢查規(guī)定，在緊急情況下全大樓的學(xué)生應(yīng)在5分鐘內(nèi)通過4道安全撤離。假設(shè)這棟教學(xué)大樓每間教室最多有45名學(xué)生，問：建造的這4道門是否符合安全規(guī)定？試說明理由。
【精析】要知道緊急情況下全大樓的學(xué)生在5分鐘內(nèi)能否通過這4道安全撤離，首先我們應(yīng)求出：正常情況下每道正門和每道側(cè)門通過的人數(shù)，然后將緊急情況下出門效率降低20%后5分鐘4道門能通過的總?cè)藬?shù)與大樓內(nèi)學(xué)生總數(shù)進(jìn)行比較，若前者大于后者，則建造的4道門符合安全規(guī)定，否則建造的4道門就不符合安全規(guī)定。
【解】設(shè)平均每分鐘1道正門可以通過x名學(xué)生，1道側(cè)門可以通過y名學(xué)生。
由題意得
解得
因此平均每分鐘1道正門可以通過學(xué)生120名，1道側(cè)門可以通過學(xué)生80名。這棟樓最多有學(xué)生4×8×45＝1440名，而擁緊時(shí)5分鐘四道門能通過學(xué)生5×2(120＋80)(1－20%)＝1600（名）.
∵ 1600＞1440，
∴ 建造的4道門符合安全規(guī)定。2
例3 用不等式表示下列關(guān)系，并寫出兩個(gè)滿足各不等式的有理數(shù)。
(1) x的一半不大于1；(2) y與4的和大于0.5；(3) a為負(fù)數(shù)；(4) b為非負(fù)數(shù).
【精析】列出不等式的關(guān)鍵要讀懂題意，并注意一些常用術(shù)語如非負(fù)數(shù)（即≥0），不大于（即≤），不小于（即≥）等含義，才能正確解答。對(duì)于寫出兩個(gè)滿足不等式的數(shù)，可通過嘗試代入，驗(yàn)證來找。初次接觸，這樣的做法合情合理，應(yīng)勇于試驗(yàn)，不怕麻煩。
【全解】(1) x≤1，如x＝2, 1；
(2) y＋4＞，如y＝0, 1；
(3) a＜0，如a＝－π, －1；
(4) b≥0，如b＝, .
【說明】判斷一些數(shù)是否為不等式的解，只要把該數(shù)代入不等式，看它是否成立，成立即為它的解，反之，則不是它的解。
例4 2004年國慶長假期間，錫惠公園賞花團(tuán)體票價(jià)可實(shí)行兩種優(yōu)惠方案。第一種，10人以下給予每位游客八折優(yōu)惠，第二種方案，10人以上給予每位游客九折優(yōu)惠，且其中2人可以免票。已知每張門票的價(jià)格為10元。某班班長小明組織少先隊(duì)員去參觀游玩，人數(shù)估計(jì)在10－25人之間，聰明的小李提出以下總是，怎樣選擇優(yōu)惠方案可使參觀費(fèi)用較少？
小李是這樣思考的：(1) 為計(jì)算總費(fèi)用，須知道人數(shù)，但現(xiàn)在人數(shù)未確定，可先設(shè)參觀游玩的人數(shù)為x，則第一種優(yōu)惠方案的總費(fèi)用為元，第二種優(yōu)惠方案的總費(fèi)用為元。
(2) 當(dāng)兩種優(yōu)惠總費(fèi)用一樣時(shí)，x＝人
(3) 由此可知當(dāng)人數(shù)在之間時(shí)，第一種方案總費(fèi)用較少，用不等式表示為。當(dāng)人數(shù)在之間時(shí)，第二種方案總費(fèi)用較少，用不等式表示為。
【精析】這是一個(gè)現(xiàn)實(shí)生活中用不等式知識(shí)解決的好素材。符合數(shù)學(xué)源于生活又服務(wù)于生活的新課程理念。小李的解題思路也符合新課改提倡的“實(shí)際問題－建立模型－應(yīng)用解釋拓展的過程”。由于實(shí)際人數(shù)未知，通過設(shè)元，列出不等式：8x＜9x－15和8x＞9x－15以及方程8x＝9x－15由猜測估算求出人數(shù)的具體范圍，是對(duì)不等式的解的概念的豐富與發(fā)展，是一個(gè)很好的不等式的應(yīng)用題。
【解】 (1) 8x, 9x－18；
(2) x＝18；
(3) 由8x＜9x－18及x在10－25之間可知，
x在18－25之間，即18＜x≤25，
由8x＞9x－18及x在10－25之間可知：
x在10－18之間，即10≤x＜18.
【說明】不等式的應(yīng)用在中考中應(yīng)適當(dāng)加強(qiáng)，新課程中已明確指出：應(yīng)加強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題能力的考查，要引起足夠重視。x
5x
比較120和5x的大小
120＜5x成立嗎
21
105
120＞5x
不成立
22
110
120＞5x
不成立
23
115
120＞5x
不成立
24
120
120＝5x
不成立
25
125
120＜5x
成立
26
130
120＜5x
成立
27
135
120＜5x
成立
28
140
120＜5x
成立
29
145
120＜5x
成立
名稱
符號(hào)
讀法
意義
1、小于號(hào)
＜
小于
左邊的量比右邊的量小
2、大于號(hào)
＞
大于
左邊的量比右邊的量大
3、小于或等于號(hào)
≤
①小于或等于
②不大于
表示左邊“不大于”右邊
4、大于或等于號(hào)
≥
①大于或等于
②不小于
表示左邊“不小于”右邊
5、不等號(hào)
≠
不等于
只表示左邊“不等于”右邊，但不能確定哪邊大

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