?5.7　三角函數(shù)的應(yīng)用
基礎(chǔ)過關(guān)練
題組一　三角函數(shù)模型在物理中的應(yīng)用　　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.簡諧運動y=4sin5x-π3的相位與初相分別是 (　　)
A.5x-π3,π3 B.5x-π3,4
C.5x-π3,-π3 D.4,π3
2.已知電流強度I(A)隨時間t(s)變化的關(guān)系式是I=5sin100πt+π3,則當(dāng)t=1200 s時,電流強度I為 (　　)
A.5 A B.2.5 A C.2 A D.-5 A
3.一個單擺如圖所示,以O(shè)A為始邊,OB為終邊的角θ與時間t(s)的函數(shù)滿足:θ=12sin2t+π2,則單擺完成5次完整擺動所花的時間為 (　　)

　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.5 s B.10 s
C.5π2 s D.5π s
4.簡諧運動y=12sinπ8x-2的頻率f=　　　　.?
5.如圖所示,彈簧下掛著的小球做上下振動.開始時小球在平衡位置上方2 cm處,然后小球向上運動,小球的最高點和最低點與平衡位置的距離都是4 cm,每經(jīng)過π s小球往復(fù)振動一次,則小球離開平衡位置的位移y(cm)(假設(shè)向上為正)與振動時間x(s)的關(guān)系式可以是　　　　　　. ?


題組二　三角函數(shù)模型在生活中的應(yīng)用
6.人的心臟跳動時,血壓在增加或減少.血壓的最大值、最小值分別稱為收縮壓和舒張壓,血壓計上的讀數(shù)就是收縮壓和舒張壓,讀數(shù)120/80 mmHg為標(biāo)準(zhǔn)值.設(shè)某人的血壓滿足函數(shù)式p(t)=102+24sin 160πt,其中p(t)為血壓(單位:mmHg),t為時間(單位:min),則下列說法正確的是 (　　)
A.此人的收縮壓和舒張壓均高于相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)值
B.此人的收縮壓和舒張壓均低于相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)值
C.此人的收縮壓高于標(biāo)準(zhǔn)值,舒張壓低于標(biāo)準(zhǔn)值
D.此人的收縮壓低于標(biāo)準(zhǔn)值,舒張壓高于標(biāo)準(zhǔn)值
7.如圖,某港口一天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=3sinπ6x+φ+k,據(jù)此函數(shù)可知,這段時間水深(單位:m)的最大值為 (　　)

A.5 B.6 C.8 D.10
8. 商場人流量被定義為每分鐘通過入口的人數(shù),五一某商場的人流量滿足函數(shù)F(t)=50+
4sin t2(t≥0),則下列時間段內(nèi)人流量是增加的是 (　　)
A. [0,5] B.[5,10]
C.[10,15] D.[15,20]
9.穩(wěn)定房價是我國今年實施宏觀調(diào)控的重點,國家最近出臺的一系列政策已對各地的房地產(chǎn)市場產(chǎn)生了影響,某市一房地產(chǎn)中介對該市一樓盤在今年的房價作了統(tǒng)計與預(yù)測,發(fā)現(xiàn)每個季度的平均單價y(每平方米的價格,單位:元)與第x季度之間近似滿足:y=500sin(ωx+φ)+9 500(ω>0),已知第一、二季度平均單價如下表所示:
x
1
2
3
y
10 000
9 500

則此樓盤在第三季度的平均單價大約是 (　　)
A.10 000元 B.9 500元 C.9 000元 D.8 500元

10.下圖為2021年某市某天6時至14時的溫度變化曲線,其近似滿足函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+bA>0,ω>0,π20,00),現(xiàn)采集到下列信息:最高油價80美元,當(dāng)t=150時,油價最低,則A的值為　　　　,ω的最小值為　　　　　.?
6.()某港口的水深y(米)隨著時間t(時)呈現(xiàn)周期性變化,經(jīng)研究可用y=asin π6t+bcos π6t+c來描述,若潮差(最高水位與最低水位的差)為3米,則a+b的取值范圍為　　　　.?
題組三　三角函數(shù)模型的建立及其應(yīng)用
7.()如圖所示,質(zhì)點P在半徑為2的圓周上按逆時針方向運動,其初始位置為P0(2,-2),角速度為1 rad/s,那么點P到x軸的距離d關(guān)于時間t(s)的函數(shù)圖象大致為 (　　)


8.(2020福建師大附中高一上期末,)如圖所示,邊長為 1的正方形PABC沿x軸從左端無窮遠(yuǎn)處滾向右端無窮遠(yuǎn)處,點B恰好能經(jīng)過原點.設(shè)動點P的縱坐標(biāo)關(guān)于橫坐標(biāo)的函數(shù)解析式為y=f(x),則對函數(shù)y=f(x)有下列判斷:
①函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù);
②y=f(x)是周期為4的函數(shù);
③函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[10,12]上單調(diào)遞減;
④函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[-1,1]上的值域是[1,2].
其中判斷正確的序號是　　　　.?

9.(2020福建南平高一下期末,)某工廠制作如圖所示的一種標(biāo)識,在半徑為3的圓內(nèi)做一個關(guān)于圓心對稱的“H”型圖形,“H”型圖形由兩豎一橫三個等寬的矩形組成,兩個豎起來的矩形全等且它們的長邊是橫向矩形長邊的32倍,設(shè)O為圓心,∠AOB=2α,記“H”型圖形周長為C,面積為S,則C=　　　　,S的最大值為　　　　.?

10.(2020北京一零一中學(xué)高一下期末,)如圖,以正方形的各邊為底可向外作四個腰長為1的等腰三角形,求陰影部分面積的最大值.









11.(2020遼寧沈陽鐵路實驗中學(xué)高一下期中,)如圖是一個纜車示意圖,該纜車的半徑為4.8 m,圓上最低點與地面的距離為0.8 m,纜車每60 s轉(zhuǎn)動一圈,圖中OA與地面垂直,以O(shè)A為始邊,逆時針轉(zhuǎn)動θ角到OB,設(shè)B點與地面的距離為h m.
(1)求h與θ之間的函數(shù)解析式;
(2)設(shè)從OA開始轉(zhuǎn)動,經(jīng)過t s達(dá)到OB,求h與t之間的函數(shù)解析式,并計算經(jīng)過45 s后纜車距離地面的高度.












答案全解全析
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.C　相位是5x-π3,初相是當(dāng)x=0時的相位,即-π3.
2.B　當(dāng)t=1200 s時,I=5sin 100π×1200+π3=2.5 A.
3.D　函數(shù)的周期T=2π2=π,5個周期即5π,故選D.
4.答案　116
解析　因為周期T=2ππ8=16,所以簡諧運動y=12sinπ8x-2的頻率f=1T=116.
5.答案　y=4sin2x+π6(答案不唯一)
解析　不妨設(shè)y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0).由題知A=4,T=π,所以ω=2πT=2.當(dāng)x=0時,y=2,且小球開始向上運動,所以φ=2kπ+π6,k∈Z,不妨取φ=π6,故所求關(guān)系式可以為y=4sin2x+π6.
6.C　由此人的血壓滿足函數(shù)式p(t)=102+24sin 160πt,得此人的收縮壓為p(t)max =102+24=126;舒張壓為p(t)min =102-24=78,所以此人的收縮壓高于標(biāo)準(zhǔn)值,舒張壓低于標(biāo)準(zhǔn)值.故選C.
7.C　由題圖易得ymin=k-3=2,則k=5,
∴ymax=k+3=8.
8.C　由2kπ-π2≤t2≤2kπ+π2,k∈Z,得4kπ-π≤t≤4kπ+π,k∈Z,所以函數(shù)F(t)=50+4sin t2的增區(qū)間為[4kπ-π,4kπ+π],k∈Z.當(dāng)k=1時,t∈[3π,5π],而[10,15]?[3π,5π],故選C.
9.C　因為y=500sin(ωx+φ)+9 500(ω>0),
所以當(dāng)x=1時,500sin(ω+φ)+9 500=10 000;
當(dāng)x=2時,500sin(2ω+φ)+9 500=9 500,
所以ω可取3π2,φ可取π,
即y=500sin3π2x+π+9 500.
當(dāng)x=3時,y=9 000.
10.答案　13 ℃
解析　由題意得A=12×(30-10)=10,b=12×(30+10)=20,
∵T=2×(14-6)=16,
∴2πω=16,∴ω=π8,
∴y=10sinπ8x+φ+20,
將x=6,y=10代入得10sinπ8×6+φ+20=10,即sin3π4+φ=-1,
∵π2

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5.7 三角函數(shù)的應(yīng)用

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