學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.掌握拋物線的幾何性質(zhì).2.會利用拋物線的性質(zhì)解決一些簡單的拋物線問題.
導(dǎo)語
在上一節(jié)中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，這一節(jié)我們利用方程研究拋物線的幾何性質(zhì)．
一、拋物線的幾何性質(zhì)
問題1 類比用方程研究橢圓、雙曲線幾何性質(zhì)的過程與方法，
你認為應(yīng)研究拋物線y2＝2px(p>0)的哪些幾何性質(zhì)，如何研究這些性質(zhì)？
提示 1.范圍
當(dāng)x>0時，拋物線y2＝2px(p＞0)在y軸的右側(cè)，開口向右，這條拋物線上的任意一點M 的坐標(biāo)(x，y)的橫坐標(biāo)滿足不等式x≥0；當(dāng)x 的值增大時，|y|的值也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸．拋物線是無界曲線．
2．對稱性
觀察圖象，不難發(fā)現(xiàn)，拋物線 y2 ＝ 2px (p＞0)關(guān)于 x 軸對稱，我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸．拋物線只有一條對稱軸.
3．頂點
拋物線和它的軸的交點叫做拋物線的頂點．拋物線的頂點坐標(biāo)是坐標(biāo)原點 (0,0)．
4．離心率
拋物線上的點M到焦點的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比，叫做拋物線的離心率．用e表示，e＝1.
知識梳理
注意點：
只有焦點在坐標(biāo)軸上，頂點是原點的拋物線的方程才是標(biāo)準(zhǔn)方程．
例1 拋物線的頂點在原點，對稱軸重合于橢圓9x2＋4y2＝36短軸所在的直線，拋物線焦點到頂點的距離為3，求拋物線的方程及拋物線的準(zhǔn)線方程．
解 橢圓的方程可化為eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,9)＝1，其短軸在x軸上，
∴拋物線的對稱軸為x軸，
∴設(shè)拋物線的方程為y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)．
∵拋物線的焦點到頂點的距離為3，
即eq \f(p,2)＝3，∴p＝6，
∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝12x或y2＝－12x，
其準(zhǔn)線方程分別為x＝－3和x＝3.
反思感悟 把握三個要點確定拋物線的簡單幾何性質(zhì)
(1)開口：由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程看圖象開口，關(guān)鍵是看準(zhǔn)一次項是x還是y，一次項的系數(shù)是正還是負．
(2)關(guān)系：頂點位于焦點與準(zhǔn)線中間，準(zhǔn)線垂直于對稱軸．
(3)定值：焦點到準(zhǔn)線的距離為p；過焦點垂直于對稱軸的弦(又稱為通徑)長為2p；離心率恒等于1.
跟蹤訓(xùn)練1 邊長為1的等邊三角形AOB，O為坐標(biāo)原點，AB⊥x軸，以O(shè)為頂點且過A，B的拋物線方程是( )
A．y2＝eq \f(\r(3),6)x B．y2＝－eq \f(\r(3),3)x
C．y2＝±eq \f(\r(3),6)x D．y2＝±eq \f(\r(3),3)x
答案 C
解析 設(shè)拋物線方程為y2＝ax(a≠0)．
又Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(±\f(\r(3),2)，\f(1,2)))(取點A在x軸上方)，
則有eq \f(1,4)＝±eq \f(\r(3),2)a，
解得a＝±eq \f(\r(3),6)，
所以拋物線方程為y2＝±eq \f(\r(3),6)x.
二、拋物線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用
例2 (1)已知正三角形AOB的一個頂點O位于坐標(biāo)原點，另外兩個頂點A，B在拋物線y2＝2px(p＞0)上，求這個三角形的邊長．
解 如圖所示，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則yeq \\al(2,1)＝2px1，yeq \\al(2,2)＝2px2.
又|OA|＝|OB|，
所以xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)＝xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2)，
即xeq \\al(2,1)－xeq \\al(2,2)＋2px1－2px2＝0，
整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.
因為x1＞0，x2＞0,2p＞0，
所以x1＝x2，由此可得|y1|＝|y2|，
即線段AB關(guān)于x軸對稱，
由此得∠AOx＝30°，
所以y1＝eq \f(\r(3),3)x1，與yeq \\al(2,1)＝2px1聯(lián)立，
解得y1＝2eq \r(3)p.
所以|AB|＝2y1＝4eq \r(3)p，
即這個三角形的邊長為4eq \r(3)p.
(2)已知A，B是拋物線y2＝2px(p>0)上兩點，O為坐標(biāo)原點，若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰是此拋物線的焦點，求直線AB的方程．
解 如圖，設(shè)點A(x0，y0)，
由題意可知點B(x0，－y0)，
∵Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))是△AOB的垂心，
∴AF⊥OB，∴kAF·kOB＝－1，
即eq \f(y0,x0－\f(p,2))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(y0,x0)))＝－1.
∴yeq \\al(2,0)＝x0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0－\f(p,2)))，
又∵yeq \\al(2,0)＝2px0，
∴x0＝2p＋eq \f(p,2)＝eq \f(5p,2).
∴直線AB的方程為x＝eq \f(5p,2).
反思感悟 利用拋物線的性質(zhì)可以解決的問題
(1)對稱性：解決拋物線的內(nèi)接三角形問題．
(2)焦點、準(zhǔn)線：解決與拋物線的定義有關(guān)的問題．
(3)范圍：解決與拋物線有關(guān)的最值問題．
(4)焦點弦：解決焦點弦問題．
跟蹤訓(xùn)練2 (1)(多選)設(shè)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，點M在拋物線C上，|MF|＝5，若y軸上存在點A(0,2)，使得eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝0，則p的值可以為( )
A．2 B．4 C．6 D．8
答案 AD
解析 由題意可得，以MF為直徑的圓過點(0,2)，
設(shè)點M(x，y)，由拋物線定義知|MF|＝x＋eq \f(p,2)＝5，可得x＝5－eq \f(p,2).
因為圓心是MF的中點，
所以根據(jù)中點坐標(biāo)公式可得，
圓心橫坐標(biāo)為eq \f(5－\f(p,2)＋\f(p,2),2)＝eq \f(5,2)，
由已知可知圓半徑也為eq \f(5,2)，
據(jù)此可知該圓與y軸相切于點A(0,2)，
故圓心縱坐標(biāo)為2，則M點縱坐標(biāo)為4，
即點Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5－\f(p,2)，4))，
代入拋物線方程得p2－10p＋16＝0，
所以p＝2或p＝8.
(2)拋物線y2＝4x的焦點為F，準(zhǔn)線為l，點A是拋物線上一點，且∠AFO＝120°(O為坐標(biāo)原點)，AK⊥l，垂足為K，則△AKF的面積是________．
答案 4eq \r(3)
解析 由拋物線方程可知F(1,0)，準(zhǔn)線l的方程為x＝－1.如圖，設(shè)A(x0，y0)，過A作AH⊥x軸于H，
在Rt△AFH中，|FH|＝x0－1，
由∠AFO＝120°得∠AFH＝60°，故y0＝|AH|＝eq \r(3)(x0－1)，
所以點A的坐標(biāo)為(x0，eq \r(3)(x0－1))，將此代入拋物線方程可得3xeq \\al(2,0)－10x0＋3＝0，
解得x0＝3或x0＝eq \f(1,3)(舍)，
所以點A的坐標(biāo)為(3,2eq \r(3))，
故S△AKF＝eq \f(1,2)×(3＋1)×2eq \r(3)＝4eq \r(3).
1．知識清單：
(1)拋物線的幾何性質(zhì)．
(2)拋物線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用．
2．方法歸納：待定系數(shù)法．
3．常見誤區(qū)：求拋物線方程時焦點的位置易判斷失誤．
1．對拋物線y＝4x2，下列描述正確的是( )
A．開口向上，焦點為(0,1)
B．開口向上，焦點為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,16)))
C．開口向右，焦點為(1,0)
D．開口向右，焦點為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)，0))
答案 B
解析 由拋物線y＝4x2，
得拋物線標(biāo)準(zhǔn)式為eq \f(y,4)＝x2，2p＝eq \f(1,4)，
故焦點在y軸上，開口向上，焦點坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,16))).
2. (多選)以y軸為對稱軸的拋物線的通徑(過焦點且與對稱軸垂直的弦)長為8，若拋物線的頂點在坐標(biāo)原點，則其方程為( )
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．x2＝8y D．x2＝－8y
答案 CD
解析 設(shè)拋物線方程為x2＝2py或x2＝－2py(p>0)，2p＝8，p＝4.
∴拋物線方程為x2＝8y或x2＝－8y.
3．若拋物線y2＝x上一點P到準(zhǔn)線的距離等于它到頂點的距離，則點P的坐標(biāo)為( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，±\f(\r(2),4))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，±\f(\r(2),4)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(\r(2),4))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，\f(\r(2),4)))
答案 B
解析 設(shè)拋物線的焦點為F，原點為O，P(x0，y0)，由條件及拋物線的定義知，|PF|＝|PO|，又Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，0))，所以x0＝eq \f(1,8)，所以yeq \\al(2,0)＝eq \f(1,8)，所以y0＝±eq \f(\r(2),4).
4．已知拋物線y2＝2px(p>0)，直線x＝m與拋物線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，則y1＋y2＝________.
答案 0
解析 因為拋物線y2＝2px(p>0)關(guān)于x軸對稱，x＝m與x軸垂直，故y1＝－y2，
即y1＋y2＝0.
課時對點練
1．若拋物線y2＝2x上有兩點A，B且AB垂直于x軸，若|AB|＝2eq \r(2)，則拋物線的焦點到直線AB的距離為( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,6) D.eq \f(1,8)
答案 A
解析 由題意知，線段AB所在的直線方程為x＝1，
拋物線的焦點坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))，
則焦點到直線AB的距離為1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2).
2．以坐標(biāo)軸為對稱軸，以原點為頂點且過圓x2＋y2－2x＋6y＋9＝0的圓心的拋物線的方程是( )
A．y＝3x2或y＝－3x2 B．y＝3x2
C．y2＝－9x或y＝3x2 D．y＝－3x2或y2＝9x
答案 D
解析 圓的方程可化為(x－1)2＋(y＋3)2＝1，圓心為(1，－3)，由題意可設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)．把(1，－3)代入得9＝2p或1＝6p，
所以p＝eq \f(9,2)或p＝eq \f(1,6)，所以y2＝9x或x2＝－eq \f(1,3)y.
3．若雙曲線eq \f(x2,3)－eq \f(16y2,p2)＝1(p>0)的左焦點在拋物線y2＝2px的準(zhǔn)線上，則p的值為( )
A．2 B．3
C．4 D．4eq \r(2)
答案 C
解析 雙曲線的方程可化為eq \f(x2,3)－eq \f(y2,\f(p2,16))＝1，∴雙曲線的左焦點為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\r(3＋\f(p2,16))，0)).
又∵拋物線的準(zhǔn)線為x＝－eq \f(p,2)，由題意得－eq \r(3＋\f(p2,16))＝－eq \f(p,2)，解得p＝4.
4．若拋物線y2＝4x上一點P到x軸的距離為2eq \r(3)，則點P到拋物線的焦點F的距離為( )
A．4 B．5 C．6 D．7
答案 A
解析 由題意，知拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線方程為x＝－1，
∵拋物線y2＝4x上一點P到x軸的距離為2eq \r(3)，
則P(3，±2eq \r(3))，
∴點P到拋物線的準(zhǔn)線的距離為3＋1＝4，
∴點P到拋物線的焦點F的距離為4.
5．已知拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線與曲線x2＋y2－4x－5＝0相切，則p的值為( )
A．2 B．1 C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,4)
答案 A
解析 曲線的方程可化為(x－2)2＋y2＝9，
其表示圓心為(2,0)，半徑為3的圓，
又拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－eq \f(p,2)，
∴由拋物線的準(zhǔn)線與圓相切得2＋eq \f(p,2)＝3，解得p＝2.
6．(多選)點M(1,1)到拋物線y＝ax2的準(zhǔn)線的距離為2，則a的值可以為( )
A.eq \f(1,4) B．－eq \f(1,12) C.eq \f(1,12) D．－eq \f(1,4)
答案 AB
解析 拋物線y＝ax2的準(zhǔn)線方程為y＝－eq \f(1,4a)，
因為點M(1,1)到拋物線y＝ax2的準(zhǔn)線的距離為2，
所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,4a)))＝2，解得a＝eq \f(1,4)或a＝－eq \f(1,12).
7．已知點A(－2,3)在拋物線C：y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線上，記拋物線C的焦點為F，則直線AF的斜率為________．
答案 －eq \f(3,4)
解析 ∵點A(－2,3)在拋物線C的準(zhǔn)線上，
∴eq \f(p,2)＝2，∴p＝4.
∴拋物線的方程為y2＝8x，則焦點F的坐標(biāo)為(2,0)．
又A(－2,3)，根據(jù)斜率公式得kAF＝eq \f(0－3,2＋2)＝－eq \f(3,4).
8．已知F是拋物線C：y2＝8x的焦點，M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N.若M是FN的中點，則|FN|＝________.
答案 6
解析 如圖，過點M作MM′⊥y軸，垂足為M′，|OF|＝2，
∵M為FN的中點，|MM′|＝1，
∴M到準(zhǔn)線距離d＝|MM′|＋eq \f(p,2)＝3，
∴|MF|＝3，∴|FN|＝6.
9．若拋物線的頂點在原點，開口向上，F(xiàn)為焦點，M為準(zhǔn)線與y軸的交點，A為拋物線上一點，且|AM|＝eq \r(17)，|AF|＝3，求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
解 設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝2py(p>0)，
設(shè)A(x0，y0)，由題意知Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2))).
因為|AF|＝3，所以y0＋eq \f(p,2)＝3，
因為|AM|＝eq \r(17)，所以xeq \\al(2,0)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y0＋\f(p,2)))2＝17，
所以xeq \\al(2,0)＝8，代入方程xeq \\al(2,0)＝2py0得，
8＝2peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(p,2)))，解得p＝2或p＝4.
所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝4y或x2＝8y.
10．已知拋物線C的頂點在原點，焦點F在x軸的正半軸上，設(shè)A，B是拋物線C上的兩個動點(AB不垂直于x軸)，且|AF|＋|BF|＝8，線段AB的垂直平分線恒經(jīng)過點Q(6,0)，求拋物線的方程．
解 設(shè)拋物線的方程為y2＝2px(p＞0)，
則其準(zhǔn)線方程為x＝－eq \f(p,2).設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵|AF|＋|BF|＝8，
∴x1＋eq \f(p,2)＋x2＋eq \f(p,2)＝8，即x1＋x2＝8－p.
∵Q(6,0)在線段AB的中垂線上，
∴|QA|＝|QB|，
即eq \r(?6－x1?2＋?－y1?2)＝eq \r(?6－x2?2＋?－y2?2)，
又yeq \\al(2,1)＝2px1，yeq \\al(2,2)＝2px2，
∴(x1－x2)(x1＋x2－12＋2p)＝0.
∵AB與x軸不垂直，∴x1≠x2.
故x1＋x2－12＋2p＝8－p－12＋2p＝0，即p＝4.
從而拋物線方程為y2＝8x.
11．設(shè)O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為拋物線y2＝4x的焦點，A是拋物線上一點，若eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝－4，則點A的坐標(biāo)是( )
A．(2，±2eq \r(2)) B．(1，±2)
C．(1,2) D．(2,2eq \r(2))
答案 B
解析 由題意知F(1,0)，設(shè)Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,0),4)，y0))，則eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,0),4)，y0))，eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(y\\al(2,0),4)，－y0))，由eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝－4得y0＝±2，∴點A的坐標(biāo)為(1，±2)．
12．已知P是拋物線C：y2＝2px(p>0)上的一點，F(xiàn)是拋物線C的焦點，O為坐標(biāo)原點，若|PF|＝2，∠PFO＝eq \f(π,3)，則拋物線C的方程為( )
A．y2＝6x B．y2＝2x
C．y2＝x D．y2＝4x
答案 A
解析 過P向x軸作垂線，設(shè)垂足為Q，
∵∠PFO＝eq \f(π,3)，|PF|＝2，
∴|PQ|＝eq \r(3)，|QF|＝1，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)－1，±\r(3)))，
將P點的坐標(biāo)代入y2＝2px，得p＝3，故C的方程為y2＝6x.
13．已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，O為坐標(biāo)原點，M為拋物線上一點，且|MF|＝4|OF|，△MFO 的面積為4eq \r(3)，則拋物線方程為( )
A．y2＝6x B．y2＝8x
C．y2＝16x D．y2＝eq \f(15,2)x
答案 B
解析 設(shè)M(x1，y1)，
則由|MF|＝4|OF|得x1＋eq \f(p,2)＝4×eq \f(p,2)，
即x1＝eq \f(3,2)p，則yeq \\al(2,1)＝3p2，
則|y1|＝eq \r(3)p，則S△OMF＝eq \f(1,2)×eq \f(p,2)×eq \r(3)p＝4eq \r(3)，解得p＝4，即拋物線的方程為y2＝8x.
14．拋物線x2＝2py(p>0)的焦點為F，其準(zhǔn)線與雙曲線eq \f(x2,3)－eq \f(y2,3)＝1相交于A，B兩點，若△ABF為等邊三角形，則p＝__________.
答案 6
解析 拋物線的焦點坐標(biāo)為Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))，準(zhǔn)線方程為y＝－eq \f(p,2).
將y＝－eq \f(p,2)代入eq \f(x2,3)－eq \f(y2,3)＝1得|x|＝eq \r(3＋\f(p2,4)).要使△ABF為等邊三角形，則tan eq \f(π,6)＝eq \f(|x|,p)＝eq \f(\r(3＋\f(p2,4)),p)＝eq \f(\r(3),3)，解得p2＝36，p＝6.
15．如圖，已知P為拋物線y2＝4x上的動點，過P分別作y軸與直線x－y＋4＝0的垂線，垂足分別為A，B，則|PA|＋|PB|的最小值為________．
答案 eq \f(5,2)eq \r(2)－1
解析 拋物線的準(zhǔn)線方程是x＝－1，
又根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)知，
拋物線上的點到焦點的距離等于其到準(zhǔn)線的距離，
所以|PA|＋|PB|＝|PF|＋|PB|－1，|PF|＋|PB|的最小值就是點F到直線x－y＋4＝0的距離，
又點F到直線的距離d＝eq \f(|1－0＋4|,\r(2))＝eq \f(5\r(2),2)，
所以|PA|＋|PB|的最小值是eq \f(5,2)eq \r(2)－1.
16．已知拋物線y2＝8x.
(1)求出該拋物線的頂點、焦點、準(zhǔn)線方程、對稱軸、變量x的范圍；
(2)以坐標(biāo)原點O為頂點，作拋物線的內(nèi)接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦點F是△OAB的重心，求△OAB的周長．
解 (1)拋物線y2＝8x的頂點、焦點、準(zhǔn)線方程、對稱軸、變量x的范圍分別為(0,0)，(2,0)，x＝－2，x軸，x≥0.
(2)如圖所示，由|OA|＝|OB|可知AB⊥x軸，垂足為點M，
又焦點F是△OAB的重心，
則|OF|＝eq \f(2,3)|OM|.
因為F(2,0)，
所以|OM|＝eq \f(3,2)|OF|＝3，
所以M(3,0)．
故設(shè)A(3，m)，
代入y2＝8x得m2＝24，
所以m＝2eq \r(6)或m＝－2eq \r(6)，
所以A(3,2eq \r(6))，B(3，－2eq \r(6))，
所以|OA|＝|OB|＝eq \r(33)，
所以△OAB的周長為2eq \r(33)＋4eq \r(6).圖形
標(biāo)準(zhǔn)方程
焦點坐標(biāo)
準(zhǔn)線方程
y2＝2px(p>0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
x＝－eq \f(p,2)
y2＝－2px(p>0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
x＝eq \f(p,2)
x2＝2py(p>0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
y＝－eq \f(p,2)
x2＝－2py(p>0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
y＝eq \f(p,2)
標(biāo)準(zhǔn)方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
圖形
范圍
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
對稱軸
x軸
x軸
y軸
y軸
焦點坐標(biāo)
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
準(zhǔn)線方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
頂點坐標(biāo)
O(0,0)
離心率
e＝1

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊電子課本

3.3 拋物線

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第一冊

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