導(dǎo)語(yǔ)
一只很小的燈泡發(fā)出的光，會(huì)分散地射向各方，但把它裝在手電筒里，經(jīng)過(guò)適當(dāng)調(diào)節(jié)，就能射出一束較強(qiáng)的平行光，這是什么原因呢？
一、直線與拋物線的位置關(guān)系
問(wèn)題1 類(lèi)比橢圓、雙曲線與直線的位置關(guān)系，探究拋物線與直線的位置關(guān)系．
提示 如圖所示，拋物線與直線有三種位置關(guān)系：沒(méi)有交點(diǎn)、一個(gè)交點(diǎn)、兩個(gè)交點(diǎn)．
知識(shí)梳理
設(shè)直線l：y＝kx＋m，拋物線：y2＝2px(p>0)，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立整理成關(guān)于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0.
(1)若k≠0，當(dāng)Δ>0時(shí)，直線與拋物線相交，有兩個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)Δ＝0時(shí)，直線與拋物線相切，有一個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)Δ0，即k0)，過(guò)此拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝eq \f(5,2)p，求AB所在的直線方程．
解 由題意知焦點(diǎn)Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
若AB⊥x軸，則|AB|＝2p≠eq \f(5,2)p，不滿(mǎn)足題意．
所以直線AB的斜率存在，設(shè)為k，
則直線AB的方程為y＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，k≠0.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，,y2＝2px，))
消去x，整理得ky2－2py－kp2＝0.
由根與系數(shù)的關(guān)系得y1＋y2＝eq \f(2p,k)，y1y2＝－p2.
所以|AB|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,k2)))·?y1－y2?2)
＝eq \r(1＋\f(1,k2))·eq \r(?y1＋y2?2－4y1y2)＝2peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,k2)))＝eq \f(5,2)p，
解得k＝±2.
所以AB所在的直線方程為2x－y－p＝0
或2x＋y－p＝0.
延伸探究
若本例條件不變，求弦AB的中點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離．
解 如圖，過(guò)A，B，M分別作準(zhǔn)線x＝－eq \f(p,2)的垂線交準(zhǔn)線于點(diǎn)C，D，E.
由定義知|AC|＋|BD|＝eq \f(5,2)p，
則梯形ABDC的中位線|ME|＝eq \f(5,4)p，
∴點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為eq \f(5,4)p－eq \f(p,2)＝eq \f(3,4)p.
反思感悟 求弦長(zhǎng)問(wèn)題的方法
(1)一般弦長(zhǎng)：|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|，或|AB|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.
(2)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)：設(shè)過(guò)焦點(diǎn)的弦的端點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝x1＋x2＋p.
跟蹤訓(xùn)練2 已知y＝x＋m與拋物線y2＝8x交于A，B兩點(diǎn)．
(1)若|AB|＝10，求實(shí)數(shù)m的值；
(2)若OA⊥OB，求實(shí)數(shù)m的值．
解 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x＋m，,y2＝8x，))
得x2＋(2m－8)x＋m2＝0.
由Δ＝(2m－8)2－4m2＝64－32m>0，得m0)只有一個(gè)交點(diǎn)，則直線l與拋物線的位置關(guān)系是( )
A．相交 B．相切
C．相離 D．相交或相切
答案 D
解析 當(dāng)直線l與y軸平行或重合時(shí)，直線l與拋物線x2＝2py(p>0)有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)直線l與拋物線是相交的．當(dāng)直線l的斜率存在，直線l與拋物線x2＝2py(p>0)只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，直線l與拋物線相切．
3．若直線x－y＝2與拋物線y2＝4x交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是________.
答案 (4,2)
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＝2，,y2＝4x，))
得x2－8x＋4＝0，Δ>0，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則x1＋x2＝8，y1＋y2＝x1＋x2－4＝4，
故線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(4,2)．
4．直線y＝kx＋2與拋物線y2＝8x有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則k＝________.
答案 0或1
解析 當(dāng)k＝0時(shí)，直線與拋物線有唯一交點(diǎn)，
當(dāng)k≠0時(shí)，聯(lián)立方程消去y，得k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，
由題意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，
∴k＝1.
綜上，k＝0或1.
課時(shí)對(duì)點(diǎn)練
1．過(guò)拋物線C：y2＝12x的焦點(diǎn)作直線l交C于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，若x1＋x2＝6，則|AB|等于( )
A．16 B．12 C．10 D．8
答案 B
解析 由題意得p＝6，
∴|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋6＝12.
2．設(shè)圓C與圓x2＋(y－3)2＝1外切，與直線y＝0相切，則圓心C的軌跡為( )
A．拋物線 B．雙曲線
C．橢圓 D．圓
答案 A
解析 設(shè)圓C的半徑為r，則圓心C到直線y＝0的距離為r，由兩圓外切可得，圓心C到點(diǎn)(0,3)的距離為r＋1，所以圓心C到點(diǎn)(0,3)的距離和它到直線y＝－1的距離相等，符合拋物線的特征，故圓心C的軌跡是拋物線．
3．直線2x－y－4＝0與拋物線y2＝6x交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB的長(zhǎng)度為( )
A．8 B.eq \f(\r(285),2)
C.eq \f(\r(305),2) D.eq \f(\r(335),2)
答案 B
解析 聯(lián)立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝6x，,2x－y－4＝0，))
消去y并整理得2x2－11x＋8＝0，Δ>0，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則x1＋x2＝eq \f(11,2)，x1x2＝4，
∴|AB|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(?x1＋x2?2－4x1x2)＝eq \r(1＋4)×eq \r(\f(121,4)－4×4)＝eq \f(\r(285),2).
4．拋物線y＝－x2上的點(diǎn)到直線4x＋3y－8＝0的距離的最小值是( )
A.eq \f(4,3) B.eq \f(7,5) C.eq \f(8,5) D．3
答案 A
解析 方法一 設(shè)與拋物線相切的直線，
且與直線4x＋3y－8＝0平行的直線方程為4x＋3y＋m＝0.
與拋物線y＝－x2聯(lián)立，消去y可得3x2－4x－m＝0，
由題意知，Δ＝16＋12m＝0，
∴m＝－eq \f(4,3).
∴最小值為兩平行線之間的距離d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)＋8)),5)＝eq \f(4,3).
方法二 設(shè)拋物線y＝－x2上一點(diǎn)為(m，－m2)，
該點(diǎn)到直線4x＋3y－8＝0的距離為eq \f(|4m－3m2－8|,5)，
當(dāng)m＝eq \f(2,3)時(shí)，取得最小值eq \f(4,3).
5．設(shè)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為1的直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)為E，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且|OE|＝eq \r(13)，則p等于( )
A．2 B．3 C．6 D．12
答案 A
解析 由題意可知Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，則直線AB為y＝x－eq \f(p,2)，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y\\al(2,1)＝2px1，,y\\al(2,2)＝2px2，))相減得，
yeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,2)＝2p(x1－x2)?y1＋y2＝2p，
因?yàn)镋為線段AB的中點(diǎn)，所以Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))，即Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，p))，
因?yàn)镋在直線AB：y＝x－eq \f(p,2)上，所以Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3p,2)，p))，
又因?yàn)閨OE|＝eq \r(13)，所以p＝2.
6．已知過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F且斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，|AF|·|BF|＝16，則p的值為( )
A．2 B．4 C．2eq \r(2) D．8
答案 C
解析 拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，
準(zhǔn)線方程為x＝－eq \f(p,2)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴直線AB的方程為y＝x－eq \f(p,2)，
代入y2＝2px可得x2－3px＋eq \f(p2,4)＝0，
∴x1＋x2＝3p，x1x2＝eq \f(p2,4)，
由拋物線的定義可知，|AF|＝x1＋eq \f(p,2)，|BF|＝x2＋eq \f(p,2)，
∴|AF|·|BF|＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1＋\f(p,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(p,2)))
＝x1x2＋eq \f(p,2)(x1＋x2)＋eq \f(p2,4)
＝eq \f(p2,4)＋eq \f(3,2)p2＋eq \f(p2,4)
＝2p2＝16，
解得p＝2eq \r(2).
7．過(guò)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，若|AB|＝7，則AB的中點(diǎn)M到拋物線準(zhǔn)線的距離為_(kāi)_______．
答案 eq \f(7,2)
解析 拋物線的焦點(diǎn)為(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1，p＝2.由拋物線的定義，知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋eq \f(p,2)＋x2＋eq \f(p,2)＝x1＋x2＋p，即x1＋x2＋p＝7，故x1＋x2＝5.于是弦AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為eq \f(5,2)，因此點(diǎn)M到拋物線準(zhǔn)線的距離為eq \f(5,2)＋1＝eq \f(7,2).
8．已知拋物線C：y2＝2x，斜率為k的直線l過(guò)定點(diǎn)M(x0，0)，直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，且A，B位于x軸兩側(cè)，eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝3(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則x0＝________.
答案 3
解析 設(shè)直線l的方程為y＝k(x－x0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
與拋物線方程聯(lián)立可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝2x，,y＝k?x－x0?，))
消去y并整理可得，k2x2－(2k2x0＋2)x＋k2xeq \\al(2,0)＝0，
由根與系數(shù)的關(guān)系可得，x1x2＝xeq \\al(2,0)，
則y1y2＝－eq \r(4x1x2)＝－2x0，
∵eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝3，
∴x1x2＋y1y2＝3，即xeq \\al(2,0)－2x0＝3，
解得x0＝3(負(fù)值舍去)．
9．過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)的頂點(diǎn)O作兩條互相垂直的弦交拋物線于A，B兩點(diǎn)．求證：
(1)A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積、縱坐標(biāo)之積分別為定值；
(2)直線AB過(guò)定點(diǎn)．
證明 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，中點(diǎn)P(x0，y0)，
(1)kOA＝eq \f(y1,x1)，kOB＝eq \f(y2,x2)，
∵OA⊥OB，
∴kOA·kOB＝－1，
∴x1x2＋y1y2＝0，
∵yeq \\al(2,1)＝2px1，yeq \\al(2,2)＝2px2，
∴eq \f(y\\al(2,1),2p)·eq \f(y\\al(2,2),2p)＋y1y2＝0，
∵y1≠0，y2≠0，
∴y1y2＝－4p2，∴x1x2＝4p2.
(2)當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，∵yeq \\al(2,1)＝2px1，yeq \\al(2,2)＝2px2，
∴(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)，
∴eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(2p,y1＋y2)，
∴kAB＝eq \f(2p,y1＋y2)，
∴直線AB：y－y1＝eq \f(2p,y1＋y2)(x－x1)，
∴y＝eq \f(2px,y1＋y2)＋y1－eq \f(2px1,y1＋y2)，
∴y＝eq \f(2px,y1＋y2)＋eq \f(y\\al(2,1)－2px1＋y1y2,y1＋y2)，
∵yeq \\al(2,1)＝2px1，y1y2＝－4p2，
∴y＝eq \f(2px,y1＋y2)＋eq \f(－4p2,y1＋y2)，
∴y＝eq \f(2p,y1＋y2)(x－2p)，
∴AB過(guò)定點(diǎn)(2p,0)．
當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，則kOA＝1，
∴直線OA：y＝x，與拋物線方程聯(lián)立，得x2＝2px，
∴A(2p,2p)，故直線AB過(guò)定點(diǎn)(2p,0)，
綜上，AB過(guò)定點(diǎn)(2p,0)．
10.如圖，已知拋物線y2＝4x，其焦點(diǎn)為F.
(1)求以M(1,1)為中點(diǎn)的拋物線的弦所在的直線方程；
(2)若互相垂直的直線m，n都經(jīng)過(guò)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)和C，D兩點(diǎn)，求四邊形ACBD面積的最小值．
解 (1)由題意知，中點(diǎn)弦所在的直線斜率存在．
設(shè)所求直線交拋物線于P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
則yeq \\al(2,1)＝4x1，yeq \\al(2,2)＝4x2，kPQ＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(4,y1＋y2)＝2，
∴所求直線方程為2x－y－1＝0.
(2)依題意知，直線m，n的斜率存在，設(shè)直線m的方程為y＝k(x－1)，與拋物線方程聯(lián)立，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝k?x－1?，,y2＝4x，))消去y，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，其兩根為x3，x4，且x3＋x4＝eq \f(4,k2)＋2.
由拋物線的定義可知，|AB|＝2＋x3＋x4＝eq \f(4,k2)＋4，
同理，|CD|＝4k2＋4，
∴四邊形ACBD的面積S＝eq \f(1,2)(4k2＋4)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,k2)＋4))＝8eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋k2＋\f(1,k2)))≥32.當(dāng)且僅當(dāng)k＝±1時(shí)取得最小值．
11．設(shè)拋物線y2＝4x上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d1，到直線l：3x＋4y＋12＝0的距離為d2，則d1＋d2的最小值為( )
A．2 B.eq \f(15,3) C.eq \f(16,3) D．3
答案 A
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝4x，,3x＋4y＋12＝0，))
得3y2＋16y＋48＝0，Δ＝256－12×480，
則y1＋y2＝4m，y1y2＝－16，
所以yeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,2)＝(y1＋y2)2－2y1y2＝16m2＋32，
當(dāng)m＝0時(shí)，yeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,2)的最小值為32.
14．已知點(diǎn)M(－1,1)和拋物線C：y2＝4x，過(guò)C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．若∠AMB＝90°，則k＝________.
答案 2
解析 由拋物線的方程y2＝4x可知其焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)，
所以直線AB的方程為y＝k(x－1)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝k?x－1?，,y2＝4x，))
得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以x1＋x2＝eq \f(2?k2＋2?,k2)，x1x2＝1，
因?yàn)椤螦MB＝90°，
所以eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))＝(x1＋1，y1－1)·(x2＋1，y2－1)＝(x1＋1)(x2＋1)＋(y1－1)(y2－1)＝(x1＋1)(x2＋1)＋[k(x1－1)－1]·[k(x2－1)－1]
＝(1－k－k2)(x1＋x2)＋(1＋k2)x1x2＋k2＋2k＋2
＝(1－k－k2)eq \f(2?k2＋2?,k2)＋(1＋k2)＋k2＋2k＋2＝0，
解得k＝2.
經(jīng)檢驗(yàn)，k＝2符合題意．
15.拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱(chēng)軸的方向射出．今有拋物線y2＝2px(p>0)，如圖，一平行于x軸的光線射向拋物線上的點(diǎn)P，反射后又射向拋物線上的點(diǎn)Q，再反射后又沿平行于x軸的方向射出，且兩平行光線間的最小距離為3，則拋物線的方程為_(kāi)_________．
答案 y2＝3x
解析 由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可得，PQ必過(guò)拋物線的焦點(diǎn)Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0)).
當(dāng)直線PQ的斜率不存在時(shí)，易得|PQ|＝2p；
當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，
設(shè)PQ的方程為y＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
聯(lián)立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，,y2＝2px，))
得k2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－px＋\f(p2,4)))＝2px，
整理得4k2x2－(4k2p＋8p)x＋k2p2＝0，
所以x1＋x2＝p＋eq \f(2p,k2)，x1x2＝eq \f(p2,4).
所以|PQ|＝x1＋x2＋p＝2peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,k2)))>2p.
綜上，當(dāng)直線PQ與x軸垂直時(shí)，弦長(zhǎng)最短，
又因?yàn)閮善叫泄饩€間的最小距離為3，故2p＝3，
所以拋物線的方程為y2＝3x.
16.如圖，已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，若過(guò)點(diǎn)F且斜率為1的直線與拋物線相交于M，N兩點(diǎn)，且|MN|＝8.
(1)求拋物線C的方程；
(2)設(shè)直線l為拋物線C的切線，且l∥MN，P為l上一點(diǎn)，求eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))的最小值．
解 (1)由題意可知Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，
則該直線方程為y＝x－eq \f(p,2)，
代入y2＝2px(p>0)，
得x2－3px＋eq \f(p2,4)＝0.
設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，
則有x1＋x2＝3p.
∵|MN|＝8，
∴x1＋x2＋p＝8，
即3p＋p＝8，解得p＝2，
∴拋物線C的方程為y2＝4x.
(2)設(shè)直線l的方程為y＝x＋b，代入y2＝4x，
得x2＋(2b－4)x＋b2＝0.
∵直線l為拋物線C的切線，
∴Δ＝0，解得b＝1.
∴直線l的方程為y＝x＋1.
由(1)可知x1＋x2＝6，x1x2＝1.
設(shè)P(m，m＋1)，
則eq \(PM,\s\up6(→))＝(x1－m，y1－(m＋1))，eq \(PN,\s\up6(→))＝(x2－m，y2－(m＋1))，
∴eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))＝(x1－m)(x2－m)＋[y1－(m＋1)]·[y2－(m＋1)]＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2－(m＋1)·(y1＋y2)＋(m＋1)2.
∵x1＋x2＝6，x1x2＝1，
∴(y1y2)2＝16x1x2＝16，y1y2＝－4.
∵yeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,2)＝4(x1－x2)，
∴y1＋y2＝4×eq \f(x1－x2,y1－y2)＝4，
∴eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))＝1－6m＋m2－4－4(m＋1)＋(m＋1)2＝2(m2－4m－3)＝2[(m－2)2－7]≥－14，當(dāng)且僅當(dāng)m＝2，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,3)時(shí)，eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))取得最小值，最小值為－14.

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)電子課本

3.3 拋物線

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修 第一冊(cè)

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