?專題4.1 幾何圖形(本專題共64頁)
典例體系



一、知識(shí)點(diǎn)
1.立體圖形與平面圖形
從實(shí)物中抽象出來的各種圖形，包括立體圖形和平面圖形。
立體圖形：有些幾何圖形的各個(gè)部分不都在同一平面內(nèi)，它們是立體圖形。
平面圖形：有些幾何圖形的各個(gè)部分都在同一平面內(nèi)，它們是平面圖形。
2、點(diǎn)、線、面、體
(1)幾何圖形的組成
點(diǎn)：線和線相交的地方是點(diǎn)，它是幾何圖形中最基本的圖形。
線：面和面相交的地方是線，分為直線和曲線。
面：包圍著體的是面，分為平面和曲面。
體：幾何體也簡(jiǎn)稱體。
（2） 點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體。
3、生活中的立體圖形

4、棱柱及其有關(guān)概念：
棱：在棱柱中，任何相鄰兩個(gè)面的交線，都叫做棱。
側(cè)棱：相鄰兩個(gè)側(cè)面的交線叫做側(cè)棱。
n棱柱有兩個(gè)底面，n個(gè)側(cè)面，共(n+2)個(gè)面；3n條棱，n條側(cè)棱；2n個(gè)頂點(diǎn)。
棱柱的所有側(cè)棱長都相等，棱柱的上下兩個(gè)底面是相同的多邊形，直棱柱的側(cè)面是長方形。棱柱的側(cè)面有可能是長方形，也有可能是平行四邊形。
5、正方體的平面展開圖：11種


6、截一個(gè)正方體：
用一個(gè)平面去截一個(gè)正方體，截出的面可能是三角形，四邊形，五邊形，六邊形。
7、三視圖
物體的三視圖指主視圖、俯視圖、左視圖。
主視圖：從正面看到的圖，叫做主視圖。
左視圖：從左面看到的圖，叫做左視圖。
俯視圖：從上面看到的圖，叫做俯視圖。
二、考點(diǎn)點(diǎn)撥與訓(xùn)練
1、生活中的立體圖形
考點(diǎn)1：幾何體的識(shí)別
典例：(2019·江西省初三月考)下列幾何體中，是圓柱的為
A． B． C． D．
方法或規(guī)律點(diǎn)撥
考查立體圖形的認(rèn)識(shí)，掌握立體圖形的特征是解題的關(guān)鍵.
鞏固練習(xí)
1．(2019·河北省初一期末)下面幾種圖形：①三角形，②長方形，③立方體，④圓，⑤圓錐，⑥圓柱．其中屬于立體圖形的有( )
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
2．(2020·貴州省初三學(xué)業(yè)考試)下列列舉的物體中，與鉛球的形狀類似的是( )
A．音箱 B．鉛筆 C．西瓜 D．水杯
3．(2020·浙江省初三學(xué)業(yè)考試)如圖，一個(gè)正方體有蓋盒子(可密封)里裝入六分之一高度的水，改變正方體盒子的放置方式，下列選項(xiàng)中不是盒子里的水能形成的幾何體是( )

A．正方體 B．長方體 C．三棱柱 D．三棱錐
4．(2018·山東省初一期中)下列幾何體屬于柱體的個(gè)數(shù)是( )

A．3 B．4 C．5 D．6
5．(2019·西安交大陽光中學(xué)初一月考)直角三角形繞它的一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周圍成的幾何體是(　　)
A．三棱錐 B．圓錐 C．圓柱 D．正方體
6．(2019·山東省聊城二中初一月考)下列幾何體中，屬于錐體的是( )
A． B． C． D．
7．(2019·山東省初一期中)下面的長方體是由A，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)中所示的四個(gè)幾何體拼接而成的，而且這四個(gè)幾何體都是由4個(gè)同樣大小的正方體組成的，那么長方體中，第四部分所對(duì)應(yīng)的幾何體應(yīng)是(　　)

A． B． C． D．
考點(diǎn)2：幾何體的點(diǎn)、棱和面
典例：(2020·山東省中考真題)歐拉(Euler，1707年~1783年)為世界著名的數(shù)學(xué)家、自然科學(xué)家，他在數(shù)學(xué)、物理、建筑、航海等領(lǐng)域都做出了杰出的貢獻(xiàn)．他對(duì)多面體做過研究，發(fā)現(xiàn)多面體的頂點(diǎn)數(shù)(Vertex)、棱數(shù)E(Edge)、面數(shù)F(Flat surface)之間存在一定的數(shù)量關(guān)系，給出了著名的歐拉公式．
(1)觀察下列多面體，并把下表補(bǔ)充完整：
名稱
三棱錐
三棱柱
正方體
正八面體
圖形




頂點(diǎn)數(shù)V
4
6
8

棱數(shù)E
6

12

面數(shù)F
4
5

8
(2)分析表中的數(shù)據(jù)，你能發(fā)現(xiàn)V、E、F之間有什么關(guān)系嗎？請(qǐng)寫出關(guān)系式：____________________________．


























方法或規(guī)律點(diǎn)撥
本題考查規(guī)律型問題，歐拉公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)從特殊到一般探究規(guī)律的方法，屬于中考?？碱}型．
鞏固練習(xí)
1．(2020·河北省初一期中)如圖，含有曲面的幾何體編號(hào)是( )

A．①② B．①③ C．②③ D．②④
2．(2020·重慶中考真題)圍成下列這些立體圖形的各個(gè)面中，都是平的面為( )
A． B． C． D．
3．(2019·河北省金華中學(xué)初一期中)下圖幾何體面的個(gè)數(shù)為( )

A． B． C． D．
4．(2019·河北省初一期末)不透明袋子中裝有一個(gè)幾何體模型，兩位同學(xué)摸該模型并描述它的特征．甲同學(xué)：它有4個(gè)面是三角形；乙同學(xué)：它有8條棱．該模型的形狀對(duì)應(yīng)的立體圖形可能是(　　)
A．三棱柱 B．四棱柱 C．三棱錐 D．四棱錐
5．(2020·成都市金花中學(xué)初一期中)一個(gè)棱柱有12個(gè)面，它有__________個(gè)頂點(diǎn)，___________條棱．
6．(2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)課時(shí)練習(xí))這是一個(gè)_______體，它的長是_______ cm，寬是_______ cm，高是_______ cm．棱長總和是_______cm．

7．(2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)課時(shí)練習(xí))正方體有個(gè)6面，每個(gè)面都是_______形，面積都_______．
8．(2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)課時(shí)練習(xí))正方體不僅相對(duì)的面的面積相等，而且所有相鄰的面的面積也都相等(_______)
9．(2018·四川省雙流縣棠湖中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校初一月考)如圖所示的幾何體的名稱是____，它由____個(gè)面組成，它有____個(gè)頂點(diǎn)，經(jīng)過每個(gè)頂點(diǎn)有____條邊．

考點(diǎn)3：點(diǎn)、線、面、體的關(guān)系
典例：(2020·山東省初一期中)如圖1，把一張長10厘米、寬6厘米的長方形紙板分成兩個(gè)相同的直角三角形．
(1)甲三角形(如圖2)旋轉(zhuǎn)一周，可以形成一個(gè)怎樣的幾何體？它的體積是多少立方米？
(2)乙三角形(如圖3)旋轉(zhuǎn)一周，可以形成一個(gè)怎樣的幾何體？它的體積是多少立方米？

方法或規(guī)律點(diǎn)撥
本題主要考查圓柱和圓錐的體積公式的計(jì)算應(yīng)用，關(guān)鍵是明確旋轉(zhuǎn)后的圓柱和圓錐體的底面半徑和高．
鞏固練習(xí)
1．(2019·河北省初一期中)將下列如圖的平面圖形繞軸l旋轉(zhuǎn)一周，可以得到的立體圖形是(　　)

A． B． C． D．
2．(2020·河北省初一期末)如圖所給的平面圖形繞虛線旋轉(zhuǎn)一周，可以得到立體圖形的是( )

A． B． C． D．
3．(2020·內(nèi)蒙古自治區(qū)初三二模)如圖，是直角三角形的高，將直角三角形按以下方式旋轉(zhuǎn)一周可以得到右側(cè)幾何體的是( )．

A．繞著旋轉(zhuǎn) B．繞著旋轉(zhuǎn) C．繞著旋轉(zhuǎn) D．繞著旋轉(zhuǎn)
4．(2019·山東省初一期中)夜里將點(diǎn)燃的蚊香迅速繞一圈，可劃出一個(gè)曲線，這是因?yàn)? )
A．面對(duì)成體 B．線動(dòng)成面 C．點(diǎn)動(dòng)成線 D．面面相交成線
5．(2019·沈陽市第七中學(xué)初一期中)自行車的車輪輻條是一條線，當(dāng)車輪飛速旋轉(zhuǎn)時(shí)，輻條就飛速轉(zhuǎn)動(dòng)形成(　　)
A．點(diǎn) B．線 C．面 D．體
6．(2020·銀川市第三中學(xué)初一期中)六棱柱中，棱的條數(shù)有(　　)
A．6條 B．10條 C．12條 D．18條
7．(2019·江蘇省初一月考)觀察下圖，把左邊的圖形繞著給定的直線旋轉(zhuǎn)一周后，可能形成的立體圖形是(? ?)

A． B． C． D．
考點(diǎn)4：幾何體的有關(guān)計(jì)算
典例：(2020·石家莊外國語教育集團(tuán)初三一模)圖1是三個(gè)直立于水平面上的形狀完全相同的幾何體(下底面為圓面，單位：)．將它們拼成如圖2的新幾何體，則該新幾何體的體積為( )

A． B． C． D．
方法或規(guī)律點(diǎn)撥
本題的關(guān)鍵是理解兩個(gè)幾何體可以組成一個(gè)規(guī)則的圓柱體，然后利用圓柱體體積的計(jì)算公式計(jì)算即可．
鞏固練習(xí)
1．(2019·黑龍江省初三學(xué)業(yè)考試)一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面圓的半徑與高都分別相等，它們的體積差是24立方厘米，圓柱的體積是______立方厘米．
2．(2019·山東省初一期中)已知長方形的長為10cm，寬為4cm，將長方形繞邊所在直線旋轉(zhuǎn)后形成的立體圖形的體積為______．
3．(2019·西安市鐵一中學(xué)初一月考)已知長方形長為5，寬為2，將其繞它的一條邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)幾何體，該幾何體的體積為__________．(結(jié)果保留)
4．(2019·西安交大陽光中學(xué)初一月考)長為4，寬為2的矩形繞其一邊旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個(gè)圓柱的最大體積為___ (結(jié)果保留π).
5．(2020·青島市嶗山區(qū)育才學(xué)校初一期中)筆尖在紙上快速滑動(dòng)寫出英文字母C，這說明了_____．
6．(2020·遼寧省太和區(qū)第二初中初一月考)我們?cè)鴮W(xué)過圓柱的體積計(jì)算公式：(R是圓柱底面半徑，h為圓柱的高)，現(xiàn)有一個(gè)長方形，長為2cm，寬為1cm，以它的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到的幾何體的體積是多少？
7．(2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)課時(shí)練習(xí))一個(gè)正方體的棱長是12厘米，這個(gè)正方體的體積是多少？

2、展開與折疊
考點(diǎn)1：正方體與長方體的展開圖
典例：(2020·河南省初一期末)在圖1、圖2中的無陰影的方格中選出兩個(gè)畫出陰影，使它們與圖中4個(gè)有陰影的正方形一起可以構(gòu)成一個(gè)正方體的表面展開圖.
方法或規(guī)律點(diǎn)撥
熟悉正方體展開圖的11種基本型，可以幫助我們解答類似的問題.
鞏固練習(xí)
1．(2020·四川省中考真題)下列四個(gè)圖形中，不能作為正方體的展開圖的是(　　)
A． B．
C． D．
2．(2020·吉林省初一期末)下列各圖中,可以是一個(gè)正方體的平面展開圖的是( )
A． B． C． D．
3．(2020·吉林省初三二模)下列圖形中，是正方體表面展開圖的是( )
A． B． C． D．
4．(2020·河北省初三三模)如圖，將甲、乙、丙、丁四個(gè)小正方形中的一個(gè)剪掉，使余下的部分不能圍成一個(gè)正方體，剪掉的這個(gè)小正方形是

A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
5．(2020·江蘇省初三一模)圖1和圖2中所有的正方形都全等，將圖1的正方形放在圖2中的①②③④某一位置，所組成的圖形不能圍成正方體的位置是(　　)

A．① B．② C．③ D．④
6．(2020·廣東省初三其他)下列四個(gè)圖形中，不是正方體展開圖的(　　)
A． B． C． D．
7．(2020·四川省初一期中)下列圖形中，經(jīng)過折疊不能圍成正方體的是(　　)
A． B． C． D．
8．(2020·浙江省初三學(xué)業(yè)考試)將立方體紙盒沿某些棱剪開，且使六個(gè)面連在一起，然后鋪平，可以得到其表面展開圖的平面圖形．
(1)以下兩個(gè)方格圖中的陰影部分能表示立方體表面展開圖的是　 　(填A(yù)或B)．

(2)在以下方格圖中，畫一個(gè)與(1)中呈現(xiàn)的陰影部分不相似(包括不全等)的立方體表面展開圖．(用陰影表示)

(3)如圖中的實(shí)線是立方體紙盒的剪裁線，請(qǐng)將其表面展開圖畫在右圖的方格圖中．(用陰影表示)


9．(2020·吉林省初一期末)小名準(zhǔn)備制作一個(gè)封閉的正方體盒子，他先用5個(gè)大小一樣的正方形制成如圖所示的拼接圖形(實(shí)線部分)，經(jīng)折疊后發(fā)現(xiàn)還少一個(gè)面，你能在圖中的拼接圖形上再接一個(gè)正方形畫出陰影，使新拼接成的圖形經(jīng)過折疊后能成為一個(gè)封閉的正方體盒子嗎？請(qǐng)?jiān)谙旅娴膱D①和圖②中畫出兩種不同的補(bǔ)充方法．

考點(diǎn)2：側(cè)面有文字或數(shù)字的正方體展開圖
典例：(2019·江蘇省初一月考)如圖是一個(gè)正方體的平面展開圖，標(biāo)注了A字母的是正方體的正面，如果正方體的左面與右面標(biāo)注的式子相等．

(1)求x的值．
(2)求正方體的上面和底面的數(shù)字和．
方法或規(guī)律點(diǎn)撥
本題主要考查了正方體相對(duì)兩個(gè)面上的文字，注意正方體的空間圖形，從相對(duì)面入手，分析及解答問題．
鞏固練習(xí)
1．(2020·內(nèi)蒙古自治區(qū)初一期末)如圖，有一個(gè)正方體紙巾盒，它的平面展開圖是( )

A． B． C． D．
2．(2020·黑龍江省中考真題)將正方體的表面沿某些棱剪開，展成如圖所示的平面圖形，則原正方體中與數(shù)字5所在的面相對(duì)的面上標(biāo)的數(shù)字為( )

A．1 B．2 C．3 D．4
3．(2020·四川省初三其他)小明為今年將要參加中考的好友小李制作了一個(gè)(如圖)正方體禮品盒，六面上各有一字，連起來就是“預(yù)祝中考成功”，其中“預(yù)”的對(duì)面是“中”，“成”的對(duì)面是“功”，則它的平面展開圖可能是( )

A． B． C． D．
4．(2020·霍林郭勒市第五中學(xué)初三其他)由下面正方體的平面展開圖可知，原正方體“國”字所在面的對(duì)面的漢字是( )

A．祖 B．我 C．心 D．中
5．(2019·內(nèi)蒙古自治區(qū)初一期末)如圖所示是小聰制作的一個(gè)正方體模型的展開圖，把“讀書使人進(jìn)步”六個(gè)字分別粘貼在六個(gè)面上，那么在正方體模型中與“書”相對(duì)的面上的字( )．

A．讀 B．步 C．使 D．人
6．(2020·湖北省初三其他)由下面正方體的平面展開圖可知，原正方體“中”字所在面的對(duì)面的漢字是( )

A．國 B．的 C．中 D．夢(mèng)
7．(2020·河北省初一期末)如圖是一個(gè)正方體的平面展開圖，正方體中相對(duì)的面上的數(shù)字或代數(shù)式互為相反數(shù)，則2x+y的值為( )

A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．1
8．(2020·河南省初三二模)如圖是一個(gè)正方體的表面展開圖，則原正方體中與“河”字所在的面相對(duì)的面上標(biāo)的字是( )

A．建 B．設(shè) C．美 D．麗
9．(2020·甘肅省中考真題)某正方體的每個(gè)面上都有一個(gè)漢字，如圖是它的一種表面展開圖，那么在原正方體中，與“伏”字所在面相對(duì)面上的漢字是(　　　)

A．文 B．羲 C．弘 D．化
10．(2020·長春市新朝陽實(shí)驗(yàn)學(xué)校初三月考)某正方體的每個(gè)面上都有一個(gè)漢字，它的一個(gè)展開圖如圖說是，正原正方體中，與“考”字所在面相對(duì)的面上的漢字是( )

A．祝 B．你 C．成 D．功
11．(2020·四川省中考真題)下列正方體的展開圖上每個(gè)面上都有一個(gè)漢字．其中，手的對(duì)面是口的是( )
A． B．
C． D．
12．(2018·河南省初一期末)圖1是一個(gè)正方體的展開圖，該正方體從圖2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，此時(shí)這個(gè)正方體朝上一面的字是_____．

13．(2020·四川省初三其他)某正方體的每個(gè)面上都有一個(gè)漢字，如圖是它的一個(gè)展開圖，則在原正方體中，與“想”字所在面相對(duì)的面上的漢字是_____．

14．(2019·安徽省初一期末)如圖是一個(gè)正方體的展開圖，標(biāo)注了字母A的面是正方體的正面，如果正方體的左面與右面所標(biāo)注式子的值相等，求x的值．

15．(2020·江西省初一期末)如圖，小華用若干個(gè)正方形和長方形準(zhǔn)備拼成一個(gè)長方體的展開圖．拼完后，小華看來看去總覺得所拼圖形似乎存在問題．

(1)請(qǐng)你幫小華分析一下拼圖是否存在問題：若有多余塊，則把圖中多余部分涂黑；若還缺少，則直接在原圖中補(bǔ)全．
(2)若圖中的正方形邊長為2cm，長方形的長為3cm，寬為2cm，請(qǐng)直接寫出修正后所折疊而成的長方體的容積： _________ cm3．
考點(diǎn)3：側(cè)面有圖案的正方體側(cè)面展開圖
典例：(2020·江西省中考真題)如圖所示，正方體的展開圖為( )

A． B．
C． D．
方法或規(guī)律點(diǎn)撥
本題主要考查了正方體的展開圖考查，準(zhǔn)確判斷符號(hào)方向是解題的關(guān)鍵．
鞏固練習(xí)
1．(2020·河南省初三)某正方體的每個(gè)面上都有一個(gè)漢字.它的一種平面展開圖如圖所示，那么在原正方體中，與“筑”字所在面相對(duì)的面上的漢字是( )

A．抗 B．疫
C．長 D．城
2．(2020·江蘇省初三二模)如圖，有一個(gè)正方體紙盒，在它的三個(gè)側(cè)面分別畫有三角形、正方形和圓，現(xiàn)在用一把剪刀沿著它的 棱剪開成一個(gè)平面圖形，則展開圖可以是( )

A． B． C． D．
3．(2019·內(nèi)蒙古自治區(qū)初一期末)如圖所示的正方體的展開圖是(　　)

A． B． C． D．
4．(2020·河北省初一期末)如圖，該幾何體的展開圖是(　　)

A． B． C． D．
5．(2020·北京初三一模)如圖，點(diǎn)A，B是正方體上的兩個(gè)頂點(diǎn)，將正方體按圖中所示方式展開，則在展開圖中B 點(diǎn)的位置為( )

A． B． C． D．
6．(2019·吉林省第二實(shí)驗(yàn)學(xué)校初三二模)將如圖所示表面帶有圖案的正方體沿某些棱展開后，得到的展開圖是( )

A． B． C． D．
考點(diǎn)4：由展開圖計(jì)算幾何體相關(guān)數(shù)據(jù)
典例：(2020·青島超銀中學(xué)初一月考)如圖是某種產(chǎn)品展開圖，高為3cm.

(1)求這個(gè)產(chǎn)品的體積.
(2)請(qǐng)為廠家設(shè)計(jì)一種包裝紙箱，使每箱能裝5件這種產(chǎn)品，要求沒有空隙且要使該紙箱所用材料盡可能少(紙的厚度不計(jì)，紙箱的表面積盡可能小)，求此長方體的表面積.
方法或規(guī)律點(diǎn)撥
本題考查幾何體的展開圖、幾何體的表面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考常考題型．
鞏固練習(xí)
1．(2020·江蘇省初三其他)某長方體包裝盒的表面積為146cm2，其展開圖如圖所示．求這個(gè)包裝盒的體積．

2．(2020·四平市第三中學(xué)校初一月考)如圖所示的長方體的容器，AB=BC，BB’=3AB 且這個(gè)容器的容積為192立方分米．
(1)求這個(gè)長方體容器底面邊長AB的長為多少分米？
(2)若這個(gè)長方體的兩個(gè)底面和側(cè)面都是用鐵皮制作的，則制作這個(gè)長方體容器需要多少平方分米鐵皮？(不計(jì)損耗)

3．(2020·青島超銀中學(xué)初一月考)如圖是某種產(chǎn)品展開圖，高為3cm.

(1)求這個(gè)產(chǎn)品的體積.
(2)請(qǐng)為廠家設(shè)計(jì)一種包裝紙箱，使每箱能裝5件這種產(chǎn)品，要求沒有空隙且要使該紙箱所用材料盡可能少(紙的厚度不計(jì)，紙箱的表面積盡可能小)，求此長方體的表面積.
4．(2020·河北省初一期末)在我們的課本第142頁“4.4課題學(xué)習(xí)”中，有包裝紙盒的設(shè)計(jì)制作方法．這里的右圖，是設(shè)計(jì)師為“XX快遞”設(shè)計(jì)的長方體包裝盒的輪廓草圖，其中長30CM、寬20CM、高18CM，正面有“快遞”字樣，上面有“上”字樣，棱AB是上蓋的掀開處，棱CD是粘合處．請(qǐng)你想想，如何制作這個(gè)包裝盒，然后完善下面的制作步驟．
步驟1：在符合尺寸規(guī)格的硬紙板上，畫出這個(gè)長方體的展開圖(草圖)．注意，要預(yù)留出黏合處，并適當(dāng)剪去棱角．

步驟2：在你上面畫出的展開草圖上，標(biāo)出對(duì)應(yīng)的A、B、C、D的位置，標(biāo)出長30CM、寬20CM、高18CM所在線段，并把“上”和“快遞”標(biāo)注在所在面的位置上．
步驟3：裁下展開圖，折疊并粘好黏合處，得到長方體包裝盒．
5．(2019·山東省初一期中) 如圖是一個(gè)長方體的表面展開圖，每個(gè)面上都標(biāo)注了字母和數(shù)據(jù)，請(qǐng)根據(jù)要求回答
(1)如果A面在長方體的底部，那么　 　面會(huì)在上面；
(2)求這個(gè)長方體的表面積和體積．

6．(2020·河南省初一月考)小明用若干個(gè)正方形和長方形準(zhǔn)備拼成一個(gè)長方體的展開圖，拼完后，小明看來看去覺得所拼圖形似乎存在問題.
(1)請(qǐng)你幫小明分析一下拼圖是否存在問題，若有多余圖形，請(qǐng)將多余部分涂黑；若圖形不全，則直接在原圖中補(bǔ)全；
(2)若圖中的正方形邊長為，長方形的長為，請(qǐng)計(jì)算修正后所折疊而成的長方體的表面積和體積.

7．(2018·南通市啟秀中學(xué)初一期末)如圖，將一個(gè)飲料包裝盒剪開，鋪平，紙樣如圖所示，包裝盒的高為；設(shè)包裝盒底面的長為．

(1)用表示包裝盒底面的寬；
(2)用表示包裝盒的表面積，并化簡(jiǎn)；
(3)若包裝盒底面的長為，求包裝盒的表面積．
考點(diǎn)5：一般幾何體的側(cè)面展開圖
典例：(2020·湖南省中考真題)下列不是三棱柱展開圖的是(　　)
A． B．
C． D．
方法或規(guī)律點(diǎn)撥
本題考查了幾何體的展開圖，注意兩底面是對(duì)面，展開是兩個(gè)全等的三角形，側(cè)面展開是三個(gè)矩形．
鞏固練習(xí)
1．(2020·河北省初一期末)下列選項(xiàng)中，左邊的平面圖形能夠折成右邊封閉的立體圖形的是( ).
A．B．C．D．
2．(2020·泰興市馬甸初級(jí)中學(xué)初三二模)一個(gè)幾何體的展開圖如圖所示，這個(gè)幾何體是( )

A．圓柱 B．三棱錐 C．圓錐 D．四棱錐
3．(2020·重慶初三二模)一個(gè)幾何體的表面展開圖如圖所示，則該幾何體的形狀是( )

A．三棱錐 B．三棱柱 C．四棱錐 D．四棱柱
4．(2020·遼寧省初三二模)如圖所示為幾何體的平面展開圖，則從左到右，其對(duì)應(yīng)的幾何體名稱分別為

A．圓錐，正方體，三棱錐，圓柱 B．圓錐，正方體，四棱錐，圓柱
C．圓錐，正方體，四棱柱，圓柱 D．圓錐，正方體，三棱柱，圓柱
5．(2020·廣西壯族自治區(qū)南寧三中初三三模)如圖是某個(gè)幾何體的展開圖，該幾何體是( )

A．三棱柱 B．圓錐 C．四棱柱 D．圓柱
6．(2020·北京初三二模)如圖是某個(gè)幾何體的平面展開圖，該幾何體是( )

A． B． C． D．
7．(2020·四川省初三二模)某幾何體的展開圖如圖所示，該幾何體是( )

A．三棱柱 B．圓錐
C．四棱柱 D．圓柱
8．(2020·北京初三二模)下面的四個(gè)圖形中，是圓柱的側(cè)面展開圖的是( )
A． B． C． D．

3、截一個(gè)幾何體
考點(diǎn)1：截幾何體判斷截面
典例：(2019·全國初一課時(shí)練習(xí))用平面去截正方體.
(1)截面形狀能是三角形嗎？如果能，請(qǐng)畫出一種截法.
(2)截面形狀能是長方形嗎？如果能，請(qǐng)畫出一種截法.
(3)截面形狀能是梯形嗎？如果能，請(qǐng)畫出一種截法.
(4)截面形狀能是五邊形嗎？如果能，請(qǐng)畫出一種截法.
(5)截面形狀能是六邊形嗎？如果能，請(qǐng)畫出一種截法.
(6)截面形狀能是圓嗎？為什么？
方法或規(guī)律點(diǎn)撥
此題考查截一個(gè)幾何體，解題關(guān)鍵在于掌握截面的形狀既與被截的幾何體有關(guān).
鞏固練習(xí)
1．(2020·重慶八中初三期末)用一個(gè)平面去截一個(gè)圓錐，截面的形狀不可能是( )
A．圓 B．矩形 C．橢圓 D．三角形
2．(2019·山東省初一期中)用一個(gè)平面去截一個(gè)正方體，截面可能是( )
A．七邊形 B．圓 C．長方形 D．圓錐
3．(2019·山西省初一期中)用一個(gè)平面去截一個(gè)立體圖形，當(dāng)截取的角度和方向不同時(shí)，截面的形狀隨截法的不同而改變，下列截面中屬于三角形的是( )
A． B． C． D．
4．(2020·湖北省黃石八中初三一模)圓錐的軸截面是( )
A．梯形 B．等腰三角形 C．矩形 D．圓
5．(2019·臨澤縣教育體育和科學(xué)技術(shù)局初一月考)一個(gè)幾何體的一個(gè)截面是三角形，則原幾何體一定不是下列圖形中的( )

A．圓柱和圓錐 B．球體和圓錐 C．球體和圓柱 D．正方體和圓錐
6．(2019·沈陽市第一二六中學(xué)初一月考)用一個(gè)平面按照如圖所示的位置與正方體相截，則截面圖形是( )

A． B． C． D．
7．(2019·菏澤市牡丹區(qū)第二十一初級(jí)中學(xué)初一月考)用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體，如果截面的形狀是長方形，那么這個(gè)幾何體不可能是( )．
A．圓柱 B．圓錐 C．五棱柱 D．正方體
8．(2019·重慶一中初一月考)用一個(gè)平面去截一個(gè)正方體，截面不可能是( )
A．梯形 B．五邊形 C．六邊形 D．七邊形
9．(2019·青島大學(xué)附屬中學(xué)初一月考)用一個(gè)平面去截①圓錐、②圓柱、③球、④五棱柱，能得到的截面是圓的圖形是( )
A．②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
10．(2019·全國初一課時(shí)練習(xí))一個(gè)圓柱的底面半徑是10 cm，高是18 cm，把這個(gè)圓柱放在水平桌面上，如圖所示．
(1)如果用一個(gè)平面沿水平方向去截這個(gè)圓柱，所得的截面是什么形狀？
(2)如果用一個(gè)平面沿豎直方向去截這個(gè)圓柱，所得的截面是什么形狀？
(3)怎樣截時(shí)所得的截面是長方形且長方形的面積最大，請(qǐng)你畫出這個(gè)截面并求其面積．

考點(diǎn)2：由截面判斷幾何體
典例：(2018·全國初一單元測(cè)試)用平面截幾何體可得到平面圖形，在表示幾何體的字母后填上它可截出的平面圖形的號(hào)碼．

如：A(1，5，6)，則B(________)；C(________)；D(________)．
方法或規(guī)律點(diǎn)撥
熟悉“常見幾何體的常見截面圖形”是解答本題的關(guān)鍵.
鞏固練習(xí)
1．(2018·四川省雙流縣棠湖中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校初一月考)下面幾何體的截面圖可能是圓的是(　　)
A．圓錐 B．正方體 C．長方體 D．棱柱
2．(2019·閩清縣教育局初一期末)用一個(gè)平面去截下列3個(gè)幾何體，能得到截面是長方形的幾何體有(　　)

A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)
3．(2019·西安交大陽光中學(xué)初一月考)用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體，截面形狀為三角形，則這個(gè)幾何體可能為：
①正方體；②圓柱；③圓錐；④正三棱柱. ( )
A．①②③④ B．①③④ C．①④ D．①②
4．(2020·山東省初一期中)用一個(gè)平面取截一個(gè)幾何體，得到的截面是四邊形，這個(gè)幾何體可能是( )
A．圓柱 B．球體 C．圓錐 D．以上都有可能
5．(2020·寧夏回族自治區(qū)景博中學(xué)初一期末)如圖，用一個(gè)平面去截下列立體圖形，截面可以得到三角形的立體圖形有( )

A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)
6．(2020·甘肅省初一期末)用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體，如果截面的形狀是圓，則這個(gè)幾何體不可能是(　　)
A．圓柱; B．圓錐; C．正方體; D．球
7．(2019·四川省成都市七中育才學(xué)校初一月考)(1)用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體，可以得到圓形的截面的幾何體有？
(2)用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體，可以得到三角形的截面的幾何體有？
8．(2019·全國初一課時(shí)練習(xí))一物體的外形為正方體，為探明其內(nèi)部結(jié)構(gòu)，用一組沿豎直方向(自左向右)的平面截這個(gè)物體，得到如圖所示的一組截面，請(qǐng)你猜猜這個(gè)正方體的內(nèi)部構(gòu)造.

考點(diǎn)3：被截后的幾何體
典例：(2019·山東省初一期中)一個(gè)正方體鋸掉一個(gè)角后，頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)是( )
A．7個(gè) B．8個(gè) C．9個(gè) D．7個(gè)或8個(gè)或9個(gè)或10個(gè)
方法或規(guī)律點(diǎn)撥
本題結(jié)合截面考查正方體的相關(guān)知識(shí)，對(duì)于一個(gè)正方體：截去一個(gè)角，則其頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)有三種情況：減少1；不變；增加1或2．
鞏固練習(xí)
1．(2019·廣東省初一月考)用一個(gè)平面去截一個(gè)正方體,下列選項(xiàng)中畫有陰影的部分是截面,哪個(gè)畫法是錯(cuò)誤的(　　)
A． B． C． D．
2．(2019·山東省初一期中)如圖，一正方體截去一角后，剩下的幾何體的面數(shù)和棱數(shù)分別為( )

A．6，14 B．7，15 C．7，14 D．6，15
3．(2018·河南省初一期末)將一個(gè)長方體截去一個(gè)角得到一個(gè)如圖所示的新幾何體，這個(gè)新幾何體有_____個(gè)面．

4．(2019·浙江省初三二模)把一個(gè)長方體切去一個(gè)角后，剩下的幾何體的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)為__．
5．(2019·山西省初一期末)鉆石原石看起來并不起眼，但經(jīng)過精心設(shè)計(jì)、切割、打磨，就會(huì)成為璀璨奪目的鉆石．鉆石切割是多面體截面在實(shí)際生活中的一個(gè)應(yīng)用．將已經(jīng)加工成三棱柱形狀的鉆石原石進(jìn)行切割，只切一刀，切截面的形狀可能是___________．(填一種情況即可)
6．(2019·山東省初一期中)如果用平面截掉一個(gè)長方體的一個(gè)角(即切去一個(gè)三棱錐)，則剩下的幾何體最多有_____頂點(diǎn)，最少有_____條棱．
7．(2018·江蘇省初一月考)如圖①是圓柱被一個(gè)平面斜切后得到的幾何體，類比梯形面積公式的推導(dǎo)方法(如圖②) ，推導(dǎo)圖①中的幾何體的體積為_________.

8．(2019·全國初一專題練習(xí))如圖，圖(1)是正方體木塊，把它切去一塊，可能得到(2)、(3)、(4)、(5)所示的圖形，問(2)、(3)、(4)、(5)圖中切掉的部分可能是其他幾塊中的哪一塊?

9．(2020·貴州省初一期末)如圖，將正方體沿面AB′C剪下，則截下的幾何體為(?? )

A．三棱錐
B．三棱柱
C．四棱錐
D．四棱柱
考點(diǎn)4：與幾何體切割相關(guān)的問題
典例：(2019·河南省初一期中)一塊長方體豆腐切三刀，最多能切成的塊數(shù)(形狀，大小不限)是(　　)
A．10 B．8 C．7 D．6
方法或規(guī)律點(diǎn)撥
本題考查了切長方體的問題，掌握切長方體的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
鞏固練習(xí)
1．(2020·河南省初一期末)如圖，一個(gè)有蓋的圓柱形玻璃杯中裝有半杯水，若任意放置這個(gè)水杯，則水面的形狀不可能是

A． B． C． D．
2．(2020·銀川外國語實(shí)驗(yàn)學(xué)校初一期末)如圖，在一密閉的圓柱形玻璃杯中裝一半的水，水平放置時(shí)，水面的形狀是(　　)

A．圓 B．長方形 C．橢圓 D．平行四邊形
3．(2018·全國初一單元測(cè)試)爸爸給兒子陽陽買了一個(gè)生日蛋糕(圓柱形)，陽陽想把蛋糕切成至少七塊分給七位小朋友，若沿豎直方向切分，則至少需切________刀．
4．(2018·修水縣大椿鄉(xiāng)中學(xué)初一期中)小明的媽媽烙了一張大餅，需要切開吃，小方?jīng)]有碰觸大餅，而是直接用刀切了三次，她最多能把這張餅切成___________塊.
5．(2018·全國初一課時(shí)練習(xí))一塊方形蛋糕，一刀切成相等的兩塊，兩刀最多切成4塊，試問：五刀最多可切成__ 塊相等體積的蛋糕，十刀最多可切成____塊(要求：豎切，不移動(dòng)蛋糕)．
6．(2019·河南省初一期中)如圖所示是一個(gè)圓柱體，它的底面半徑為3cm，高為6cm．

(1)請(qǐng)求出該圓柱體的表面積；
(2)用一個(gè)平面去截該圓柱體，你能截出截面最大的長方形嗎？截得的長方形面積的最大值為多少？
7．(2019·四川省西航港一中初一月考)如圖所示，長方形ABCD的長AB為10 cm，寬AD為6 cm，把長方形ABCD繞AB邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，然后用平面沿AB方向去截所得的幾何體，求截面的最大面積．

8．(2019·全國初一課時(shí)練習(xí))如圖①是一個(gè)正方體，不考慮邊長的大小，它的平面展開圖為圖②，四邊形APQC是截正方體的一個(gè)截面．問截面的四條線段AC，CQ，QP，PA分別在展開圖的什么位置上？


4、從三個(gè)方向看幾何體
考點(diǎn)1：已知幾何體判定三視圖
典例：(2019·吉林省初一期末)如圖是由個(gè)同樣大小的小正方體搭成的物體.
(1)請(qǐng)畫陰影分別表示從正面、上面觀察得到的平面圖形的示意圖；
(2)分別從正面、上面觀察這個(gè)圖形，得到的平面圖形不變的情況下，你認(rèn)為最多還可以添加 個(gè)小正方體.

從正面看 從上面看
方法或規(guī)律點(diǎn)撥
本題考查實(shí)物體的三視圖．在畫圖時(shí)一定要將物體的邊緣、棱、頂點(diǎn)都體現(xiàn)出來，看得見的輪廓線都畫成實(shí)線，看不見的畫成虛線，不能漏掉．本題畫幾何體的三視圖時(shí)應(yīng)注意小正方形的數(shù)目及位置．
鞏固練習(xí)
1．(2020·甘肅省中考真題)下列幾何體中，其俯視圖與主視圖完全相同的是( )
A． B． C． D．
2．(2019·黑龍江省初二期末)如圖所示，該幾何體的俯視圖是(　　)

A． B． C． D．
3．(2020·海南省初三其他)如圖所示的幾何體，從上面看到的形狀圖是( )

A． B． C． D．
4．(2020·福建省南安市僑光中學(xué)初三)下面的幾何圖形是由四個(gè)相同的小正方體搭成的，其中主視圖和左視圖相同的是(　　)
A． B． C． D．
5．(2018·內(nèi)蒙古自治區(qū)初一期末)如圖,由8個(gè)小正方體堆積而成的幾何體，其從左面看得到的圖形是( )

A． B． C． D．
6．(2020·河北省初一期末)在下面四個(gè)幾何體中，從左面看、從上面看分別得到的平面圖形是長方形、圓，這個(gè)幾何體是( )
A． B． C． D．
7．(2020·廣西壯族自治區(qū)中考真題)如圖是由4個(gè)完全相同的正方形搭成的幾何體，則( )

A．三視圖都相同 B．俯視圖與左視圖都相同
C．主視圖與俯視圖都相同 D．主視圖與左視圖相同
8．(2020·廣西壯族自治區(qū)初三其他)如圖，用大小一樣的正方體搭建一個(gè)幾何體，該幾何體的主視圖是(　　)

A． B． C． D．
9．(2020·河南省初一期末)從正面、左面、上面觀察如圖所示的幾何體，分別畫出你所看到的平面圖形．

10．(2019·山東省初一期中)如圖是由若干個(gè)完全相同的小正方體組成的幾何體．

(1)請(qǐng)畫出這個(gè)幾何體從不同方向看到的圖形
(2)如果在這個(gè)幾何體上再添加一些相同的小正方體，并保持這個(gè)幾何體從正面看和從上面看形狀不變，那么最多可以再添加多少個(gè)小正方體．
考點(diǎn)2：已知俯視圖判斷其它視圖
典例：(2019·陜西省初一期中)一個(gè)幾何體是由幾個(gè)大小相同的小正方體搭成，從上面觀察這個(gè)幾何體，看到的形狀如圖所示，其中小正方形中的數(shù)字表示該位置正方體的個(gè)數(shù).

(1)請(qǐng)畫出從正面和從左面看到的這個(gè)幾何體的形狀；
(2)若搭成該幾何體的小正方體的棱長為1，現(xiàn)在需要給這個(gè)幾何體外表面涂上顏色(不含底部)，請(qǐng)求出需要涂色的面積.
方法或規(guī)律點(diǎn)撥
此題主要考查了作三視圖，以及求幾何體的表面積，關(guān)鍵是在畫圖時(shí)一定要將物體的邊緣、棱、頂點(diǎn)都體現(xiàn)出來，看得見的輪廓線都畫成實(shí)線，看不見的畫成虛線，不能漏掉．
鞏固練習(xí)
1．(2020·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)初三三模)如圖是由幾個(gè)小立方體所搭幾何體的俯視圖，小正方形中的數(shù)字表示在該位置的小立方體的個(gè)數(shù)，則這個(gè)幾何體的左視圖是( )

A． B．C． D．
2．(2019·黑龍江省初三學(xué)業(yè)考試)如圖是一個(gè)由多個(gè)相同小正方體堆積而成的幾何體的俯視圖，圖中的數(shù)字為該位置小正方體的個(gè)數(shù)，則這個(gè)幾何體的左視圖是( )

A．B．C．D．
3．(2018·河南省初一期末)由若干個(gè)相同的小正方體搭成一個(gè)幾何體，從上面看，它的形狀圖如下圖所示，小正方形中的數(shù)字表示該位置上的小正方體的個(gè)數(shù)，則從左面看這個(gè)幾何體的形狀是( )

A． B． C． D．
4．(2020·山東省初三期末)一個(gè)幾何體由大小相同的小方塊搭成，從上面看到的幾何體的形狀圖如圖所示，其中小正方形中的數(shù)字表示在該位置的小立方塊的個(gè)數(shù)，則從正面看到幾何體的形狀圖是( )

A． B． C． D．
5．(2019·廣東省初一期中)如圖，這是一個(gè)由小立方塊所搭成的幾何體從上面看到的形狀圖，正方形中的數(shù)字表示在該位置小立方塊的個(gè)數(shù)，請(qǐng)你畫出它從正面和左面看到的幾何體形狀圖．

6．(2020·寧夏回族自治區(qū)初一期末)一個(gè)幾何體由大小相同的小立方塊搭成,從上面看到的幾何體的形狀圖如圖所示，其中小正方形中的數(shù)字表示在該位置的小立方塊的個(gè)數(shù)，請(qǐng)畫出從正面和從左邊看到的這個(gè)幾何體的形狀圖．

考點(diǎn)3：已知視圖判斷正方體個(gè)數(shù)
典例：(2020·沭陽縣懷文中學(xué)初一期末)用相同的小立方體搭一個(gè)幾何體，從正面、上面看到的形狀圖如圖所示，從上面看到的形狀圖中小正方形的字母表示在該位置上小立方體的個(gè)數(shù)，請(qǐng)回答下列問題：

(1)a，b，c各表示的數(shù)字是幾？
(2)這個(gè)幾何體最多由幾個(gè)小立方體搭成？最少呢？
(3)當(dāng)，時(shí)，畫出這個(gè)幾何體從左面看得到的形狀圖.
方法或規(guī)律點(diǎn)撥
本題考查由三視圖判斷幾何體及作三視圖，解題關(guān)鍵在于熟練掌握幾何體的三視圖的相關(guān)知識(shí).
鞏固練習(xí)
1．(2020·河南省初三一模)如圖，是由若干個(gè)完全相同的小正方體組成的一個(gè)幾何體的主視圖和左視圖，則組成這個(gè)幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)是( )

A．3個(gè)或 4個(gè)或 5個(gè) B．4個(gè)或 5個(gè)
C．5個(gè)或 6個(gè) D．6個(gè)或 7個(gè)
2．(2019·山東省初三二模)一個(gè)幾何體由幾個(gè)大小相同的小正方體搭成，其左視圖和俯視圖如圖所示，則搭成這個(gè)幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)是(　　)

A．3 B．4 C．5 D．6
3．(2019·深圳市龍崗區(qū)龍崗街道新梓學(xué)校初一月考)如下圖是由一些相同的小正方體構(gòu)成幾何體的左視圖和俯視圖，那么構(gòu)成這幾何體的小正方體最多有( )

A．4個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè)
4．(2019·四川省初一期末)下列圖是由一些相同的小正方體搭成的幾何體的三視圖，則組成該幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)為( )

A．7 B．8 C．9 D．10
5．(2019·江西省初三)如圖，是由相同的小正方體構(gòu)成的立體圖形的三視圖，小正方體的個(gè)數(shù)是( )

A．4 B．5 C．6 D．7
6．(2018·山東省招遠(yuǎn)市金嶺鎮(zhèn)邵家初級(jí)中學(xué)初一期末)如圖是由六個(gè)同樣大小的正方體擺成的幾何體，將正方體①移走后，所得幾何體( )

A．從正面看改變，從左面看改變
B．從上面看不變，從左面看不變
C．從上面看改變，從左面看改變
D．從正面看改變，從左面看不變
7．(2020·四川省初一期末)如圖是由一些大小相同的小正方體組成的簡(jiǎn)單幾何體的從正面看，從上邊看到的圖形，若組成的這個(gè)幾何體的小正方體的塊數(shù)為，則的所有可能的值之和為____________．

8．(2019·天津益中學(xué)校初一月考)用小立方塊搭一個(gè)幾何體，如圖所示，這樣的幾何體最少需要____個(gè)小立方塊，最多需要__個(gè)小立方塊．

考點(diǎn)4：已知視圖計(jì)算幾何體相關(guān)數(shù)據(jù)
典例：(2020·江西省初一期末)把棱長為1cm的若干個(gè)小正方體擺放成如圖所示的幾何體，然后在露出的表面上涂上顏色(不含底面)
(1)該幾何體中有 小正方體？
(2)其中兩面被涂到的有 個(gè)小正方體；沒被涂到的有 個(gè)小正方體；
(3)求出涂上顏色部分的總面積．

方法或規(guī)律點(diǎn)撥
考查幾何體三視圖的畫法及有關(guān)計(jì)算；有規(guī)律的找到正方體的個(gè)數(shù)和計(jì)算露出部分的總面積是解決本題的關(guān)鍵．
鞏固練習(xí)
1．(2019·濟(jì)寧市第十五中學(xué)初三一模)如圖是由若干個(gè)大小相同的小正方體堆砌而成的幾何體，那么其三種視圖中面積最小的是(　　)

A．主視圖 B．俯視圖 C．左視圖 D．一樣大
2．(2019·湖北省初三零模)分別從正面和上面觀察長方體的形狀，如圖所示(單位：m)，則從左面觀察此長方體，看到的圖形的面積是( )

A．4m2 B．12m2 C．1m2 D．3m2
3．(2020·寧夏回族自治區(qū)初三期末)如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，若這個(gè)幾何體的體積是36，則它的表面積是_______.

4．(2020·湖南省中考真題)如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中所示數(shù)據(jù)求得這個(gè)幾何體的側(cè)面積是________(結(jié)果保留)．

5．(2019·山東省初三期中)一位畫家把7個(gè)邊長為1m的相同正方體擺成如圖的形狀，然后把露出的表面(不包括底面)涂上顏色，則涂色面積為_________m2.

6．(2019·河北省初一期中)如圖是一個(gè)幾何體的三視圖．
(1)寫出這個(gè)幾何體的名稱；
(2)求此幾何體表面展開圖的面積．

7．(2019·陜西省初一期末)如圖是一些由棱長均為的小立方塊所搭的幾何體的俯視圖，小正方形中的數(shù)字表示該位置的小立方塊的個(gè)數(shù)．
(1)請(qǐng)分別畫出這個(gè)幾何體的主視圖和左視圖；
(2)求這個(gè)幾何體的體積．



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版本： 人教版

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