一．選擇題（共10小題）


1．一個(gè)六棱柱的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)、棱的條數(shù)、面的個(gè)數(shù)分別是（ ）


A．6、12、6B．12、18、8C．18、12、6D．18、18、24


2．一個(gè)棱柱有18條棱，那么它的底面一定是（ ）


A．十八邊形B．八邊形C．六邊形D．四邊形


3．已知∠AOB，求作射線OC，使OC平分∠AOB作法的合理順序是（ ）


①作射線OC；②在OA和OB上分別截取OD，OE，使OD＝OE；


③分別以D，E為圓心，大于DE的長為半徑作弧，在∠AOB內(nèi)，兩弧交于C．


A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①


4．如圖，點(diǎn)C在∠AOB的邊OB上，用尺規(guī)作出了∠BCN＝∠AOC，作圖痕跡中，弧FG是（ ）





A．以點(diǎn)C為圓心，OD為半徑的弧


B．以點(diǎn)C為圓心，DM為半徑的弧


C．以點(diǎn)E為圓心，OD為半徑的弧


D．以點(diǎn)E為圓心，DM為半徑的弧


5．如圖，左面的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周，可以得到的立體圖形是（ ）





A．B．C．D．


6．如圖，三個(gè)大小相同的長方形拼在一起組成一個(gè)大長方形，把第二個(gè)長方形平均分成2份；再把第3個(gè)長方形平均分成3份，那么圖中陰影部分是大長方形面積的（ ）





A．B．C．D．


7．如圖，過△ABC的頂點(diǎn)A，作BC邊上的高，以下作法正確的是（ ）





A．B．


C．D．


8．10個(gè)棱長為1的正方體木塊堆成如圖所示的形狀，則它的表面積是（ ）





A．30B．34C．36D．48


9．如圖，依據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，計(jì)算∠α＝（ ）





A．56°B．68°C．28°D．34°


10．如圖，已知∠AOB．按照以下步驟作圖：


①以點(diǎn)O為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L為半徑作弧，分別交∠AOB的兩邊于C，D兩點(diǎn)，連接CD．


②分別以點(diǎn)C，D為圓心，以大于線段OC的長為半徑作弧，兩弧在∠AOB內(nèi)交于點(diǎn)E，連接CE，DE．


③連接OE交CD于點(diǎn)M．


下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）





A．∠CEO＝∠DEOB．CM＝MD


C．∠OCD＝∠ECDD．S四邊形OCED＝CD?OE


二．填空題（共8小題）


11．如圖，三棱錐有 個(gè)面，它們相交形成了 條棱，這些棱相交形成了 個(gè)點(diǎn)．





12．由5個(gè)棱長為1的小正方形組成的幾何體如圖放置，一面著地，兩面靠墻，如果要將露出來的部分涂色，則涂色部分的面積為 ．





13．如圖，在△ABC，∠C＝90°，∠ABC＝40°，按以下步驟作圖：


①以點(diǎn)A為圓心，小于AC的長為半徑．畫弧，分別交AB、AC于點(diǎn)E、F；


②分別以點(diǎn)E、F為圓心，大于EF的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)G；


③作射線AG，交BC邊于點(diǎn)D，則∠ADC的度數(shù)為 ．





14．下面是“經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線”的尺規(guī)作圖過程：


已知：直線l和l外一點(diǎn)P．（如圖1）


求作：直線l的垂線，使它經(jīng)過點(diǎn)P．


作法：如圖2


（1）在直線l上任取兩點(diǎn)A，B；


（2）分別以點(diǎn)A，B為圓心，AP，BP長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)Q；


（3）作直線PQ．


所以直線PQ就是所求的垂線．


請(qǐng)回答：該作圖的依據(jù)是 ．





15．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝20°，以A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交AB、AC于點(diǎn)M和N，再分別以M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于P，連接AP并延長交BC于點(diǎn)D，則∠ADB＝ ．





16．若一個(gè)棱柱有十個(gè)頂點(diǎn)，且所有側(cè)棱長的和為30cm，則每條側(cè)棱長為 cm．


17．流星劃過天空時(shí)留下一道明亮的光線，用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋為 ．


18．如圖，依據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，計(jì)算∠α＝ °．





三．解答題（共7小題）


19．如圖，在平整的地面上，有若干個(gè)完全相同的棱長為10cm的小正方體堆成一個(gè)幾何體．


（1）這個(gè)幾何體由 個(gè)小正方體組成．


（2）如果在這個(gè)幾何體的表面噴上黃色的漆，則在所有的小正方體中，有 個(gè)正方體只有一個(gè)面是黃色，有 個(gè)正方體只有兩個(gè)面是黃色，有 個(gè)正方體只有三個(gè)面是黃色．


（3）這個(gè)幾何體噴漆的面積為 cm2．





20．如圖，已知在△ABC中，AB＝AC．


（1）試用直尺和圓規(guī)在AC上找一點(diǎn)D，使AD＝BD（不寫作法，但需保留作圖痕跡）．


（2）在（1）中，連接BD，若BD＝BC，求∠A的度數(shù)．





21．已知∠α、∠β，求作：∠AOB，使∠AOB＝∠α+∠β（保留作圖痕跡）．





22．如圖，直線CD與直線AB相交于C，根據(jù)下列語句畫圖


（1）過點(diǎn)P作PQ∥CD，交AB于點(diǎn)Q；


（2）過點(diǎn)P作PR⊥CD，垂足為R；


（3）若∠DCB＝120°，猜想∠PQC是多少度？并說明理由．





23．已知長方形的長為4cm．寬為3cm，將其繞它的一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)幾何體，


（1）求此幾何體的體積；


（2）求此幾何體的表面積．（結(jié)果保留π）


24．十八世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉證明了簡單多面體中頂點(diǎn)數(shù)（V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）之間存在的一個(gè)有趣的關(guān)系式，被稱為歐拉公式．


請(qǐng)你觀察下列幾種簡單多面體模型，解答下列問題：





（1）根據(jù)上面多面體模型，完成表格中的空格：


你發(fā)現(xiàn)頂點(diǎn)數(shù)（V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）之間存在的關(guān)系式是 ．


（2）一個(gè)多面體的面數(shù)比頂點(diǎn)數(shù)大8，且有30條棱，則這個(gè)多面體的面數(shù)是 ．


（3）某個(gè)玻璃鉓品的外形是簡單多面體，它的外表面是由三角形和八邊形兩種多邊形拼接而成，且有24個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)處都有3條棱，設(shè)該多面體外表三角形的個(gè)數(shù)為x個(gè)，八邊形的個(gè)數(shù)為y個(gè)，求x+y的值．


25．將一個(gè)正方體的表面涂上顏色．如圖把正方體的棱2等分，然后沿等分線把正方體切開，能夠得到8個(gè)小正方體，通過觀察我們可以發(fā)現(xiàn)8個(gè)小正方體全是3個(gè)面涂有顏色的．


如果把正方體的棱三等分，然后沿等分線把正方體切開，能夠得到27個(gè)小正方體，通過觀察我們可以發(fā)現(xiàn)這些小正方體中有8個(gè)是3個(gè)面涂有顏色的，有12個(gè)是2個(gè)面涂有顏色的，有6個(gè)是1個(gè)面涂有顏色的，還有1個(gè)各個(gè)面都沒有涂色．





（1）如果把正方體的棱4等分，所得小正方體表面涂色情況如何呢？把正方體的棱n等分呢？（請(qǐng)?zhí)顚懴卤恚?br/>

（2）請(qǐng)直接寫出將棱7等分時(shí)只有一個(gè)面涂色的小正方體的個(gè)數(shù)．





參考答案與試題解析


一．選擇題（共10小題）


1．解：一個(gè)六棱柱的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)是12，棱的條數(shù)是18，面的個(gè)數(shù)是8．


故選：B．


2．解：根據(jù)歐拉公式有：V+F﹣E＝2，


∵E＝18，


∴V+F＝2+18＝20，


①當(dāng)棱柱是四棱柱時(shí)，V＝8，F(xiàn)＝6，V+F＝14，


②當(dāng)棱柱是五棱柱時(shí)，V＝10，F(xiàn)＝7，V+F＝17，


③當(dāng)棱柱是六棱柱時(shí)，V＝12，F(xiàn)＝8，V+F＝20，


∴有18條棱的棱柱是六棱柱，它的底面是六邊形．


故選：C．


3．解：角平分線的作法是：在OA和OB上分別截取OD，OE，使OD＝OE；


分別以D，E為圓心，大于DE的長為半徑作弧，在∠AOB內(nèi)，兩弧交于C；


作射線OC．


故其順序?yàn)棰冖邰伲?br/>

故選：C．


4．解：根據(jù)作一個(gè)角等于已知角可得弧FG是以點(diǎn)E為圓心，DM為半徑的弧．


故選：D．


5．解：梯形繞下底邊旋轉(zhuǎn)是圓錐加圓柱，故C正確；


故選：C．


6．解：陰影部分的面積是大長方形面積的：


（+）×，


＝×，


＝，


答：圖中陰影部分的面積是大長方形面積的．


故選：D．


7．解：∵四個(gè)選項(xiàng)中只有AD⊥BC，


∴C正確．


故選：C．


8．解：根據(jù)以上分析露出的面積＝5+4×2+2+4×2+3+2×1+2+6＝36．


故選：C．


9．解：∵四邊形ABCD是矩形，


∴AD∥BC，


∴∠DAC＝∠ACB＝68°．


∵由作法可知，AF是∠DAC的平分線，


∴∠EAF＝∠DAC＝34°．


∵由作法可知，EF是線段AC的垂直平分線，


∴∠AEF＝90°，


∴∠AFE＝90°﹣34°＝56°，


∴∠α＝56°．


故選：A．





10．解：由作圖步驟可得：OE是∠AOB的角平分線，


∴∠CEO＝∠DEO，CM＝MD，S四邊形OCED＝CD?OE，


但不能得出∠OCD＝∠ECD，


故選：C．


二．填空題（共8小題）


11．解：三棱錐有4個(gè)面，它們相交形成了6條棱，這些棱相交形成了4個(gè)點(diǎn)．故答案為4、6、4．


12．解：由圖可知涂色部分是從上、前、右三個(gè)方向所涂面積相加，即涂色部分面積為4+4+3＝11，


故答案是：11．


13．解：解法一：連接EF．


∵點(diǎn)E、F是以點(diǎn)A為圓心，小于AC的長為半徑畫弧，分別與AB、AC的交點(diǎn)，


∴AF＝AE；


∴△AEF是等腰三角形；


又∵分別以點(diǎn)E、F為圓心，大于EF的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)G；


∴AG是線段EF的垂直平分線，


∴AG平分∠CAB，


∵∠ABC＝40°


∴∠CAB＝50°，


∴∠CAD＝25°；


在△ADC中，∠C＝90°，∠CAD＝25°，


∴∠ADC＝65°（直角三角形中的兩個(gè)銳角互余）；





解法二：根據(jù)已知條件中的作圖步驟知，AG是∠CAB的平分線，


∵∠CAB＝50°，


∴∠CAD＝25°；


在△ADC中，∠C＝90°，∠CAD＝25°，


∴∠ADC＝65°（直角三角形中的兩個(gè)銳角互余）；


故答案是：65°．





14．解：到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上（A、B都在線段PQ的垂直平分線上），


理由：如圖，∵PA＝AQ，PB＝QB，


∴點(diǎn)A、點(diǎn)B在線段PQ的垂直平分線上，


∴直線AB垂直平分線段PQ，


∴PQ⊥AB．





15．解：由題意可得：AD平分∠CAB，


∵∠C＝90°，∠B＝20°，


∴∠CAB＝70°，


∴∠CAD＝∠BAD＝35°，


∴∠ADB＝180°﹣20°﹣35°＝125°．


故答案為：125°．


16．解：∵棱柱共有10個(gè)頂點(diǎn)，


∴該棱柱是五棱柱，


∵所有的側(cè)棱長的和是30cm，


∴每條側(cè)棱長為30÷5＝6cm．


故答案為：6．


17．解：流星劃過天空時(shí)留下一道明亮的光線，用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋為點(diǎn)動(dòng)成線．


故答案為：點(diǎn)動(dòng)成線．


18．解：∵四邊形ABCD是矩形，


∴AD∥BC，


∴∠DAC＝∠ACB＝68°．


∵由作法可知，AF是∠DAC的平分線，


∴∠EAF＝∠DAC＝34°．


∵由作法可知，EF是線段AC的垂直平分線，


∴∠AEF＝90°，


∴∠AFE＝90°﹣34°＝56°，


∴∠α＝56°．


故答案為：56．





三．解答題（共7小題）


19．解：（1）這個(gè)幾何體由 10個(gè)小正方體組成．


（2）如果在這個(gè)幾何體的表面噴上黃色的漆，則在所有的小正方體中，有 1個(gè)正方體只有一個(gè)面是黃色，有 2個(gè)正方體只有兩個(gè)面是黃色，有 3個(gè)正方體只有三個(gè)面是黃色．


（3）露出表面的面一共有32個(gè)，則這個(gè)幾何體噴漆的面積為3200cm2，


故答案為：10；1，2，3；3200．


20．解：（1）如圖所示：





（2）設(shè)∠A＝x，


∵AD＝BD，


∴∠DBA＝∠A＝x，


在△ABD中


∠BDC＝∠A+∠DBA＝2x，


又∵BD＝BC，


∴∠C＝∠BDC＝2x，


又∵AB＝AC，


∴∠ABC＝∠C＝2x，


在△ABC中


∠A+∠ABC+∠C＝180°，


∴x+2x+2x＝180°，


∴x＝36°．





21．解：





22．解：（1）如圖所示：PQ即為所求；





（2）如圖所示：PR即為所求；





（3）∠PQC＝60°


理由：∵PQ∥CD，


∴∠DCB+∠PQC＝180°，


∵∠DCB＝120°，


∴∠PQC＝180°﹣120°＝60°．





23．解：長方形繞一邊旋轉(zhuǎn)一周，得圓柱．


（1）情況①：π×32×4＝36π（cm3）；


情況②：π×42×3＝48π（cm3）；


（2）情況①：


π×3×2×4+π×32×2


＝24π+18π


＝42π（cm2）；


情況②：


π×4×2×3+π×42×2


＝24π+32π


＝56π（cm2）．


24．解：（1）四面體的棱數(shù)為6；正八面體的頂點(diǎn)數(shù)為6；關(guān)系式為：V+F﹣E＝2；


（2）由題意得：F﹣8+F﹣30＝2，解得F＝20；


（3）∵有24個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)處都有3條棱，兩點(diǎn)確定一條直線；


∴共有24×3÷2＝36條棱，


那么24+F﹣36＝2，解得F＝14，


∴x+y＝14．


故答案為：6，6；E＝V+F﹣2；20；14．


25．解：（1）三面涂色8，8；


二面涂色24，12（n﹣2），


一面涂色24，6（n﹣2）2


各面均不涂色8，（n﹣2）3；





（2）當(dāng)n＝7時(shí)，


6（n﹣2）2


＝6×（7﹣2）2


＝150，


所以一面涂色的小正方體有150個(gè)．





多面體
頂點(diǎn)數(shù)（V）
面數(shù)（F）
棱數(shù)（E）
四面體
4
4

長方體
8
6
12
正八面體

8
12
正十二面體
20
12
30
棱等分?jǐn)?shù)
4等分
n等分
3面涂色的正方體
個(gè)
個(gè)
2面涂色的正方體
個(gè)
個(gè)
1面涂色的正方體
個(gè)
個(gè)
各個(gè)面都無涂色的正方體
個(gè)
個(gè)

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