2020-2021學(xué)年上海市長(zhǎng)寧區(qū)高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題  一、單選題1．下列四組函數(shù)中，兩個(gè)函數(shù)相同的是（    ）.A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【分析】根據(jù)相同函數(shù)的定義，從定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系三方面進(jìn)行判斷即可.【詳解】A：函數(shù)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)集，函數(shù)的定義域?yàn)榉秦?fù)實(shí)數(shù)集，故兩個(gè)函數(shù)不相同，不符合題意；B：函數(shù)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)集，函數(shù)的定義域?yàn)榉橇愕膶?shí)數(shù)集，故兩個(gè)函數(shù)不相同，不符合題意；C：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?/span>，其中當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?/span>，其中當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此兩個(gè)函數(shù)是相同函數(shù)，符合題意；D：函數(shù)的定義域?yàn)榉橇愕膶?shí)數(shù)集，函數(shù)的定義域?yàn)檎龑?shí)數(shù)集，因此兩個(gè)函數(shù)不相同，不符合題意，故選：C2．函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（    ）.A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在原理，結(jié)合指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性逐一判斷即可.【詳解】設(shè).易知該函數(shù)為減函數(shù)，，，，因?yàn)?/span>，所以函數(shù)在此區(qū)間存在零點(diǎn)；故選：B3．在同一直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)與冪函數(shù)圖像的關(guān)系可能為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，結(jié)合二次函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)依次分析選項(xiàng)，即可得到答案.【詳解】對(duì)于A，二次函數(shù)開口向上，則，其對(duì)稱軸，則，即冪函數(shù)為減函數(shù)，符合題意；對(duì)于B， 二次函數(shù)開口向下，則，其對(duì)稱軸，則，即冪函數(shù)為減函數(shù)，不符合題意；對(duì)于C，二次函數(shù)開口向上，則，其對(duì)稱軸，則，即冪函數(shù)為增函數(shù)，且其增加的越來越快，不符合題意；對(duì)于D， 二次函數(shù)開口向下，則，其對(duì)稱軸，則，即冪函數(shù)為增函數(shù)，且其增加的越來越慢快，不符合題意；故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)圖像的分析，在同一個(gè)坐標(biāo)系中同時(shí)考查二次函數(shù)和冪函數(shù)性質(zhì)即可得解，考查學(xué)生的分析試題能力，數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.4．已知“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命題，給出下列四個(gè)命題：①M的元素不都是P的元素；②M的元素都不是P的元素；③存在且；④存在且；這四個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)為（    ）．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)題意，由子集的定義分析、元素的關(guān)系分析4個(gè)命題是否正確，綜合即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，“非空集合的元素都是集合的元素”是假命題．則其否定為真，則非空集合的元素不都是集合的元素，據(jù)此分析4個(gè)命題：①的元素不都是的元素，正確，②的部分元素可以為的元素，不正確，③可能的元素都不是的元素，故存在且，不正確，④存在且，正確，其中正確的命題有2個(gè)，故選：．  二、填空題5．已知全集為，集合，則________.【答案】【分析】求出集合，利用補(bǔ)集的定義可求得集合.【詳解】已知全集，集合，得或.故答案為：.6．函數(shù)的定義域?yàn)?/span>________.【答案】【分析】根據(jù)二次根式的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】由，可得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，故答案為：7．若冪函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.【答案】【分析】由冪函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，所以，故答案為：8．設(shè)一元二次方程的兩個(gè)實(shí)根為、，則________.【答案】42【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合完全平方和公式進(jìn)行求解即可.【詳解】一元二次方程的兩個(gè)實(shí)根為、，所以有，因此，故答案為：9．已知，，若α是β充分條件，則m的取值范圍是________.【答案】，【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系得到關(guān)于的不等式，解出即可．【詳解】解：，，若是充分條件，則，，，故，解得：，則的取值范圍是，，故答案為：，．10．若，則x的取值范圍是________.【答案】【分析】由題意利用數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和定義域，求得的范圍．【詳解】解：由，可得，，故答案為：．11．設(shè)a、b都為正數(shù)，且，則的最小值為________.【答案】1【分析】把變形為：利用已知，結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>a、b都為正數(shù)，所以有：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即時(shí)取等號(hào)，故答案為：12．設(shè)關(guān)于x的不等式與的解集分別為A、B，則不等式組的解集可以用集合A、B的運(yùn)算表示為________.【答案】【分析】根據(jù)不等式組的解的性質(zhì)，結(jié)合集合補(bǔ)集和交集的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】不等式組的含義是且，因?yàn)殛P(guān)于x的不等式的解集是A，所以關(guān)于x的不等式的解集是，因此不等式組的解集可以用集合A、B的運(yùn)算表示為，故答案為：13．已知，，試用a、b表示________.【答案】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)式指數(shù)式互化公式，結(jié)合對(duì)數(shù)換底公式、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，因此有：，故答案為：14．已知函數(shù)的最小值為-2，則實(shí)數(shù)a=________.【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸與所給區(qū)間的相對(duì)位置進(jìn)行分類討論求解即可.【詳解】，所以該二次函數(shù)的對(duì)稱軸為：，當(dāng)時(shí)，即，函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞減，因此，顯然符合；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，顯然不符合；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增，因此，不符合題意，綜上所述：，故答案為：15．設(shè)關(guān)于x的方程解集為M，關(guān)于x的不等式的解集為N，若集合，則________.【答案】【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法，結(jié)合絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由或，所以或，當(dāng)時(shí)，由，可得，當(dāng)時(shí)，由，可得，因此有，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故答案為：16．若函數(shù)的值域?yàn)?/span>，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________.【答案】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行分類討論求解即可,【詳解】當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在時(shí)是單調(diào)遞增函數(shù)，所以有，即，當(dāng)時(shí)， ，根據(jù)指數(shù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)可知：函數(shù)在時(shí)，單調(diào)遞減，在時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，由，可得，即，因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)?/span>，所以有，即必有，而，所以不成立；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，而，因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)?/span>，所以必有，，而，所以，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：掌握指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵. 三、解答題17．已知集合，集合.求集合.【答案】【分析】根據(jù)絕對(duì)值不等式的解法，結(jié)合分式不等式的解法、集合并集的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以，故答案為：18．化簡(jiǎn)下列代數(shù)式（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，結(jié)合根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化公式進(jìn)行運(yùn)算即可；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合完全平方差公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可.【詳解】（1）；（2）因?yàn)?/span>，所以，因此.19．甲、乙兩城相距100km，某天然氣公司計(jì)劃在兩地之間建天然氣站P給甲、乙兩城供氣，設(shè)P站距甲城.xkm，為保證城市安全，天然氣站距兩城市的距離均不得少于10km.已知建設(shè)費(fèi)用y（萬元）與甲、乙兩地的供氣距離（km）的平方和成正比（供氣距離指天然氣站到城市的距離），當(dāng)天然氣站P距甲城的距離為40km時(shí)，建設(shè)費(fèi)用為1300萬元.（1）把建設(shè)費(fèi)用y（萬元）表示成P站與甲城的距離x（km）的函數(shù)，并求定義域；（2）求天然氣供氣站建在距甲城多遠(yuǎn)時(shí)建設(shè)費(fèi)用最小，并求出最小費(fèi)用的值.【答案】（1）；（2）天然氣供氣站建在距甲城50km時(shí)費(fèi)用最小，最小費(fèi)用的值為1250萬元.【分析】（1）設(shè)出比例系數(shù)，根據(jù)題意得到建設(shè)費(fèi)用y（萬元）表示成P站與甲城的距離x（km）的函數(shù)的解析式，再利用代入法求出比例系數(shù)，進(jìn)而求出函數(shù)解析式、定義域；（2）利用配方法進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）設(shè)比例系數(shù)為k，則又，，所以，即，所以（1）由（1）可得所以所以當(dāng)時(shí)，y有最小值為1250萬元所以天然氣供氣站建在距甲城50km時(shí)費(fèi)用最小，最小費(fèi)用的值為1250萬元，20．設(shè).（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；（2）求證：函數(shù)在R上是嚴(yán)格增函數(shù)；（3）若，求t的取值范圍.【答案】（1）奇函數(shù)，證明見解析；（2）證明見解析；（3）或．【分析】（1）根據(jù)奇偶函數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可；（2）利用單調(diào)性的定義，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行證明即可；（3）利用（1）（2）的結(jié)論，結(jié)合一元二次不等式的解法進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）函數(shù)為奇函數(shù)，證明如下：的定義域?yàn)?/span>，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴為奇函數(shù)；（2）證明：任取，且∵，∴，，，∴，即∴函數(shù)在R上是嚴(yán)格增函數(shù)（2）∵在R上是奇函數(shù)且嚴(yán)格增函數(shù)，所以，解得或所以t的取值范圍是或．21．設(shè)．（1）求不等式的解集M；（2）若函數(shù)在上最小值為，求實(shí)數(shù)a的值；（3）若對(duì)任意的正實(shí)數(shù)a，存在，使得，求實(shí)數(shù)m的最大值.【答案】（1）答案見解析；（2）或；（3）.【分析】（1）由條件將不等式化簡(jiǎn)為，轉(zhuǎn)化為，再分情況討論，可得答案.
（2）分情況求出函數(shù)的最小值，由函數(shù)最小值為可得方程，得出答案.
(3)由條件可得，由函數(shù)的單調(diào)性有，然后分情況討論得出其最大值，可得答案..【詳解】（1）∵，∴，即，也即所以若，該不等式無解；若，，所以或；若，，所以綜上，，該不等式解集為；，該不等式解集為；，該不等式解集為.（2）若，在單調(diào)遞增，故在上無最小值；若，在單調(diào)遞增，故在上無最小值；若，，所以，解得或所以，或（3）因?yàn)閷?duì)任意的正實(shí)數(shù)a，存在，使得，所以當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.所以 所以當(dāng)，即，由，解得 當(dāng)時(shí)，，即，所以 當(dāng)時(shí)，，即，所以 所以，所以實(shí)數(shù)m的最大值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查解不等式，根據(jù)函數(shù)最值求參數(shù)和解決存在問題，解答本題的關(guān)鍵是由題意可得，求出其最大值可得，然后分情況得出其最大值，屬于中檔題. 

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