2020-2021學(xué)年上海市閔行區(qū)高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題  一、單選題1．下列函數(shù)中，值域?yàn)?/span>的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用基本初等函數(shù)求值域，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即得結(jié)果.【詳解】A選項(xiàng)中，值域?yàn)?/span>，不滿足題意；B選項(xiàng)中，值域?yàn)?/span>，滿足題意；C選項(xiàng)中，值域?yàn)?/span>，不滿足題意；D選項(xiàng)中，對(duì)勾函數(shù)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故值域?yàn)?/span>，不滿足題意.故選：B.2．用反證法證明命題：“a，b∈N，若ab不能被5整除，則a與b都不能被5整除”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為（ ）A．a，b都能被5整除B．a，b不都能被5整除C．a，b至少有一個(gè)能被5整除D．a，b至多有一個(gè)能被5整除【答案】C【解析】試題分析：根據(jù)用反證法證明數(shù)學(xué)命題的步驟和方法，應(yīng)先假設(shè)命題的否定成立．而命題“a與b都不能被5整除”的否定為“a，b至少有一個(gè)能被5整除”，【解析】反證法．3．若實(shí)數(shù)、滿足，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】不等式可化為，根據(jù)是增函數(shù)可求.【詳解】不等式化為，是增函數(shù)，，即.故選：A.4．對(duì)于定義在上的函數(shù)，考察以下陳述句：：是上的嚴(yán)格增函數(shù)；：任意，，且當(dāng)時(shí)，都有；：當(dāng)時(shí)，都有；關(guān)于以上陳述句，下列判斷正確的是（    ）A．、都是的充分條件 B．、中僅是的充分條件C．、中僅是的充分條件 D．、都不是的充分條件【答案】B【分析】對(duì)于，首先利用賦值法求出函數(shù)為奇函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性定義即可判斷；對(duì)于，由增函數(shù)的定義中自變量具有任意性，從而可判斷.【詳解】對(duì)于，令，則，解得，令，，則，所以，所以函數(shù)為奇函數(shù)，設(shè)，則，因?yàn)?/span>，所以，所以，所以函數(shù)是上的增函數(shù)，故是的充分條件.對(duì)于，當(dāng)時(shí)存在情況，不符合嚴(yán)格單調(diào)性的定義，故不是的充分條件.故選：B  二、填空題5．設(shè)集合，，則________【答案】【分析】直接按照定義進(jìn)行交集運(yùn)算即可.【詳解】集合，，則.故答案為：.6．函數(shù)的定義域是______．【答案】【解析】由題設(shè)有，解得，故函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，填．7．已知，，化簡(jiǎn)：________【答案】【分析】直接利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值即可.【詳解】，，則.故答案為：.8．已知、是方程的兩個(gè)根，則________【答案】【分析】由于，所以利用根與系數(shù)的關(guān)系直接求解即可【詳解】解：因?yàn)?/span>、是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以，所以，故答案為：【點(diǎn)睛】熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵.9．已知，若函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則________.【答案】【分析】由可求得的值，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求得的值.【詳解】，可得，由于且，解得，，因此，.故答案為：.10．設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足，則_______【答案】0【分析】根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)得，再根據(jù)條件求【詳解】因?yàn)?/span>為定義在R上的奇函數(shù)，所以，因?yàn)?/span>，所以，即【點(diǎn)睛】已知函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值，首先抓住奇偶性求一些函數(shù)具體數(shù)值，再充分利用有關(guān)的方程，解得所求的值.11．若?都是正數(shù)，且，則的最大值是_________.【答案】【分析】根據(jù)題中條件，由，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>?都是正數(shù)，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查由基本不等式求積的最大值，屬于基礎(chǔ)題型.12．已知函數(shù)，的圖像如圖所示，則不等式的解集是________【答案】【分析】根據(jù)圖像，分和兩種情況討論求解.【詳解】與軸的交點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，，則，解得，此時(shí)無(wú)解，當(dāng)時(shí)，，則，解得，，綜上，不等式的解集為.故答案為：.13．關(guān)于的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.【答案】【分析】令，所以函數(shù)的最大值為，即可求解.【詳解】令，所以函數(shù)的最大值為，要使得關(guān)于的不等式的解集為，所以.故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的恒成立問(wèn)題的求解，其中解答中求得分段函數(shù)的最大值解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14．已知函數(shù)（，）（）的值域?yàn)?/span>，則該函數(shù)的一個(gè)解析式可以為________【答案】（滿足即可）【分析】由題可得當(dāng)時(shí)，，根據(jù)時(shí)，可得，則，即可寫(xiě)出解析式.【詳解】的定義域?yàn)?/span>，值域?yàn)?/span>，可知函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，，則，，則該函數(shù)的一個(gè)解析式可以為（滿足即可）.故答案為：（滿足即可）.15．若函數(shù)與的圖象恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_______【答案】【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，考查射線與函數(shù)的圖象相切，求出的值，然后分、、三種情況討論，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，且，作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示：考慮射線與函數(shù)的圖象相切，由，可得，則，解得.由圖可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)的圖象有且只有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)的圖象至多一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.16．垃圾分類可以提高垃圾的資源價(jià)值和經(jīng)濟(jì)價(jià)值，具有社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、生態(tài)等幾方面的效益，某地街道呈現(xiàn)東西，南北向的網(wǎng)格狀，相鄰街距都為1，兩街道相交的點(diǎn)稱為格點(diǎn)，若以互相垂直的兩條街道為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，現(xiàn)有下述格點(diǎn)，，，，，為垃圾回收點(diǎn)，請(qǐng)確定一個(gè)格點(diǎn)（除回收點(diǎn)外）________為垃圾集中回收站，使這6個(gè)回收點(diǎn)沿街道到回收站之間路程的和最短【答案】【分析】首先表示橫軸和縱軸方向的距離和，再根據(jù)含絕對(duì)值三角不等式求最值.【詳解】設(shè)格點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，根據(jù)含絕對(duì)值三角式可知橫軸方向距離和， ，此時(shí)的最小值是14，此時(shí)三個(gè)等號(hào)成立的條件是，所以時(shí)，的最小值是， 縱軸方向的距離和，此時(shí)的最小值是9，三個(gè)等號(hào)成立的條件是 ，即或，當(dāng)時(shí)，此時(shí)格點(diǎn)位置是，是垃圾回收點(diǎn)，舍去，所以，此時(shí)格點(diǎn)坐標(biāo)是.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題是具有實(shí)際應(yīng)用背景的習(xí)題，本題的關(guān)鍵是正確理解題意，并能轉(zhuǎn)化為橫軸距離和縱軸距離，利用含絕對(duì)值三角不等式求最值. 三、解答題17．已知集合，.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）當(dāng)時(shí)，分別求解兩個(gè)集合，再求交集；（2）首先求集合，根據(jù)，列不等式求的取值范圍.【詳解】，解得：，即，，即，解得：，即，（1）當(dāng)時(shí)，，；（2）或 ，若，則或，解得：或.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：1.一般涉及集合運(yùn)算時(shí)，需注意端點(diǎn)值的開(kāi)閉，以及列不等式時(shí)，需注意參數(shù)的端點(diǎn)值的開(kāi)閉；2.根據(jù)集合交，并集的運(yùn)算結(jié)果，轉(zhuǎn)化為子集問(wèn)題時(shí)，需注意有時(shí)有空集的情況，這點(diǎn)容易忽略.18．記，設(shè).（1）是否存在，使為奇函數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義加以證明.【答案】（1）；（2）嚴(yán)格遞增函數(shù)，證明見(jiàn)解析.【分析】（1）先利用奇函數(shù)，解得參數(shù)，再代入?yún)?shù)驗(yàn)證為奇函數(shù)，即得結(jié)果；（2）先設(shè)，利用作差法證明，即證結(jié)果.【詳解】解：（1）定義域?yàn)?/span>，若函數(shù)是奇函數(shù)，則，得.當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，有，故存在，使為奇函數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，是嚴(yán)格遞增函數(shù)，證明如下：任意，設(shè)，有則，因?yàn)?/span>，所以，即，所以是上的嚴(yán)格遞增函數(shù).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：定義法判定函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性的一般步驟：1.取值：任取，，設(shè)，2.作差：計(jì)算；3.定號(hào)：確定的正負(fù)；4.得出結(jié)論：根據(jù)同增異減得出結(jié)論.19．由于人們響應(yīng)了政府的防控號(hào)召，2020年的疫情得到了有效的控制，生產(chǎn)生活基本恢復(fù)常態(tài)，某賞花園區(qū)投資了30萬(wàn)元種植鮮花供市民游賞，據(jù)調(diào)查，花期為30天，園區(qū)從某月1號(hào)至30號(hào)開(kāi)放，每天的旅游人數(shù)與第天近似地滿足（千人），且游客人均消費(fèi)近似地滿足（元），，.（1）求該園區(qū)第天的旅游收入（單位：千元）的函數(shù)關(guān)系式；（2）記（1）中的最小值為，若以0.3（千元）作為資金全部用于回收投資成本，試問(wèn)該園區(qū)能否收回投資成本？【答案】（1）；（2）千元，能收回投資成本.【分析】（1）旅游收入由旅游人數(shù)與游客人均消費(fèi)的乘積求解. （2）由（1）的結(jié)果，根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，分和 ，利用基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】（1），；（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)最小值為1152，當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以千元，∴萬(wàn)元萬(wàn)元，能收回投資成本.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：(1)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題抽象出函數(shù)的解析式；(2)設(shè)變量時(shí)一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)；(3)解應(yīng)用題時(shí)，要注意變量的實(shí)際意義及其取值范圍；(4)在應(yīng)用基本不等式求函數(shù)最值時(shí)，若等號(hào)取不到，可利用函數(shù)的單調(diào)性求解．20．已知，.（1）當(dāng)時(shí)，作出函數(shù)的圖象，若關(guān)于的方程有四個(gè)解，直接寫(xiě)出的取值范圍；（2）若的定義域和值域均為，求實(shí)數(shù)的值；（3）若是上的嚴(yán)格減函數(shù)，且對(duì)任意的，總，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）圖象見(jiàn)解析，；（2）；（3）.【分析】（1）根據(jù)函數(shù)解析式，直接作出函數(shù)圖象，由圖象，即可得出的取值范圍；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求出在的值域，由值域和定義域相同，列出方程求解，即可得出結(jié)果；（3）先由函數(shù)單調(diào)性，得到，再求出在區(qū)間上的最值，由題中條件，得到，解不等式，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，作出其圖象如下：由圖象可得，當(dāng)時(shí)，與有四個(gè)不同交點(diǎn)，即關(guān)于的方程有四個(gè)解，所以的取值范圍是；（2）因?yàn)?/span>是開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為的二次函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，則，即，因?yàn)?/span>的定義域和值域均為，所以，解得；（3）因?yàn)?/span>是上的嚴(yán)格減函數(shù)，所以對(duì)稱軸；則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則時(shí)，，因?yàn)?/span>，，所以，為使對(duì)任意的，總，只需，解得，綜上，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)(方程根的個(gè)數(shù))求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.21．已知.（1）若，試用表示；（2）若，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若存在正實(shí)數(shù)、（），使得成立，其中為正整數(shù)，求的值.【答案】（1）；（2）；（3）2或3.【分析】（1）利用換底公式得到，化簡(jiǎn)得解；（2）方程轉(zhuǎn)化為若，討論參數(shù) 的值得解（3）利用已知和函數(shù)單調(diào)性得到， 把等式轉(zhuǎn)化為對(duì)取值討論得解【詳解】（1），；（2），令，（ ）只有一個(gè)正根當(dāng)時(shí)， 滿足題意當(dāng)時(shí)，的對(duì)稱軸，所以在單增，且，所以滿足題意有一個(gè)正根.當(dāng)時(shí)，的對(duì)稱軸，所以在不單調(diào)，若有一個(gè)正根.則綜上（3），所以不妨設(shè) 當(dāng)時(shí)此時(shí)與已知矛盾，舍去當(dāng)時(shí)此時(shí)有正解，滿足題意當(dāng)時(shí)此時(shí)有正解，滿足題意當(dāng)時(shí)此時(shí)無(wú)解。不滿足題意綜上得： 或【點(diǎn)睛】在研究方程的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，如比較方程根的大小、確定方程根的分布、證明根的存在性等，都可以將方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題解決.此類問(wèn)題的切入點(diǎn)是借助函數(shù)的零點(diǎn)加以解決. 

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