2020-2021學(xué)年上海市青浦區(qū)高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題  一、單選題1．已知，則函數(shù)的圖像必定不經(jīng)過（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象結(jié)合圖象的平移可得正確的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?/span>，故的圖象經(jīng)過第一象限和第二象限，且當(dāng)越來越大時(shí)，圖象與軸無限接近.因?yàn)?/span>，故的圖象向下平移超過一個(gè)單位，故的圖象不過第一象限.故選：A．2．下列函數(shù)中，定義域?yàn)?/span>的偶函數(shù)是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義及判定方法，以及初等函數(shù)的性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；對(duì)于B中，函數(shù)定義域?yàn)?/span>，但滿足，所以函數(shù)為奇函數(shù)，不符合題意；對(duì)于C中，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，且滿足，所以函數(shù)為偶函數(shù)，符合題意；對(duì)于D中，函數(shù)為偶函數(shù)，但定義域不是R,所以不符合題意.故選：C.3．下列不等式中，恒成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由特殊值法，可判斷ABC錯(cuò)，根據(jù)不等式的性質(zhì)，由作差法，可判斷D正確.【詳解】A選項(xiàng)，若，則，故A錯(cuò)；B選項(xiàng)，若，則，故B錯(cuò)；C選項(xiàng)，若，，，則，，此時(shí)，故C錯(cuò)；D選項(xiàng)，顯然恒成立，所以，即D選項(xiàng)正確.故選：D.4．設(shè)集合，，函數(shù)，若，且，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】時(shí)，根據(jù)解析式求出，再由求解不等式即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，則，由，解得，又，所以.故選：C  二、填空題5．已知全集，集合，則___________．【答案】【詳解】因?yàn)?/span>，所以 6．不等式的解集是____________．【答案】【詳解】解：或7．已知，則用表示_________.【答案】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與換底公式，直接計(jì)算，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，所以.故答案為：.8．若，且，，則的最大值是_________.【答案】【分析】根據(jù)題中條件，由不等式的性質(zhì)，求出的范圍，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，，即，，所以，因此，即的最大值是.故答案為：.9．已知函數(shù)為冪函數(shù)，且為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值__________．【答案】1【分析】解方程再討論函數(shù)的奇偶性得解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為冪函數(shù)，所以或.當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)，不符合題意，所以舍去；當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)，符合題意.故答案為：110．已知條件和條件，若是的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.【答案】【分析】根據(jù)充分條件與必要條件的概念，由題中條件，可直接得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)闂l件和條件，若是的充分不必要條件，所以是的真子集，因此只需.故答案為：.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：由命題的充分條件和必要條件求參數(shù)時(shí)，一般可根據(jù)如下規(guī)則求解：（1）若是的必要不充分條件，則對(duì)應(yīng)集合是對(duì)應(yīng)集合的真子集；（2）是的充分不必要條件， 則對(duì)應(yīng)集合是對(duì)應(yīng)集合的真子集；（3）是的充分必要條件，則對(duì)應(yīng)集合與對(duì)應(yīng)集合相等；（4）是的既不充分又不必要條件， 對(duì)的集合與對(duì)應(yīng)集合互不包含．11．函數(shù)的值域是______________.【答案】；【分析】將函數(shù)轉(zhuǎn)化為，然后利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】函數(shù)，因?yàn)?/span>，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以的值域是，故答案為：12．已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為_________.【答案】【分析】利用基本不等式可求得的范圍，等式兩邊同時(shí)平方即可得解.【詳解】，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，，即的最大值為.故答案為：13．已知函數(shù)，則該函數(shù)的零點(diǎn)是_________.【答案】【分析】通過函數(shù)值為0，轉(zhuǎn)化求解函數(shù)的零點(diǎn)即可．【詳解】函數(shù)的零點(diǎn)即為相應(yīng)方程的根，所以要求函數(shù)的零點(diǎn)，即x2﹣2x＝0，解得x＝0或x＝2，又，所以舍去，＝0，又，可得x，所以函數(shù)的零點(diǎn)為．故答案為：．14．在創(chuàng)全國(guó)文明城區(qū)的活動(dòng)中，督查組對(duì)城區(qū)的評(píng)選設(shè)計(jì)了，，，四項(xiàng)多元評(píng)價(jià)指標(biāo)，并通過經(jīng)驗(yàn)公式來計(jì)算各城區(qū)的綜合得分，的值越高則評(píng)價(jià)效果越好.若某城區(qū)在自查過程中各項(xiàng)指標(biāo)顯示為，則下階段要把其中一個(gè)指標(biāo)的值增加個(gè)單位，而使得的值增加最多，那么該指標(biāo)應(yīng)為_________.(填入，，，中的一個(gè))【答案】【分析】從分式的性質(zhì)中尋找到的變化規(guī)律，結(jié)合變化規(guī)律，即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>，，，都是整數(shù)，可得分子越大或分母越小時(shí)，的值越大，而分子增加1個(gè)單位時(shí)，分母越小時(shí)，的值增長(zhǎng)越多，由，可知分母最小，所以增大1個(gè)單位時(shí)會(huì)使得的值增加最多.故答案為：.15．已知函數(shù)，關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________【答案】【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性可以判斷出函數(shù)的單調(diào)性,運(yùn)用奇偶函數(shù)的定義可以判斷出函數(shù)的奇偶性,利用函數(shù)的奇偶性可以化簡(jiǎn)不等式,最后利用函數(shù)的單調(diào)性,得到關(guān)于的不等式,對(duì)不等式進(jìn)行常變量分離,構(gòu)造函數(shù),應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最大值,最后確定實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)可知：函數(shù)是整個(gè)實(shí)數(shù)集上的增函數(shù).又因?yàn)?/span>,所以函數(shù)是奇函數(shù),于是有,而函數(shù)是整個(gè)實(shí)數(shù)集上的增函數(shù),所以有,由題意可知：不等式在區(qū)間上有解.,令,所以有,所以當(dāng)時(shí),函數(shù)有最大值,最大值為,要想不等式在區(qū)間上有解,只需.故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的應(yīng)用,考查了不等式在閉區(qū)間上有解問題,常變量分離,構(gòu)造函數(shù)是常用的解題方法.16．已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，對(duì)任意兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)、都有，則不等式的解集為_________.【答案】【分析】推導(dǎo)出函數(shù)為上的增函數(shù)，將所求不等式變形為，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，由此可解得原不等式的解集.【詳解】不妨令，則等價(jià)于，可得，構(gòu)造函數(shù)，則是上的增函數(shù).因?yàn)?/span>，所以等價(jià)于，即，所以，，即，解得.因此，不等式的解集為.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用函數(shù)的單調(diào)性求解抽象函數(shù)不等式，要設(shè)法將隱性劃歸為顯性的不等式來求解，方法是：（1）把不等式轉(zhuǎn)化為；（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性把不等式的函數(shù)符號(hào)“”脫掉，得到具體的不等式（組），求解即可. 三、解答題17．已知不等式的解集是，函數(shù)的定義域是，求.【答案】【分析】解不等式求得解集，根據(jù)偶次被開方數(shù)大于等于0可求得集合．即可求出．【詳解】解：:，解得,即由解得或，即故．故答案為: .18．已知函數(shù)，其中.（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；（2）若，且在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）奇函數(shù)，理由見解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，直接判定，即可得出結(jié)果；（2）先得到，根據(jù)其在給定區(qū)間的單調(diào)性質(zhì)，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以其定義域?yàn)?/span>，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；又，所以是奇函數(shù)；（2）因?yàn)?/span>是開口向上，對(duì)稱軸為的二次函數(shù)，又在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，所以只需，即.因此實(shí)數(shù)的取值范圍是.19．設(shè).（1）若不等式解集為，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）m；（2）m.【分析】（1）轉(zhuǎn)化為對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，只需m+1＜0，＝m2﹣4（m+1）（m﹣1）0，求解即可.（2）根據(jù)題意可知m+1＞0，＝m2﹣4（m+1）（m﹣1）＜0，求解即可；【詳解】（1）不等式解集為，即對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，∴m+1＜0，＝m2-4（m+1）（m-1）0，∴m；（2）f（x）＞0的解集為R，∴m+1＞0，＝m2﹣4（m+1）（m﹣1）＜0，∴m；【點(diǎn)睛】二次不等式的恒成立問題注意考慮二次項(xiàng)系數(shù).20．研究表明：在一節(jié)40分鐘的網(wǎng)課中，學(xué)生的注意力指數(shù)與聽課時(shí)間（單位：分鐘）之間的變化曲線如圖所示，當(dāng)時(shí)，曲線是二次函數(shù)圖像的一部分；當(dāng)時(shí)，曲線是函數(shù)圖像的一部分，當(dāng)學(xué)生的注意力指數(shù)不高于68時(shí)，稱學(xué)生處于“欠佳聽課狀態(tài)”.（1）求函數(shù)的解析式；（2）在一節(jié)40分鐘的網(wǎng)課中，學(xué)生處于“欠佳聽課狀態(tài)”的時(shí)間有多長(zhǎng)？（精確到1分鐘）【答案】（1）；（2）14分鐘.【分析】（1）根據(jù)題意，分別求得和上的解析式，即可求解；（2）當(dāng)和時(shí)，令，求得不等式的解集，即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，因?yàn)?/span>，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，由，解得，所以，綜上，函數(shù)的解析式為.（2）當(dāng)時(shí)，令，即，解得或（舍去），所以，當(dāng)時(shí)，令，得，所以，所以學(xué)生處于“欠佳聽課狀態(tài)”的時(shí)間長(zhǎng)為分鐘.21．定義：如果函數(shù)在定義域內(nèi)給定區(qū)間上存在實(shí)數(shù)，滿足，那么稱函數(shù)是區(qū)間上的“平均值函數(shù)”， 是它的一個(gè)均值點(diǎn).（1）判斷函數(shù)是否是區(qū)間上的“平均值函數(shù)”，并說明理由；（2）若函數(shù)是區(qū)間上的“平均值函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)函數(shù)是區(qū)間上的“平均值函數(shù)”， 是函數(shù)的一個(gè)均值點(diǎn)，求所有滿足條件的數(shù)對(duì).【答案】（1）函數(shù)是區(qū)間上的“平均值函數(shù)”，理由見解析；（2）；（3）.【分析】（1）根據(jù)平均值函數(shù)的定義，由函數(shù)解析式，得到，求出，即可判斷出結(jié)果；（2）由題意，根據(jù)平均值函數(shù)的定義，得到存在，使，利用換元法，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可求出結(jié)果；（3）先由題意，得到，推出，結(jié)合題中條件，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）函數(shù)是區(qū)間上的“平均值函數(shù)”，理由如下：由題題意，，得，則，所以函數(shù)是區(qū)間上的“平均值函數(shù)”；（2）因?yàn)楹瘮?shù)是區(qū)間上的“平均值函數(shù)”，所以存在，使，即，即，令，所以在上是增函數(shù)，因此，；（3）因?yàn)楹瘮?shù)是區(qū)間的“平均值函數(shù)”， 是函數(shù)的一個(gè)均值點(diǎn)，所以，即，所以，又因?yàn)?/span>，所以或，因?yàn)?/span>是函數(shù)的一個(gè)均值點(diǎn)，根據(jù)均值點(diǎn)的定義，可得，所以滿足條件的數(shù)對(duì)只有.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解本題的關(guān)鍵在于理解題中所給“平均值函數(shù)”的定義，為使函數(shù)為平均值函數(shù)，必存在實(shí)數(shù)，滿足，注意此處不取端點(diǎn)值，根據(jù)所給函數(shù)解析式，列出等式，化為常見函數(shù)，進(jìn)行求解即可. 

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