2020-2021學年天津市第一中學高一上學期期末數(shù)學試題  一、單選題1．設，，則是的（    ）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】分別解不等式，根據(jù)解集的范圍大小得到答案.【詳解】，則，，則，故是的充分而不必要條件.故選：A.【點睛】本題考查了充分不必要條件，意在考查學生的計算能力和推斷能力.2．已知，，，則的大小關系是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，和對數(shù)的單調性，即可得出結論.【詳解】，.故選:.【點睛】本題主要考查指數(shù)、對數(shù)、冪的運算及性質等基礎知識，注意與特殊數(shù)的對比，如“0”“1”等等，屬于基礎題.3．已知，，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，切化弦，結合兩角和的正弦公式分別求出的值，代入兩角差的正弦公式即可求解.【詳解】因為，即，所以，因為，即，解得，因為，所以.故選：C【點睛】本題考查兩角和與差的正弦公式；考查運算求解能力；熟練掌握兩角和與差的正弦公式是求解本題的關鍵；屬于中檔題.4．函數(shù)與，其中，且，它們的大致圖象在同一直角坐標系中有可能是（ ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)單調遞增可排除AC，再根據(jù)與y軸交點位置可排除B.【詳解】，則單調遞增，故排除AC；對于BD，單調遞減，則，與y軸交于0和1之間，故排除B.故選：D.5．已知函數(shù)最小正周期為，且的圖象過點，則方程所有解的和為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)的最小正周期計算出的值，再根據(jù)圖象過點結合的范圍求解出的值，再根據(jù)條件將方程變形，先確定出的值，然后即可求解出方程的根，由此確定出方程所有解的和.【詳解】因為的最小正周期為，所以，又因為的圖象過點，所以，所以，又因為，所以且此時，所以，即，即，又因為時，，，所以，因為，所以，當時，或，解得或，所以方程所有解的和為.故選：A.【點睛】關鍵點點睛：解答本題的關鍵是通過分析方程得到，此處需要注意不能直接約去，因為需要考慮的情況.6．已知f（x）＝是R上的減函數(shù)，那么a的取值范圍是（    ）A．(0，1) B．C． D．【答案】B【分析】要使函數(shù)在上為減函數(shù)，則要求①當，在區(qū)間為減函數(shù)，②當時，在區(qū)間為減函數(shù)，③當時，，綜上①②③解不等式組即可.【詳解】令，.要使函數(shù)在上為減函數(shù)，則有在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)且,∴,解得.故選：B．【點睛】考查根據(jù)分段函數(shù)的單調性求參數(shù)的問題，根據(jù)單調性的定義，注意在分段點處的函數(shù)值的關系，屬于中檔題.7．若函數(shù)在上的最大值為，最小值為，則的值（    ）．A．與有關，且與有關 B．與有關，且與無關C．與無關，且與有關 D．與無關，且與無關【答案】B【分析】由題意結合同角三角函數(shù)的平方關系可得，利用換元法可得，利用二次函數(shù)的性質即可得解.【詳解】由題意，因為，令，則，則、分別為在上的最大值與最小值，由二次函數(shù)的性質可得最大值與最小值的差的值與有關，但與無關.故選：B．【點睛】本題考查了同角三角函數(shù)平方關系的應用及三角函數(shù)最值相關問題的求解，考查了二次函數(shù)性質的應用，屬于基礎題.8．已知函數(shù)的圖象上相鄰的一個最大值點與對稱中心分別為，，則函數(shù)的單調增區(qū)間為（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】由最大值點和對稱中心的坐標可以求出的解析式，利用三角函數(shù)的性質，整體代換得出該復合函數(shù)的單調增區(qū)間.【詳解】圖像上相鄰的一個最大值點與對稱中心分別為，，，且，可得，，將代入可得，可得，且， ，可得，令，可得，故選：A.【點睛】方法點睛：根據(jù)圖像求函數(shù)的解析式，根據(jù)最高點和對稱中心的縱坐標可求出和，根據(jù)橫坐標可求出周期，進而求出.求該函數(shù)的單調區(qū)間時，用整體代換的思想，借助正弦函數(shù)的單調區(qū)間，用解不等式的方法求復合函數(shù)的單調區(qū)間.9．將函數(shù)圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若直線是的圖象的一條對稱軸，則（    ）A．為奇函數(shù) B．為偶函數(shù)C．在上單調遞減 D．在上單調遞增【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)圖象變換求得的表達式，根據(jù)是圖象的一條對稱軸，求得的值，由此求得與的表達式，進而判斷出與的奇偶性和單調性，由此判斷出正確選項.【詳解】由題意知，因為直線是的圖象的一條對稱軸，所以，故，因為，所以，為非奇非偶函數(shù)，所以A選項錯誤.因為，則，所以在上單調遞減，所以C選項正確.因為，所以為奇函數(shù)，所以B選項錯誤.當時，，所以在上單調遞減，所以D選項錯誤..故選：C【點睛】本題考查三角函數(shù)的圖象及其性質，考查運算求解能力.10．已知函數(shù)，，若對任意，總存在，使，則實數(shù)a的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出兩個函數(shù)的值域，結合對任意，總存在，使，等價為的值域是值域的子集，分別研究兩個函數(shù)的值域即可.【詳解】對任意，則，即函數(shù)的值域為，若對任意的，總存在，使，設函數(shù)的值域為，則滿足，即可，當時，函數(shù)為減函數(shù)，則此時，當時，，（1）當，即時，滿足條件成立；（2）當時，此時，要使成立，則此時當時，，所以解得：，綜上所述：或.故選：B.【點睛】本題主要考查函數(shù)與方程的應用，求出函數(shù)的值域，轉化為的值域是值域的子集，若懂得借助函數(shù)圖象進行分析，則更容易看出問題的本質.  二、填空題11．__________．【答案】4【分析】先根據(jù)誘導公式化簡度數(shù)，再根據(jù)二倍角公式和輔助角公式可化簡得出.【詳解】.故答案為：4.12．已知扇形的周長是12，面積是8，則扇形的中心角的弧度數(shù)是__________．【答案】1或4【分析】設出圓心角和半徑，利用扇形弧長公式和面積公式建立關系可求.【詳解】設扇形的中心角的弧度數(shù)為，半徑為，則由題可得，解得或.故答案為：1或4.13．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調遞增，則實數(shù)的取值范闈為__________．【答案】【解析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義可得，解得，因為二次函數(shù)圖象的對稱軸為，由復合函數(shù)單調性可得函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，要使函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調遞增，只需，解關于的不等式組得，即的取值范圍是，故答案為.14．若將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是_________．①的最小正周期為    ②在區(qū)間上單調遞減③不是函數(shù)圖象的對稱軸    ④在上的最小值為【答案】①③④【分析】由函數(shù)圖像的變換可得，結合余弦函數(shù)的周期性、單調性、對稱軸等即可判斷選項，得出答案.【詳解】．的最小正周期為，選項A正確；當 時， 時，故在上有增有減，選項B錯誤；，故不是圖象的一條對稱軸，選項C正確；當時，，且當，即時，取最小值，D正確．故答案為：①③④.【點睛】本題考查了三角函數(shù)圖像的變換、余弦函數(shù)的周期性、單調性和對稱軸等基本知識，考查了運算求解能力和邏輯推理能力，屬于一般題目. 三、雙空題15．已知函數(shù)為定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，則__________，_________．【答案】1    1    【分析】（1）首先利用奇函數(shù)的定義域關于原點對稱，求；（2）并根據(jù)奇函數(shù)的性質求，并驗證滿足奇函數(shù)的定義.【詳解】奇函數(shù)的定義域關于原點對稱，所以，解得：，并且，解得：，所以，經(jīng)驗證，所以；.故答案為：1；116．設函數(shù)，則_______；若方程有且僅有1個實數(shù)根，則實數(shù)b的取值范圍是_______．【答案】    或    【分析】（1）根據(jù)分段函數(shù)的解析式，代入x的值，可求得函數(shù)值；（2）作出函數(shù)的圖象，根據(jù)數(shù)形結合思想可求得實數(shù)b的取值范圍.【詳解】（1），；（2）方程有且僅有1個實數(shù)根，即與的圖象有1個交點，當時，，，畫出函數(shù)的圖象，由圖可知當與只有1個交點時，或 故答案為：；或.【點睛】本題考查求分段函數(shù)的函數(shù)值，以及分段函數(shù)的圖象，由分段函數(shù)的圖象和方程的根的個數(shù)求參數(shù)的范圍，屬于中檔題. 四、解答題17．已知函數(shù).（1）若時，求滿足的實數(shù)的值；（2）若存在，使成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由題意知，，令，則，解得或（舍）再代入原方程組即可.（2）將問題轉化為存在，使得，只需求出函數(shù)的最小值即可，再利用換元法求的最小值.【詳解】（1）當時，，令，則，解得或（舍），由，得，所以.（2）由已知，存在，使成立可轉化為存在，使得，只需求出函數(shù)的最小值即可，令，∴.則，易知在上單調遞增，所以，∴，∴.【點睛】本題主要考解指數(shù)型方程以及函數(shù)能成立求參數(shù)的問題，考查學生轉化與化歸的思想，屬于中檔題.18．函數(shù)的一段圖象如圖所示（1）求的解析式；（2）求的單調增區(qū)間，并指出的最大值及取到最大值時的集合；（3）把的圖象向左至少平移多少個單位，才能使得到的圖象對應的函數(shù)為偶函數(shù)．【答案】（1）；（2）；（3）【詳解】試題分析：（1）由函數(shù)的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，從而求得函數(shù)的解析式．（2）根據(jù)正弦函數(shù)的單調性和最大值，求得f（x）的最大值及取到最大值時x的集合．（3）由條件利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得結論．試題解析：（1）由函數(shù)的圖象可得，解得．再根據(jù)五點法作圖可得，由，則令（2）令，求得，故函數(shù)的增區(qū)間為[函數(shù)的最大值為3，此時，，即，即的最大值為3，及取到最大值時的集合為.（3）設把的圖象向左至少平移m個單位，才能使得到的圖象對應的函數(shù)為偶函數(shù)．則由，求得， 把函數(shù)的圖象向左平移個單位，可得的圖象．【解析】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換；由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．19．已知函數(shù)，其中.（1）求使得的的取值范圍；（2）若函數(shù)，且對任意的，當時，均有成立，求正實數(shù)的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）化簡函數(shù)的解析式，利用正弦函數(shù)的性質解不等式即可；（2）構造函數(shù)，由單調性的定義得出在區(qū)間上為增函數(shù)，結合正弦函數(shù)的單調性，得出正實數(shù)的最大值.【詳解】解：（1）由題意得，令，得即，故的取值范圍為（2）由題意得，令即故在區(qū)間上為增函數(shù)由，得出，，則函數(shù)包含原點的單調遞增區(qū)間為即故正實數(shù)的最大值為.【點睛】本題主要考查了解正弦不等式以及正弦型函數(shù)單調性的應用，屬于中檔題.20．已知函數(shù)，當時，恒有．（1）求的表達式及定義域；（2）若方程有解，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1），定義域為：；（2）．【分析】（1）由得，由得，聯(lián)立解得，從而可得的表達式，由真數(shù)大于0，解不等式可得定義域；（2）轉化為求函數(shù)，的值域可解得結果.【詳解】（1）由得，所以①，因為當時，恒有，所以時，有，所以，所以，化簡得②，聯(lián)立①②，解得，所以，由得，解得或，所以的定義域為.（2）因為方程有解，所以有解，所以在內(nèi)有解，因為，因為，所以，所以，所以，所以，即【點睛】本題考查了求函數(shù)的解析式、定義域、值域，考查了對數(shù)的運算法則，考查了方程有解問題，考查了轉化思想，屬于基礎題. 

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