2020-2021學(xué)年上海市位育中學(xué)高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題  一、單選題1．若函數(shù)的反函數(shù)為，則方程（    ）A．有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解 B．至少一個(gè)實(shí)數(shù)解C．至多有一個(gè)實(shí)數(shù)解 D．可能有兩個(gè)實(shí)數(shù)解【答案】C【分析】利用函數(shù)定義可知每一個(gè)自變量都有唯一確定的一個(gè)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，再結(jié)合反函數(shù)的性質(zhì)即得結(jié)果.【詳解】函數(shù)有反函數(shù)，可知是一個(gè)單射函數(shù)，設(shè)定義域?yàn)?/span>I，故若，設(shè)，由函數(shù)定義知a有唯一值，故，且方程只有一實(shí)數(shù)解a；若，無(wú)意義，故不存在x，使得，故方程無(wú)解.故方程至多有一個(gè)實(shí)數(shù)解故選：C.2．已知為非零實(shí)數(shù)，且，則下列命題成立的是A． B． C． D．【答案】C【詳解】若a<b<0,則a2>b2，A不成立；若B不成立；若a=1，b=2，則,所以D不成立 ,故選C.3．若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)的曲線，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A．若f(a)·f(b)>0，不存在實(shí)數(shù)c∈(a，b)，使得f(c)=0B．若f(a)·f(b)<0，存在且只存在一個(gè)實(shí)數(shù)c∈(a，b)，使得f(c)=0C．若f(a)·f(b)>0，有可能存在實(shí)數(shù)c∈(a，b)，使得f(c)=0D．若f(a)·f(b)<0，有可能不存在實(shí)數(shù)c∈(a，b)，使得f(c)=0【答案】C【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，直接判斷命題是否正確.【詳解】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理進(jìn)行判斷，若f(a)·f(b)<0，則一定存在實(shí)數(shù)c∈(a，b)，使得f(c)=0，但c的個(gè)數(shù)不確定，故B，D錯(cuò)誤.若f(a)·f(b)>0，有可能存在實(shí)數(shù)c∈(a，b)，使得f(c)=0，如，f(-2)f(2)>0，但在區(qū)間(-2，2)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤，C正確.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查零點(diǎn)存在性定理的命題判斷，屬于基礎(chǔ)題型，本題的關(guān)鍵是理解零點(diǎn)存在性定理.4．已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，有下面三個(gè)命題，命題：存在且，對(duì)任意的，均有恒成立，命題：在上是嚴(yán)格減函數(shù)，且恒成立；命題：在上是嚴(yán)格增函數(shù)，且存在使得，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A．、都是的充分條件 B．只有是的充分條件C．只有是的充分條件 D．、都不是的充分條件【答案】A【分析】先由命題成立時(shí)，利用單調(diào)性和函數(shù)值為正，結(jié)合不等式性質(zhì)即推出命題成立，再由命題成立時(shí)，利用單調(diào)性和函數(shù)零點(diǎn)，推出命題成立，即得結(jié)果.【詳解】命題成立，即在上是嚴(yán)格減函數(shù)，且恒成立，故取時(shí)，對(duì)任意的，，則，即，故，即命題可推出命題，是的充分條件；命題成立，在上是嚴(yán)格增函數(shù)，且存在使得，故取時(shí)，對(duì)任意的，，則，，，即命題可推出命題， 是的充分條件；故、都是的充分條件.故選：A.【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵在于分別由命題、，利用函數(shù)的單調(diào)性和值的分布特征去證明命題，即突破難點(diǎn).  二、填空題5．設(shè)全集，若集合，則________【答案】【分析】直接利用補(bǔ)集定義進(jìn)行運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)槿?/span>，若集合，所以.故答案為：.6．不等式＞0的解集為___________．【答案】(－3,2)【解析】試題分析：，所以原不等式的解集為.【解析】分式不等式.7．函數(shù)的定義域是________.【答案】且【分析】根據(jù)分明不為零以及偶次根式下被開方數(shù)非負(fù)列不等式求解.【詳解】由題意，要使函數(shù)有意義，則，解得，且；故函數(shù)的定義域?yàn)椋?/span>且.故答案為：且.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)定義域，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.8．設(shè)且，，若，則________【答案】125【分析】先利用換底公式解得，再結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)即得結(jié)果.【詳解】由知，，即，故.故答案為：125.9．函數(shù)，的反函數(shù)為________【答案】【分析】先利用已知函數(shù)關(guān)系解得x關(guān)于y的解析式，再將兩個(gè)變量對(duì)換位置即得結(jié)果.【詳解】由題知，，，解得，故函數(shù)，的反函數(shù)為.故答案為：.10．不等式的解集為________【答案】【分析】構(gòu)造函數(shù)，，利用和函數(shù)單調(diào)性，即得不等式的解集.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，，則，故不等式即.由指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故不等式即得，故不等式的解集為.故答案為：（0，1）.11．函數(shù)的值域是________【答案】【分析】先求函數(shù)定義域，在定義域范圍先求取值范圍，再依次求得、的范圍，即得結(jié)果.【詳解】函數(shù)定義域?yàn)?/span>，由，有，故，即值域?yàn)?/span>.故答案為：.12．若函數(shù)的值域?yàn)?/span>則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.【答案】【分析】先由分段函數(shù)值域的求法，求出各段上的值域，再由函數(shù)值域求參數(shù)的范圍即可得解.【詳解】解：①當(dāng)時(shí)，，即 ，②當(dāng)時(shí)，，即 ，由函數(shù)的值域?yàn)?/span>，則，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)值域的求法，重點(diǎn)考查了由函數(shù)值域求參數(shù)的范圍，重點(diǎn)考查了集合思想，屬中檔題.13．函數(shù)的圖像向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則________【答案】【分析】從出發(fā)，逆向探求即可.【詳解】函數(shù)圖像關(guān)于軸對(duì)稱的圖像對(duì)應(yīng)函數(shù)的表達(dá)式是，函數(shù)向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得，即14．設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為常數(shù)），則________．【答案】-3【分析】根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，求得參數(shù)，再結(jié)合已知函數(shù)解析式，求得的解析式，代值計(jì)算即可.【詳解】是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為常數(shù)），，解得，．當(dāng)時(shí)，，，．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性求參數(shù)值，以及函數(shù)解析式，屬綜合基礎(chǔ)題.15．已知定義在R上的偶函數(shù)在上是嚴(yán)格增函數(shù)，如果對(duì)于任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________【答案】【分析】根據(jù)偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相反結(jié)合已知可得在R上是增函數(shù)，進(jìn)而可將對(duì)于任意恒成立，轉(zhuǎn)化為對(duì)任意都成立，進(jìn)而可得，最后結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得實(shí)數(shù)a的取值范圍【詳解】因?yàn)槎x在R上的偶函數(shù)在上是嚴(yán)格增函數(shù)，因?yàn)?/span>對(duì)任意都成立，所以對(duì)任意都成立，即對(duì)任意都成立，變形可得，由函數(shù)在為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，故，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵是由函數(shù)為偶函數(shù)得出，進(jìn)而結(jié)合單調(diào)性求出a的取值范圍.16．設(shè)，，若存在，使得成立，則正整數(shù)的最大值為________【答案】【分析】由題設(shè)且上有，所以，使得成立，只需即可，進(jìn)而求得正整數(shù)的最大值.【詳解】由題意知：，使成立，而當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴，而，即，∴僅需成立即可，有，故正整數(shù)的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：結(jié)合基本不等式有，即，應(yīng)用對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)求值域，并將存在性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)閉區(qū)間內(nèi)有解，只要即可求最值. 三、解答題17．設(shè)為實(shí)數(shù)，，已知冪函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，試求滿足的的取值范圍．【答案】．【分析】根據(jù)冪函數(shù)的概念及單調(diào)性，由題中條件，求出的值，將所求不等式化為，直接解不等式，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>是冪函數(shù)，所以，解得或；又在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，所以，則，所以；因此不等式可化為，顯然；當(dāng)時(shí)，，，所以恒成立；當(dāng)時(shí)，可化為，因此，綜上，滿足的的取值范圍是.18．設(shè)，其中．（1）若函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形，求的值；（2）若函數(shù)在上是嚴(yán)格減函數(shù)，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，得到是奇函數(shù)，由此求出的值，再驗(yàn)證，即可得出結(jié)果；（2）任取，根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，得到對(duì)任意恒成立，分離出參數(shù)，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形，所以是奇函數(shù)，則，解得，此時(shí)，因此，所以是奇函數(shù)，滿足題意；故；（2）任取，因?yàn)楹瘮?shù)在上是嚴(yán)格減函數(shù)，則對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，因?yàn)?/span>，所以，則，所以對(duì)任意恒成立，又，所以，為使對(duì)任意恒成立，只需.即的取值范圍是.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)時(shí)，可根據(jù)單調(diào)性的定義，得到不等式，利用分離參數(shù)的方法分離出所求參數(shù)，得到參數(shù)大于（等于）或小于（等于）某個(gè)式子的性質(zhì)，結(jié)合題中條件，求出對(duì)應(yīng)式子的最值，即可求解參數(shù)范圍.（有時(shí)會(huì)用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而求解參數(shù)范圍）19．設(shè)，其中為實(shí)數(shù)．（1）設(shè)集合，集合，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若集合中的元素有且僅有2個(gè)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）化簡(jiǎn)集合A、B再由集合包含關(guān)系建立不等式，解不等式得解；（2）轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，變量分離，研究恰有兩個(gè)交點(diǎn)的條件.【詳解】（1）化簡(jiǎn)，，又，所以，（2）由，得，且，，構(gòu)造，對(duì)稱軸，在上單調(diào)增，在上單調(diào)減，直線與函數(shù)在上恰有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，，20．某蔬菜種植基地共有甲、乙兩個(gè)蔬菜大棚，其中甲大棚種西紅柿，乙大棚種黃瓜，根據(jù)以往的種菜經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)種西紅柿的年收入萬(wàn)元與甲大棚的投入萬(wàn)元滿足，種黃瓜的年收入萬(wàn)元與乙大棚的投入萬(wàn)元滿足，現(xiàn)該基地準(zhǔn)備每年共投入200萬(wàn)元到甲、乙兩個(gè)蔬菜大棚，每個(gè)大棚至少要投入20萬(wàn)元，設(shè)甲大棚的投入為萬(wàn)元，每年兩個(gè)大棚的總收入為萬(wàn)元．（1）求的值；（2）試問(wèn)如何安排甲、乙兩個(gè)蔬菜大棚的投入，才能使得總收入最大？【答案】（1）；（2）甲大棚投入128萬(wàn)元，乙大棚投入72萬(wàn)元時(shí)，總收入最大．【分析】（1）分別算出甲大棚的投入為50萬(wàn)元，乙大棚投入150萬(wàn)元后所收入；（2）寫出利潤(rùn)函數(shù)，研究函數(shù)的最值.【詳解】（1）甲大棚的投入為50萬(wàn)元，由萬(wàn)元，乙大棚投入200-50=150萬(wàn)元，由萬(wàn)元；故萬(wàn)元.（2）依題意，，設(shè)，，，，對(duì)稱軸，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)取最大值，所以萬(wàn)元.答: 甲大棚投入128萬(wàn)元，乙大棚投入72萬(wàn)元時(shí)，總收入最大．21．對(duì)于函數(shù)，若定義域中存在實(shí)數(shù)、滿足且，則稱函數(shù)為“函數(shù)”．（1）判斷，是否為“函數(shù)”，并說(shuō)明理由；（2）設(shè)且，若函數(shù)，為“函數(shù)”，且的最小值為5，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）不是，答案見解析；（2）．【分析】（1）反證法.假設(shè)其為“函數(shù)”，代入值得到兩組等式，相減，分解因式得到，與題設(shè)矛盾.故不是“函數(shù)”.（2）分類討論分析的單調(diào)性，只有時(shí)符合題意.通過(guò)運(yùn)算得到三者關(guān)系式，，，由的最小值為5，得到取值范圍滿足，從而得到的取值范圍.【詳解】（1）若，是“函數(shù)”，則滿足則，兩式相減得故即，則這與矛盾故，不是否為“函數(shù)”（2），①若，則，則在時(shí)單調(diào)遞減，故不滿足存在使得，不合題意②若，因?yàn)?/span>，單調(diào)遞減，且故時(shí)，單調(diào)遞減，故時(shí)，單調(diào)遞增，故，，， 若則，則，故得，不合題意若則，則，故得.故，，若中存在實(shí)數(shù)、滿足且，的最小值為5.故在中存在滿足，且故，故綜上所述，的取值范圍為【點(diǎn)睛】函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.某些數(shù)學(xué)問(wèn)題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無(wú)關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的作用.因此對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)題目的特點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問(wèn)題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡(jiǎn)潔明快的思路，有著非凡的功效. 

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