2020-2021學(xué)年天津市濱海新區(qū)高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題  一、單選題1．已知集合A={1，3，5}，B={2，3，5，6}，則A∩B=（    ）A． B．{3，5} C．{1，2，6} D．{1，2，3，5，6}【答案】B【分析】根據(jù)交集的定義直接出結(jié)果即可.【詳解】因?yàn)?/span>A={1，3，5}，B={2，3，5，6}，所以，故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)集合的問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握交集的定義.2．命題“，”的否定是（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根據(jù)全稱量詞的否定是存在量詞可得答案.【詳解】因?yàn)槿Q量詞的否定是存在量詞，所以命題“，”的否定是“，”.故選：D3．設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在性定理分析可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象連續(xù)不斷，且，,,，，所以函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是.故選：C4．在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，那么的值是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以，所以.故選：A5．把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)的解析式是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意利用三角函數(shù)的圖象變換原則，即可得出結(jié)論．【詳解】由題意，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，可得.故選B．6．設(shè)，則“”是“”的（  ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】利用正弦函數(shù)的圖象性質(zhì)分析.【詳解】當(dāng),可以得到,反過來若，有或，.所以為充分不必要條件，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查充分條件、必要條件的判斷問題，屬于簡單題.7．下列計(jì)算正確的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)根式的性質(zhì)可知A不正確；根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算可知B不正確；根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)可知C不正確；根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算可知D正確.【詳解】因?yàn)?/span>為奇數(shù)，所以，故A不正確；，故B不正確；，故C不正確；，故D正確.故選：D8．下列命題為真命題的是（    ）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，，則【答案】B【分析】利用反例或不等式的性質(zhì)逐項(xiàng)檢驗(yàn)后可得正確的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于AC，取，則，但，，故AC錯(cuò).對(duì)于D，取，，則，，但，故D錯(cuò)誤.對(duì)于B，因?yàn)?/span>，故，故.故選：B.9．函數(shù)的圖象大致是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)解析式的特征，利用函數(shù)的性質(zhì)和特殊值排除選項(xiàng)可求.【詳解】因?yàn)?/span>為奇函數(shù)，所以排除A,C選項(xiàng)，取可知，所以排除B選項(xiàng)，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)圖象的識(shí)別，主要求解策略是利用函數(shù)的性質(zhì)和特殊值來進(jìn)行排除，側(cè)重考查直觀想象的核心素養(yǎng).10．已知函數(shù)是定義在區(qū)間上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則不等式的解集為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可得，根據(jù)以及函數(shù)的單調(diào)性可解得結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在區(qū)間上的偶函數(shù)，所以，解得，可化為，因?yàn)?/span>在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)以及函數(shù)的單調(diào)性解不等式是解題關(guān)鍵.11．某種食品的保鮮時(shí)間y(單位：小時(shí))與儲(chǔ)存溫度x(單位：)近似滿足函數(shù)關(guān)系(k，b為常數(shù))，若該食品在的保鮮時(shí)間是288小時(shí)，在的保鮮時(shí)間是144小時(shí)，則該食品在的保鮮時(shí)間近似是（    ）A．32小時(shí) B．36小時(shí) C．48小時(shí) D．60小時(shí)【答案】B【分析】由條件可得到，然后算出即可.【詳解】由條件可得，所以，所以當(dāng)時(shí)故選：B12．已知，給出下列判斷：①若函數(shù)的圖象的兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為，則；②若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則的最小值為5；③若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為；④若函數(shù)在上恰有7個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為.其中判斷正確的個(gè)數(shù)為（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】先將化簡，對(duì)于①，由條件知，周期為，然后求出；對(duì)于②，由條件可得，然后求出，即可求解；對(duì)于③，由條件，得，然后求出的范圍；對(duì)于④，由條件，得，然后求出的范圍；，再判斷命題是否成立即可．【詳解】解：，周期．①．由條件知，周期為，，故①錯(cuò)誤；②．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則，，∴的最小值為5，故②正確；③．由條件，，由函數(shù)在上單調(diào)遞增得，，又，，故③正確．④．由得,解得且在，上恰有7個(gè)零點(diǎn)，可得，，故④正確；故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化思想和推理能力，屬中檔題．關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用整體思想，結(jié)合正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)是根據(jù)周期，對(duì)稱，單調(diào)性，零點(diǎn)個(gè)數(shù)求求解參數(shù)的關(guān)鍵.  二、填空題13．的值等于___________.【答案】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式和特殊角的函數(shù)值可解得結(jié)果.【詳解】.故答案為：14．冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則___________.【答案】【分析】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式可解得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象過點(diǎn)，所以，解得.故答案為：15．已知，則________.【答案】-3.【分析】由兩角差的正切公式展開，解關(guān)于的方程．【詳解】因?yàn)?/span>，所以．【點(diǎn)睛】本題考查兩角差正切公式的簡單應(yīng)用，注意公式的特點(diǎn)：分子是減號(hào)，分母是加號(hào)．16．設(shè)，則的大小關(guān)系為___________.(用“<”連接)【答案】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的知識(shí)判斷出的范圍即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以故答案為： 三、雙空題17．若，則的最小值為___________，此時(shí)___________.【答案】4        【分析】根據(jù)基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：4；【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.18．已知集合，其中，則集合=___________；若，都有x∈A或x∈B，則的取值范圍是___________.【答案】        【分析】化簡集合，根據(jù)補(bǔ)集的概念可求出，將題意轉(zhuǎn)化為可求得結(jié)果.【詳解】由得或，所以，所以，因?yàn)?/span>”若，都有x∈A或x∈B”，所以，即，所以.故答案為：；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將“若，都有x∈A或x∈B”轉(zhuǎn)化為是解題關(guān)鍵.19．筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用.如圖，一個(gè)半徑為4的筒車按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)一周大約用時(shí)15，其軸心O(即圓心)距水面2.設(shè)筒車上的某個(gè)盛水筒P到水面的距離為d(單位：)(在水面下d為負(fù)數(shù))，若以盛水筒P剛浮出水面時(shí)開始計(jì)算時(shí)間，則d與時(shí)間t(單位：)之間的關(guān)系為.（1）當(dāng)盛水筒P第一次到達(dá)筒車的最高點(diǎn)時(shí)，t= ___________；（2）盛水筒P到水面的距離d關(guān)于旋轉(zhuǎn)時(shí)間t的函數(shù)解析式為___________.【答案】5        【分析】（1）求出盛水筒P第一次到達(dá)筒車的最高點(diǎn)時(shí)的旋轉(zhuǎn)角度，根據(jù)題意求出點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角速度，用旋轉(zhuǎn)角度除以角速度即可得時(shí)間；（2）根據(jù)圖形可得的最大、最小值，由此可得和，根據(jù)周期可得，根據(jù)當(dāng)時(shí)，可求得，從而可得函數(shù)解析式；【詳解】（1）因?yàn)檩S心O(即圓心)距水面2，圓的半徑為，所以當(dāng)盛水筒P第一次到達(dá)筒車的最高點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了，因?yàn)辄c(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周大約用時(shí)15，所以點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)速度為每秒，所以當(dāng)盛水筒P第一次到達(dá)筒車的最高點(diǎn)時(shí)，t=秒.（2）由圖可知的最大值為，最小值為，所以，所以，因?yàn)橥曹囆D(zhuǎn)一周大約用時(shí)15，所以函數(shù)的周期，所以，當(dāng)時(shí)，，即，即，因?yàn)?/span>，所以，所以.故答案為：5； 【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)題意求出是解題關(guān)鍵.20．已知函數(shù)若方程有四個(gè)不同的解，且，則實(shí)數(shù)的最小值是___________；的最小值是___________.【答案】2        【分析】畫出的圖像,數(shù)形結(jié)合分析參數(shù)的的最小值,再根據(jù)對(duì)稱性與函數(shù)的解析式判斷中的定量關(guān)系化簡再求最值即可.【詳解】畫出的圖像有：因?yàn)榉匠?/span>有四個(gè)不同的解,故的圖像與有四個(gè)不同的交點(diǎn),又由圖,, 故的取值范圍是,故的最小值是2.又由圖可知,,,故,故.故.又當(dāng)時(shí), .當(dāng)時(shí), ,故.又在時(shí)為增函數(shù),故當(dāng)時(shí)取最小值.故答案為：(1). 2    (2)9.【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)形結(jié)合求解函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)以及范圍的問題,解題的關(guān)鍵是需要根據(jù)題意分析交點(diǎn)間的關(guān)系,并結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)求解.屬于難題. 四、解答題21．已知，.（1）求，的值；（2）求的值.【答案】（1），；（2）.【分析】(1)由及的范圍求得，再利用二倍角的正弦公式即可求得；(2)利用兩角差的余弦公式直接代值求解即可.【詳解】解：（1），，（2）22．已知函數(shù)，且.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）求不等式的解集；（3）根據(jù)定義證明函數(shù)在上單調(diào)遞增.【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.【分析】（1）由可算出答案；（2）解出即可；（3）利用定義證明即可.【詳解】（1），，，即；（2）由（1）知，，，解得，不等式的解集為；（3）設(shè)，則，.函數(shù)在上單調(diào)遞增.23．已知函數(shù)，（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）當(dāng)時(shí)，（i）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（ii）求函數(shù)的最大值、最小值，并分別求出使該函數(shù)取得最大值、最小值時(shí)的自變量的值.【答案】（1）最小正周期為；（2）（i）；（ii）當(dāng)時(shí)，取最大值為；當(dāng)時(shí)，取最小值為.【分析】（1）利用和差公式展開合并，再利用輔助角公式計(jì)算可得，可得最小正周期為；（2）（i）通過換元法令，求出的范圍，然后再根據(jù)的單調(diào)遞減區(qū)間求解即可；（ii）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求得最大值，然后計(jì)算端點(diǎn)值，比較大小之后可得函數(shù)的最小值.【詳解】解：（1）.，的最小正周期為.（2）（i），，，的單調(diào)遞減區(qū)間是，且由，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.（ii）由（i）知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.且，，，所以，當(dāng)時(shí)，取最大值為；當(dāng)時(shí)，取最小值為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：（1）關(guān)于三角函數(shù)解析式化簡問題，首先利用和差公式或者誘導(dǎo)公式展開合并化為同角，然后再利用降冪公式進(jìn)行降次，最后需要運(yùn)用輔助角公式進(jìn)行合一化簡運(yùn)算；（2）三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及最值求解，需要利用整體法計(jì)算，可通過換元利用的單調(diào)區(qū)間以及最值求解.24．已知函數(shù)，，其中且.（1）若，（i）求函數(shù)的定義域；（ii）時(shí)，求函數(shù)的最小值；（2）若當(dāng)時(shí)，恒有，試確定的取值范圍.【答案】（1）（i）；（ii）；（2）.【分析】（1）(i)把代入，可得答案；(ii)時(shí)，，求得，利用動(dòng)軸定區(qū)間討論求得函數(shù)最小值；（2）由得，令，其對(duì)稱軸為，討論在上單調(diào)性，可得在上單調(diào)遞減，得答案.【詳解】（1）(i)時(shí)，，，解得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域是；(ii)時(shí)，，，令，，，即求函數(shù)在的最小值.對(duì)稱軸，①當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)函數(shù)取最小值，最小值為；②當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)函數(shù)取最小值，最小值為；③當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)函數(shù)取最小值，最小值為；綜上，時(shí)，函數(shù)的最小值為.（2）由得，即，，即，由可得：，即，也即，令，其對(duì)稱軸為，，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，又，則，解得，所以的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)解析式的求法，函數(shù)的最值，函數(shù)恒成立的問題，綜合性較強(qiáng)，所謂“動(dòng)軸定區(qū)間法”，軸動(dòng)區(qū)間定：比較對(duì)稱軸與區(qū)間端點(diǎn)的位置關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性數(shù)形結(jié)合判斷y的范圍，需要分類討論. 

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